基于Lau效應測量光波長的討論

朱岱巍，林偉華，張 碩，姚 金

（武漢大學物理科學與技術學院物理教學實驗中心，湖北武漢430072）

基于Lau效應測量光波長的討論

朱岱巍，林偉華，張 碩，姚 金

（武漢大學物理科學與技術學院物理教學實驗中心，湖北武漢430072）

利用雙光柵Lau效應測量光波長的原理，提出了篩選有效數據的方法，并詳細討論了通過測量兩光柵間距和Lau條紋周期分別計算波長的可行性問題.通過綜合考慮對實驗可能產生影響的各種因素，認為利用兩光柵間距計算波長雖然標準差較大，但相對偏差小，結果更接近真實值，是一種可行的方法；但利用Lau條紋周期計算的波長看似標準差小，但與真實值的相對偏差較大，從統計和實驗的觀點來說該方法是不可行的，只能作為一種參考方法.

Lau效應；光波長；測量精度

1 引 言

擴展光源照明相隔一定距離串聯的2個光柵可在無窮遠處形成高對比度的條紋，這一現象是在1948年由Lau首次利用間距z0＝kd2／（2λ）（式中：d為光柵常量，λ為光波長，k為整數）的2個全同光柵觀察到的［1］，被稱為雙光柵Lau效應.20世紀80年代，有多課題組利用多種理論對Lau效應現象及產生的條件展開解釋和擴展，如Lohmann等人利用衍射理論分析了在z0＝kd2／（2λ）條紋分布［2］，Gori和Sudol等人分別利用相干理論進行解釋［3－4］，并將條件擴展為z0＝αd2／（βλ）（式中α和β互為質數），Patorski利用Talbot效應進行解釋［5］，并進一步將Lau效應條件拓展為2個不同周期光柵，Swanson等人利用光柵成像解釋并將條件擴展為任意兩光柵［6］；在國內也有利用楊氏干涉模型解釋Lau效應［7］，還有提出了二維光柵的Lau效應［8］.Lau效應可產生高對比度的條紋，也為該效應帶來廣泛的應用，如測量折射率、焦距、波長［8－10］、光學編碼［11］、表面成像［12］等.此外，雙光柵結構還有其他的應用，如基于雙光柵衍射效應的測量微振動［13］，等等.根據Lau效應理論，兩光柵間距和Lau條紋周期均與光波長有關，因此可通過測量這2個量來計算光波長，在文獻［8］中曾使用Lau條紋周期來計算波長，但至于利用哪個測量量求光波長可獲得更高精度，并未有文獻詳細討論.

本文用2個全同的一維光柵實現Lau效應，綜合影響實驗測量的各種可能因素，系統地比較和分析了利用兩光柵間距和Lau條紋周期分別計算波長的可行性和精度問題.

2 實驗原理

如圖1所示，單色擴展光源S照明2個相距z0的全同光柵，在透鏡L的后焦平面P上形成條紋，基于交叉譜密度函數推導［4］可知當光柵間距滿足透鏡焦平面上的光強分布為

圖1 實驗裝置示意圖

式中

其中t（x1）為光柵的透過率函數.

由（2）式可知，焦平面上的條紋周期為

亮紋的寬度為［4］

式中：a是一維朗奇光柵在1個周期內透光部分的長度.

亮紋寬度與條紋周期比值：

由（6）式可知β值越小，亮紋越細銳.

由（1）和（4）兩式可知，在觀測到清晰的Lau效應條紋時，通過測量兩光柵的間距z0或條紋的周期D來計算光波長是可行的，但必須在實驗過程中確定α和β值.由（4）式可以看出α小，則屏上的條紋周期D大，這樣將會減小條紋的測量誤差；另外，如果β越小，則光柵間距z0也會較大，則z0值的測量誤差也會減小.因此，可以認為α＝β＝1是測量的理想條件.可采用如下的步驟來測量和篩選出有效的計算數據（即α＝β＝1的z0和D）：

1）任意調節兩光柵的間距，當觀察到清晰的條紋后測量條紋周期D和光柵距離z0，利用（4）式計算β值，并篩選出符合β≈1的D和z0數據；

2）在由1）判別后獲得的數據中，根據D與α成反比的關系，確定這些因α值不同而產生的各種D中的最大值，并且視為這些數據是滿足條件α＝β＝1的可用于計算的有效數據，并利用（1）或（4）式計算λ.

