格拉斯磁環(huán)勻強磁場分析

楊立志 周穗華 張曉兵

(海軍工程大學(xué)兵器工程系，武漢 430033)

0 引言

勻強磁場在工程應(yīng)用中有重要作用[1]。當(dāng)需要的勻強磁場要求不太高時，常用亥姆霍茲線圈來產(chǎn)生，其產(chǎn)生的磁場在軸線 0.3倍線圈半徑范圍內(nèi)有大于 5%的誤差。本文系統(tǒng)分析了格拉斯磁環(huán)產(chǎn)生磁場的整體均勻性，與亥姆霍茲線圈相比格拉斯磁環(huán)均勻性更好，均勻區(qū)域更大，更加適用于科研工程應(yīng)用。

1 單線圈的磁場

亥姆霍茲線圈和格拉斯磁環(huán)有一個共同點。它們的磁場是由多個線圈產(chǎn)生的磁場疊加形成的。所以要對它們的產(chǎn)生的磁場進行分析，首先分析單線圈產(chǎn)生的磁場。如圖1所示，半徑為R，載有電流I的單線圈產(chǎn)生的磁場具有關(guān)于X軸的旋轉(zhuǎn)對稱性，不妨把P點選在XOY面。

圖1 單個圓線圈

由圖可知，

則：

由畢奧--薩伐爾定律[2]得：

因為，

故恒有BZ=0。這表示磁感應(yīng)強度不存在垂直于半徑方向的螺旋分量，再引入量[3]：

2 亥姆霍茲線圈磁場

當(dāng)線圈的間距等于它們的半徑R時， 中心點O 附近沿軸向分布的磁場最為均勻， 這樣放置的兩線圈就稱為亥姆霍茲線圈[4]，如圖2所示。

由上述討論可知，在新坐標(biāo)系下，

則亥姆霍茲線圈內(nèi)任意一點軸向磁場為，

取亥姆霍茲線圈中心點處磁場Bx0為基準，線圈中磁場與中心點處磁場相對誤差為，

借助 MATLAB繪出線圈相對誤差曲線，可以很直觀的看到線圈產(chǎn)生磁場的均勻性，如圖 3所示。

圖2 亥姆霍茲線圈

圖3 亥姆霍茲線圈軸向磁場均勻分布曲線圖

3 格拉斯磁環(huán)磁場

圖4 格拉斯磁環(huán)

格拉斯磁環(huán)由四組共軸且半徑相同的線圈組成，如圖4所示，線圈半徑R=125 cm，最外側(cè)兩線圈距離為2R，最內(nèi)側(cè)兩線圈距離為0.512R。最外側(cè)兩線圈的匝數(shù)分別為116匝，最內(nèi)側(cè)兩線圈的匝數(shù)分別為58匝， 由于四個線圈是串聯(lián)，最外側(cè)兩線圈的電流I1是最內(nèi)側(cè)兩線圈電流I2的兩倍。

將坐標(biāo)軸平移到格拉斯磁環(huán)的對稱中心，設(shè)最內(nèi)側(cè)兩線圈的距離為 2R1，最外側(cè)兩線圈的距離為 2R2。在新的坐標(biāo)系下，原點附近點的坐標(biāo)（x，y）與（ζ，μ）的關(guān)系如下，

則格拉斯磁環(huán)內(nèi)任意一點沿軸向的磁場為，

設(shè)串聯(lián)回路中電流為1 mA，則I1=116 mA，I2=58 mA，將各個參數(shù)代入，利用Matlab仿真得到格拉斯磁環(huán)中心區(qū)域的軸向磁場隨坐標(biāo)x，y變化，如圖5、6所示。

圖5 格拉斯磁環(huán)軸向磁場空間分布1

由公式（6），并借助 MATLAB可以繪出磁環(huán)相對誤差曲線，如圖7所示。比較圖3和圖7，可以看出磁環(huán)產(chǎn)生磁場相對誤差為 1%的區(qū)域要比亥姆霍茲線圈產(chǎn)生磁場相對誤差 5%的區(qū)域要大一點；磁環(huán)產(chǎn)生磁場均勻區(qū)域的軸向長度要大于亥姆霍茲線圈的。

圖6 格拉斯磁環(huán)軸向磁場等值線

圖7 格拉斯磁環(huán)軸向磁場均勻分布曲線圖

圖8 固定x值，軸向磁場與y坐標(biāo)的關(guān)系

固定x值時，軸向磁場隨y坐標(biāo)的變化，如圖8所示。對于固定的x值，軸向磁場隨y坐標(biāo)增大，先后大致經(jīng)歷增大、維持不變、減小的過程，在坐標(biāo)y絕對值小于500 mm的范圍內(nèi)有一個磁場均勻性較好的區(qū)域，而且在一定范圍內(nèi)x的變化對磁場影響不是很大。

固定y值時，軸向磁場隨x坐標(biāo)的變化，如圖9所示。對于固定的y值，軸向磁場隨坐標(biāo)x的增大，先后經(jīng)歷增大、維持不變、減小的過程。格拉斯磁環(huán)中部磁場要比兩端磁場均勻性好，且磁場強度大，在試驗和工程應(yīng)用中要充分利用其中部較大范圍的勻強磁場，避開兩端磁感應(yīng)強度相對誤差較大的區(qū)域。

圖9 固定y值，軸向磁場與x坐標(biāo)的關(guān)系

4 結(jié)論

本文給出了格拉斯磁環(huán)軸向磁感應(yīng)強度空間分布的解析表達式，定量分析了軸向磁感應(yīng)強度及其分布，并通過數(shù)值計算分析比較了它與亥姆霍茲線圈產(chǎn)生磁場的均勻性。分析結(jié)果表明，磁環(huán)磁場在均勻性和勻強磁場的范圍明顯優(yōu)于亥姆霍茲線圈的磁場。在一些實際應(yīng)用中，若在一個方向上空間范圍有限而又要求空間磁場較大、磁場均勻性范圍較寬，那么采用格拉斯磁環(huán)來產(chǎn)生所需磁場是比較適宜的。

[1]吳百詩. 大學(xué)物理(上冊)[M]. 北京: 科學(xué)出版社,2001.

[2]趙凱華. 電磁學(xué)[M]. 北京：人民教育出版社, 1981,39～70.

[3]曾曉英. 亥姆霍茲線圈磁場的均勻性分析及誤差估算[J]. 物理實驗, 2000, 20(5): 38～39.

[4]曾曉英, 歐陽芳平, 張華. 四線圈磁場及其分析. 衡陽師范學(xué)院學(xué)報, 2000, 21(3): 88～92.