Lorentz空間中的極大類空超曲面

楊慧章，孫霞，龍瑤

(1.紅河學院數學學院，云南蒙自661100;2.云南廣播電視大學文理學院，云南昆明650223)

Lorentz空間中的極大類空超曲面

楊慧章1，孫霞2，龍瑤1

(1.紅河學院數學學院，云南蒙自661100;2.云南廣播電視大學文理學院，云南昆明650223)

研究了Lorentz空間Nn+11(c)中的極大類空超曲面，得到了這種類空超曲面的剛性定理.

類空超曲面;Lorentz空間;極大

設M是黎曼流形Nn+p(c)的緊致子流形，用S表示M的第二基本形式的模長平方，H表示M的平均曲率，若H=0，則稱M是極小的.文獻［1］研究了黎曼流形中的極小子流形，并得到了Nn+1(c)中具有常曲率c的緊致極小超曲面M，若滿足S=nc，則M局部上可分解為2個具有常曲率空間的黎曼直積，即M=M1r× M2n－r(1≤r≤n)，其中M1r，M2n－r分別為r，n－r維常曲率流形.文獻［2－3］研究了黎曼流形中的極小子流形，分別得到了著名的高橋定理和推廣的Simons型積分不等式.

指標為1的偽黎曼流形N1n+1稱為Lorentz流形，當其截面曲率c為常數是N1n+1稱為Lorentz空間型，當c為正、負和零時，N1n+1分別為de Sitter空間S1n+1、反de Sitter空間H1n+1和Minkowski空間R1n+1.若M上從Lorentz空間誘導的度量是正定的，則M被稱為此Lorentz空間的類空超曲面.眾所周知，Lorentz空間中的完備類空超曲面在相對論中有很重要的意義，近年來關于類空超曲面的研究已取得了許多結果.如文獻［4－5］分別證明了de Sitter空間中具有常平均曲率的完備類空超曲面，如果H2≤c(n=2)，n2H2≤4( n－1) c(n＞2)時M是全臍的.在文獻［6］中，Nishikawa證明了Lorentz流行中完備極大類空超曲面是全測地的.本文主要將文獻［1］的結論推廣到偽黎曼流形中，得到了Lorentz空間型中極大類空超曲面的一個剛性定理.

1 預備知識

設M是Lorentz空間N1n+1(c)中的類空超曲面，選取N1n+1(c)的局部單位正交標架場{eA}，使得限制在M上，{ei}與M相切.en+1為M的單位法向量，{ωA}為{eA}的對偶標架場，約定指標范圍如下:1≤A，B，C…≤n+1，1≤i，j，k，…≤n.則N1n+1(c)上的結構方程為

限制在M上有

M的Codazzi方程和Ricci恒等式為

由(3)式得，M的Ricci曲率為

設Δ是M上的Laplace算子，且Δhij=∑khijkk，由(5)、(6)式有

其中Hij是平均曲率H的二階共變導數.

2 主要結果

定理1設M是Lorentz空間Nn+11(c)(c≤0)中的緊致極大類空超曲面，若M的第二基本形式模長平方S=－nc，則M的第二基本形式平行，即hijk=0.

證明由(3)、(7)式及M的極大性，得

由M的緊致性及S=－nc知hijk=0，即M的第二基本形式平行.

定理2設M是Lorentz空間Nn+11(c)中的緊致極大類空超曲面，則

解決方案：此類問題屬于軟件出錯，在頁面設計各類組件中查找問題，發現是頁面訪問量統計組件出錯，在該組件中讀取鏈接的時候出現空指針，為此修改代碼如下。

1)當c≥0時，M是全測地的;

2)當c＜0時，若M的第二基本形式模長平方S=－nc，則M局部等距于2個常曲率空間的黎曼直積Mn=Mr1(c1)×Mn－r2(c2).

證明由于M緊致，對(8)式兩邊積分有

由c≥0知，∫S(S+nc)dv=0，所以S=0，即M是全測地.

當c＜0時，借鑒Chern在文獻［1］中的方法，選取適當的局部標架，使得hij=0(i≠j).由定理1知，hijk=0，在(4)式中令下標i=j，得到

從而hi為常數，繼而得到dhij=0，1≤i，j≤n.由(4)式有

這表明當hi≠hj時，ωij=0，由(2)式知

即當hi≠hj時，hihj－c=0.

令h1=…=hr=λ，且λ≠hj，r+1≤j≤n.由于M不是全測地的，且∑ihi=nH=0，所以有

考慮2個分布ω1=…=ωr=0和ωr+1=…=ωn=0，由(1)式、ωij=0(i≠j)及Frobenius定理知，2個分布是可積的，局部上確定了積分流形M1與M2.Mn局部上分解成黎曼積M1×M2.

由hihj－c=0及0=∑ihii=rλ+(n－r)μ，

得到

那么Mr1(c1)，Mn－r2(c2)的截面曲率分別為

所以Mn局部等距于2個常曲率空間的黎曼直積

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(責任編輯萬志瓊)

On Maximal Space－Like Hypersurfaces in Lorentz Space

YANG Hui-zhang1，SUN Xia2，LONG Yao1
(1.Department of Mathematics，Honghe University，Mengzi 661100，China; 2.School of Arts and Science，Yunnan Radio＆TV University，Kunming 650223，China)

The maximal space－like hypersurfaces in Lorentz space Nn+11(c)with the sectional curvature c are investigated and a rigidity theorem is obtained.

space－like hypersurface;Lorentz space;maximal

O 186.13

A

1672－8513(2012)04－0277－03

10.3969/j.issn.1672－8513.2012.04.012

2011－10－20.

國家自然科學基金(11161020);紅河學院科研基金(10XJY121).

楊慧章(1982－)，女，碩士，講師.主要研究方向:微分幾何.