3 實驗結果

實驗中G1和G2是2塊全同光柵，光柵常量為d＝500μm，占空比為a∶d＝1∶10，透鏡L為JJY型分光計望遠鏡的物鏡，其焦距為f＝170.6mm（由焦距儀測量）.

在擴展光源波長未知的情況下，通過改變兩光柵的間距，得到最清晰的條紋，然后利用測微目鏡測出30個條紋的間距求出條紋周期D，并通過上述數據篩選方法獲得用于計算λ的有效數據.通過數據篩選，并確定了滿足條件α＝β＝1的兩光柵間距z0的范圍后，采用2種測量方法來精確的測量λ：第一種稱為不固定z0法，即每次通過在小范圍內移動其中1個光柵獲得清晰的Lau條紋，測量光柵間距z0，并利用（1）式計算λ；第二種稱為固定z0法，即首先需要確定1個理想的光柵間距（如可利用第一種方法獲得光柵間距的平均值），并將兩光柵的間距固定為此值，然后再測量條紋間距D，并利用（4）式計算λ.2種方法多次測量的數據分別如表1和表2所示，數據處理和分析如下（實驗用鈉光燈的標準波長值為589.3nm）：

1）根據表1中測量的z0用（1）式計算波長λ＝（588.1±1.8）nm，相對偏差為0.203%［14］.將樣本均值加減1倍標準差的范圍內包括了標準波長值.

表1 不固定z0測量法測量結果

表2 固定z0測量法（z0＝42.51cm）測量結果

4 測量精度分析

因光柵在什么位置能出現最清晰的條紋完全憑實驗者主觀判斷，因此對成像的判斷成為不固定法的主要誤差來源.在實驗中，感覺最敏銳的操作者也無法在0.5cm的范圍內分辨清晰度的差異，即使采用二分法判斷，偏差仍然不會小于0.2cm.滿足α＝β＝1的z0標準值是42.42cm，從理論上，測量的相對偏差應為0.47%.另一方面是鋼制直尺的系統誤差，鋼尺測量精度通常為10－3m，由于z0的精確值就在m的量級，所以誤差范圍為0.1%的數量級.因此，從這兩方面來說，表1中測量數據已達到較高的精度.

固定z0法的誤差來源有兩點：1）測微目鏡的系統誤差和測量誤差；2）兩光柵間距的取值是主要的誤差來源.因為采用此方法測量，首先需要確定理想的光柵間距.在實驗中采用多次判斷獲得均值，雖然已非常接近光柵間距的標準值，但仍有誤差.根據鈉黃光的標準波長計算的標準條紋間距為0.201 1mm，而實際在z0＝42.51cm情況下多次測量的條紋間距均值為0.200 1mm，且標準差較小.所以該法獲得的波長值的相對誤差較大，但標準差較小以致于無法通過假設檢驗的水平.為了進一步證實這種分析，將z0設置到偏小的值，條紋間距測量結果如表3所示，ˉD＝0.201 5mm，計算得ˉλ＝590.5nm，標準差s＝0.9nm.結果如理論分析偏大，與上面的分析相一致，而且標準差仍然很小，這再次驗證了上面的分析.但必須強調，在未知波長的情況下采用多次判斷測量取平均來確定z0是最客觀、最好的辦法，所以固定z0法不能作為實際的測量方法，只能作為參考.

