瀝青混合料等應變率壓縮試驗的時間依賴性模型＊

朱耀庭 孫 璐 朱浩然 于棋峰

（江西省交通科學研究院1） 南昌 330038） （東南大學交通學院2） 南京 210096）

瀝青混合料是典型的流變材料，對時間和溫度有顯著的依賴性質.為研究瀝青混合料的流變特性，主要采用經典粘彈塑性理論和經驗模型對應力應變曲線進行描述［1－5］.由于瀝青混合料力學特性和試驗設備限制等因素，研究瀝青混合料與時間依賴性行為一般基于蠕變試驗方法，但在常低溫或低應力條件下破壞階段的出現要經過較長的蠕變時間，往往需要提高試驗溫度或應力水平以保證瀝青混合料能夠達到破壞狀態，因而在特定條件下準確闡述瀝青混合料流變行為和獲取力學模型參數受到極大限制.本文以三軸等應變率壓縮破壞試驗為基礎，分析瀝青混合料與時間依賴性本構模型，利用相應的優化方法獲取模型參數，并通過數值計算得出相應的蠕變曲線，為豐富瀝青混合料與時間依賴模型和評價體系提供理論基礎.

1 瀝青混合料全過程力學曲線特性

等應變率壓縮試驗是確定材料強度的主要手段，試驗獲取的應力－應變全過程曲線是揭示材料力學特性的重要方法.對瀝青混合料等應變率壓縮試驗曲線［6］研究發現，壓縮試驗曲線與巖石Class I破壞行為描述相一致［7］.圖1為典型的瀝青混合料全過程應力－應變曲線圖.

圖1 瀝青混合料等應變率全過程試驗曲線

2 時間依賴性的可變量本構模型

應力－應變全過程曲線可通過可變量本構方程對與時間依賴特性進行表述［8－9］，其基本表達式為

式中：ε為應變；σ為應力；λ為可變柔度，t為時間.

根據壓縮試驗曲線可將總的應變表示為線彈性應變ε1和非線性粘性應變ε2之和，即如圖2所示的非線性Maxwell模型.建立本構模型的關鍵為在材料的破壞進行過程中，粘性流動呈非線性增加，且增加的速率可以表示為應力函數g（σ）和應變函數f（ε2）的乘積，即

圖2 非線性Maxwell模型

從臨近強度破壞點時，非線性粘性應變ε2的增加起到主導作用，而在開始階段的線彈性模量起主要作用.因此，要構建強度破壞點以后材料力學行為，必須考慮柔度的增加，假定柔度有如下關系式

式中：A，n，m為常數.n的變化范圍為n≥1；m為應力－應變曲線形狀參數.可見，當n＝1時，可變模量的變化率dλ／dt與應力σ成正比，則為牛頓流體.

2.1 等應變率本構方程

在等應變率試驗過程中，假定應變率˙ε＝C，C為常數，式（1）可寫為

代入式（3），并考慮初值條件t＝0時，λ＝λ0，當m≠n＋1時，通過積分可推導出

將式（6）進行轉化可以得出在相同柔度條件下，應力和C1／（n＋1）成正比，這可以闡述在應變率C值小時應力－應變曲線被C值大時所包裹的現象［8］.m＜0為應變硬化，m＞0為應變軟化；而當m＝n＋1時，則表現為脆性破壞［10］.在m＞0時，由式（5）在dσ／dε＝0條件下可求解出強度σc的表達式為

可見，強度σc隨應變率C的增加而增加，且與C1／（n＋1）成正比.

2.2 蠕變本構方程

在蠕變試驗中，應力保持一定σ＝σ0，在t＝0時，σ＝σ0，λ＝λ0，ε＝ε0＝λ0σ0，當m≠n＋1時，代入式（3）推導可得

可見，在m＞1時，在一定時間范圍內，蠕變方程的1次和2次導數函數是時間t的單調增加函數.文獻［8］通過試驗觀測假定在進入第3階段后，應變率和蠕變殘存壽命tc成反比.文獻［10］定義蠕變方程對時間的1次導數為0可推導出蠕變流動時間如式（11）所示.

值得指出的是，式（11）所表示的是蠕變方程在實數域內的最大值，僅存在數學上的意義，若用于實際蠕變試驗描述不符合實際.根據試驗數據可見，在應變達到2%～3%時，大多數瀝青混合料都已達到破壞狀態，因此，本文以應變2%左右時為蠕變終止時刻，探討蠕變曲線的發展規律.

3 試驗方法與瀝青混合料設計

三軸等應變率壓縮試驗是一種經典的試驗方法，能夠模擬結構中材料的受力狀態，與實際路面的三向受力條件相符合.試驗設備采用萬能材料試驗系統（UTM－25），試驗中將試件放在三軸壓力室內，通過控制高壓氣體對試件施加圍壓，使得試件處于各向等壓應力狀態；激振器通過活塞施加軸向壓力，在軸向產生偏應力（三軸試驗見圖3）.試驗中以位移為控制條件，按照一定的速率施加軸向荷載，軸向偏應力隨時間先逐漸增大，直至達到應力峰值后逐漸下落，此時試件已發生了剪切破壞.