表3 光柵間距固定為z0＝42.20cm測量結果

5 結束語

數據的方法，并討論了利用光柵間距和條紋周期分別計算波長的可行性.因利用Lau效應測量波長的測量精度在很大程度上受制于對成像清晰度的判斷，在清晰度的判斷一定的情況下，采用測量光柵間距求得的波長值相對誤差小，但標準差較大，可通過假設檢驗，是一種可行的正確方法；而采用固定光柵間距，測量條紋間距求得的波長值，雖然方差小，但相對誤差大，不能通過假設檢驗，是一種不可行的測量方法，只能作為參考方法.

［1］ Lau E.Beugungserscheinungen and dopperlrastern［J］.Ann.Phys.，1948，6：417－423.

［2］ Jahns J，Lohmann A W.The Lau effect（a diffraction experiment with incoherent illumination）［J］.Opt.Commun.，1979，28（3）：263－267.

［3］ Gori F.Lau effect and coherence theory［J］.Opt.Commun.，1979，31（1）：4－8.

［4］ Sudol R，Thompson B J.Lau effect：theory and experiment［J］.App.Opt.，1981，20（6）：1107－1116.

［5］ Patorski K.Incoherent superposition of multiple self－imaging Lau effect and moiréfringe explanation［J］.Opt.Acta，1983，30（6）：745－758.

［6］ Swanson G J，Leith E N.Analysis of the Lau effect and generalized grating imaging［J］.J.Opt.Soc.Am.A，1985，2（6）：789－793.

［7］ 張海聯，海濱.用楊氏干涉模型解釋Lau效應［J］.光學儀器，1992，14（6）：16－19.

［8］ 余飛鴻，梁蔭中.利用Lau效應測定干涉濾光片的中心透過率波長值［J］.光學儀器，1991，5（13）：1－5.

［9］ Bhattacharya J C.Refractive index measurement［J］.Opt.＆Laser Tech.，1987，19（1）：29－32.

［10］ 王秋芬.利用雙光柵Lau效應測量透鏡焦距［J］.物理實驗，2004，24（6）：13－15.

［11］ Crespo D，Alonso J，Morlanes T，et al.Optical encoder based on the Lau effect［J］.Opt.Eng.，2000，39（3）：817－824.

［12］ Thakur M，Quan C，Tay C J.Surface profiling using fringe projection technique based on Lau effect［J］.Opt.＆Laser Tech.，2007，39（3）：453－459.

［13］ 陳長鵬，汪禮勝.測量動光柵瞬時速度的有效方法［J］.物理實驗，2010，30（7）：1－4.

［14］ 齊民友.概率論與數理統計［M］.北京：高等教育出版社，2002：180－210，

提出了基于Lau效應測量光波長篩選有效

Measurement of optical wavelength based on Lau effect

ZHU Dai－wei，LIN Wei－hua，ZHANG Shuo，YAO Jin
（Center of Fundamental Physics Teaching and Experiment，School of Physics and Technology，Wuhan University，Wuhan 430072，China）

The theory of measuring optical wavelength was introduced based on Lau effect，the method to obtain effective data was proposed，and the feasibility of calculating the optical wavelength by measuring the grating space and the period of Lau fringes，respectively，was discussed in detail.A general accounting of the possible reasons that could affect the experimental measurement indicated that the wavelength calculated with the grating space had a small relative error and a big standard deviation，this method was still feasible.However，the wavelength calculated with the period of Lau fringes had a small standard deviation but a big relative error，thus it was not a feasible method in the statistical and experimental view.

Lau effect；optical wavelength；measuring precision

O436.1

A

1005－4642（2012）10－0035－04

［責任編輯：郭 偉］

“第7屆全國高等學校物理實驗教學研討會”論文

2012－03－22；修改日期：2012－05－28

國家基礎科學人才培養基金（No.J1210061）；武漢大學本科生業余科研（No.S2011125）

朱岱巍（1991－），男，湖南長沙人，武漢大學物理學國家基地班2009級本科生.

林偉華（1977－），男，浙江開化人，武漢大學物理科學與技術學院講師，博士，從事微納光子學研究.