圖3 瀝青混合料三軸試驗示意圖

本文選取中面層Sup20瀝青混合料作為研究對象，集料采用石灰巖，填料采用石灰巖礦粉，膠結料采用AH－70基質瀝青，瀝青用量為4.2%，瀝青膠結料性質和混合料配合比分別見表1和圖4.

表1 瀝青性質

圖4 Sup20級配曲線

瀝青混合料的壓縮強度、應力應變曲線特性與加載速率有密切關系，參考國外研究經驗［11］，加載應變速率C＝1.27mm／min（0.05in／min）；為考慮中面層在車輛荷載作用下實際的側向受力狀態，通過路面力學軟件計算確定圍壓水平為138kPa（20psi）［12］；同時為了考慮不同溫度條件的影響，選取了25，40和55℃作為比較.瀝青混合料試件為高150mm、直徑100mm的圓柱體，經旋轉壓實成型后鉆心而得.

4 本構模型參數獲取

本構模型有A，n，m和λ0等4個未知參數，在已知試驗數據的條件下，可通過本構方程獲取模型參數.若通過式（1）和（3）的關系式對數據進行擬合較為簡單，但涉及離散試驗數據的求導問題，在試算的過程中，實際試驗采集的數據由于精度和存儲等因素擬合效果較差，無法確定模型參數；若直接利用式（5）和式（6）對等應變率壓縮試驗數據進行非線性擬合，這一方法遇到的問題是目標函數非常復雜，難以通過一般的方法獲取參數，即便采用智能優化算法結果也不理想.因此，本文結合以上因素，采用2.2計算思想，先通過試算的方法得出參數的初值，再利用基于Levenberg－Marquardt（L－M）法的非線性擬合方法得出模型參數［13］.

σ（t）為試驗測量數據，其函數可由離散的數據點（εi，σ（ti））（i＝1，2，…，r）給出，若要求擬合函數σ＊（ε，A，m，n，λ0）逼近試驗數據σ（t），則目標函數表示Φ（A，m，n，λ0）為

L－M法則在迭代過程中對近似Hessian矩陣的牛頓法引入一個阻尼系數，若該系數值為零時即為牛頓法，而當系數值很大時，就成為較小步長的最速梯度下降法.每次迭代成功后，系數值要減少，而迭代使目標函數增加時，系數值增大，這樣每次迭代后目標函數都是下降的.因此，L－M法具有收斂速度快等優點.

通過以上計算方法，本構模型的擬合曲線和模型參數見圖5和表2.

圖5 試驗數據擬合曲線

由于公式表達式復雜，難以直觀地判斷出模型各參數對結果的影響，通過實際的數值計算，可以定性地描述出模型參數的敏感性.參數λ0對破壞前的曲線斜率有決定性作用，只有取值合適才能正確地描述出破壞前材料的應力應變曲線；參數A可以一定程度上決定破壞點的取值，但必須與n，m參數大小共同作用；對曲線起至關重要作用的是參數n，m，由于這2個參數構成了指數方程，表達方式較為復雜，即使在微小變化的條件下會出現曲線突變現象，同時這兩個參數決定了破壞后曲線的斜率和走勢.因此，在獲取參數時，對試驗曲線進行試算是極為關鍵的，直接關系到最終的擬合效果.

表2 本構模型參數

5 計算蠕變曲線的討論

通過等應變率壓縮試驗獲取本構模型參數的基礎上，利用式（8）可計算出在特定應力水平下瀝青混合料的蠕變行為，具體的蠕變曲線如圖6所示.

圖6 不同條件下計算蠕變曲線

由圖6可知，計算得出的蠕變曲線在開始一段時期內趨于線性，而后斜率逐漸增大，并最終計算結果將出現復數的情況.曲線不同階段經歷的時間與應力、溫度等條件相關，在高溫度和高應力條件時達到一定應變條件時所需時間較短，這與蠕變試驗的結果相一致的.與經典的蠕變試驗曲線相比，計算曲線可以很好地描述蠕變的第二和第三階段，即蠕變穩定期和破壞期，且穩定期所經歷的時間與溫度和應力相關，隨溫度和應力的增加穩定期所經歷的時間逐漸減少.然而，計算蠕變曲線對第一階段即遷移期不能較好地進行表述，這是由于式（8）表達式的數學性質決定的.式（8）為一個冪函數，自變量時間t位于底數位置，時間t從0開始增加時，一定范圍內蠕變斜率趨于常數，由式（9）可得，其斜率可近似地表示為

只有當時間t增加到一定階段后，蠕變曲線的斜率才會發生巨大變化.因此，若要描述第一階段需要對蠕變方程進行修正.

6 結 論

1）瀝青混合料在等應變率壓縮直至破壞的過程中，力學行為表現出與時間依賴的特性，同時破壞形式為Class I型.以粘性流動為出發點，引入等應變率非線性粘彈性本構模型，通過室內三軸試驗數據進行驗證表明，該模型可以對瀝青混合料等應變率壓縮行為進行描述.

2）可變量本構模型對瀝青混合料破壞后材料力學行為有較好的描述，并可以通過模型的方程獲取材料的壓縮破壞強度.計算蠕變曲線能較好地闡述穩定第二階段和破壞第三階段蠕變曲線，但需要指出的是，本文的模型對蠕變第一階段的描述不太明顯，需要進一步的改進和提高.

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