基于PLS算法的帶缺失值顧客滿意度指數的測評

趙富強劉金蘭

0 引言

顧客滿意度是一個經濟心理學的概念，是用消費者的消費經驗來衡量產品和服務的質量的。顧客滿意度視為一個不能被直接觀測潛變量，因此在測評中將總體用多重指標的方法來測量，測量結果是潛變量的分數，可以用于各個公司、行業、部門、地區和國家的顧客滿意度情況的比較。但在進行顧客滿意度調查時，研究人員得到的實際數據往往存在丟失的問題。當數據缺失后，在計算變量間的相關系數或協方差時，需要考慮如何對缺失值進行處理。

1 缺失值產生的原因、方式及處理方法

缺失值是指在進行問卷抽樣調查或實驗性研究中，應該從抽樣的樣本單元中得到而實際上卻由于種種原因而未得到所需的數據，也稱為缺失數據。

在進行實驗性研究或問卷抽樣調查中，數據缺失現象經常發生，主要原因包括：①被調查者不愿提供調查所需要的信息；②不可人為控制的因素造成數據的缺失；③調研人員本身或調查系統的原因沒有收集到完全的信息；④信息填報匯總錯誤原因造成數據的缺失等。產生缺失數據原因多種多樣，實際工作中有時很難判斷和檢測缺失數據產生的機制與方式。為了認識和研究缺失的數據，從形式上將其分為單元缺失與項目缺失兩種。Little和Rubin[2]定義了三種不同的數據缺失機制，即完全隨機缺失(MCAR)、隨機缺失（MAR）和不可忽略的缺失（NIM）。整個缺失數據的推估過程中，缺失數據的情況表現為三種方式[4,5]，即單變量缺失、單調缺失型和任意缺失型。

缺失值的處理方法主要包括Ad Hoc法和缺失值插補法。Ad Hoc法通常將有缺失值的數據整列刪除或成對刪除，它是缺失值處理最常用的方法，盡管簡單，但當數據缺失率低的情況下，仍具有一定優勢，包括如下兩種：

（1）列刪除法

列刪除法是指在收集到的樣本中如果含有缺失數據，則把含有缺失數據的記錄刪除。

（2）成對刪除法

在計算兩個變量的相關系數時，若其中一個變量有缺失數據，則刪除這條記錄，同時也刪除另一個變量對應的記錄（即使該變量數據完全）。該方法多用在因子分析、重復測量設計、區組設計資料分析及回歸與相關分析中。

缺失值插補法包括：均值插補法、隨機插補法和多重插補方法等，在此不作闡述。

除上述方法外，缺失值處理還有回歸或主成分法、最大似然估計法[5]、相似反應模式設算法和MCMC算法等。

在文獻[6]中，Lohm?ller’s PLSX對缺失值的處理為：⑴如果所有的顯變量樣本值都缺失，那么該樣本無效，無法估計潛變量。⑵如果該塊的顯變量樣本值不全缺失，那么計算潛變量估計時，缺失的顯變量值由該顯變量的均值替代。⑶如果該潛變量估計值有缺失，那么計算內部估計時，缺失值由0替代。⑷權重的計算：①模式A（Mode A）：權重根據公式計算；②模式B（Mode B）：當沒有缺失值按照公式計算；有缺失值時，采用成對刪除法把對應的缺失樣本值刪除，即不考慮在內，然后利用公式來計算權重。

2 求解帶缺失值的顧客滿意度指數

在ACSI顧客滿意度指數模型中，ξr為潛（隱）變量，ξ0為潛自變量（外生變量），其他為潛因變量（內生變量）；xrt為顯變量（觀測變量，r=0,1,2,3,4,5），即為ξr的指標，t為潛變量對應觀測值的個數(t=1,2…kr，kr為第r個潛變量對應觀測值的個數)，LXr分別為潛變量ξr的PLS估計值。

求解帶缺失值的顧客滿意度指數步驟如下：

（1）異常值處理

所謂異常值是被調查顧客在回答問卷時，由于各種原因而選擇了“不知道”、“拒絕回答”以及“超出數值范圍”等選項時系統默認的值。問卷采用10分制，從1分到10分供被調查者選擇，且只能選擇一個。對被調查者不知道或拒絕的回答，在數據庫里進行了標識（98表示不知道；99表示拒絕；101表示從來不購買）。這些數據在進行處理時按照缺失值處理。

（2）數據標準化

使得樣本值的均值為0、方差為1。

（3）缺失值處理

對數據庫里面的缺失值（在數據庫里標記為NaN）用0代替。初始化的權重分別為：v（1，0，0）、w1（1，0，0）、w2（1，0）、w3（1，0，0）、w4（1）、w5（1，0）。在一個塊結構中，只要有一個顯變量的值沒有缺失，那么就不刪除該樣本，處理的方法是“權重新定”。“權重新定”的方法是只要該潛變量對應的顯變量中的樣本數據不全為0，那么該樣本即代表的被調查對象對問題的態度，不能對該樣本做簡單的刪除處理；對顯變量為0的權重在計算時不考慮在內，顯變量不為0權重在原有權重及總和為1的基礎上進行重新計算。

設一n維權重列向量W=(ω1,…,ωn)，ω1+…+ωn=1；現在有一個包括n個數據的行向量X=(x1,…,xn)，其中第i，j個數據缺失，“權重新定”的計算公式為：

其中，Z是第i，j位置上為0，其余為1，包括n個數據的行向量；W’為列向量的轉置。

例如：樣本X=(0,5,10,0)，其對應權重W=(1/4,1/2,1/8,1/，LX=(0,5,10,0)(2/5,4/5,1/5,1/5)’=6，即x1=x4=0，其權重不考慮，對x2，x3的權重重新計算。

（4）利用PLS算法來估計模型中各個參數

計算過程參見下節，反復迭代得到潛變量估計值。

（5）求出顧客滿意度指數

根據第（4）步求得的權重系數，計算出顧客滿意度指數[1]。

3 Wold’s PLS算法模型估計[3]

需要指出的是，含多個潛變量結構方程模型的塊結構設定原則是假定塊內每個指標分別與對應的潛變量存在線性關系。模型設定詳細步驟在此不再給出。

其中，πrt為指標xrt的載荷系數(測量模型系數)，εrt為殘差，πrk0為截距值，kr為第r個潛變量對應觀測值的個數。

含多個潛變量結構方程模型的內部關系設定原則是內部關系應該構成一個線性因果鏈系統（linear causal chain system）。

權重關系利用信息交換過程中的部分信息估計潛變量值。任何一個潛變量均可以通過其指標變量的加權和來估計，而權重則由所選擇的權重關系來確定。每個潛變量權重關系可根據不同的情況包括模式A或模式B。

模式A權重關系為：

模式B權重關系為：

對ACSI路模型中潛變量ξr的符號權重和定義為Ur。假設與ξi鄰接的潛變量是ξj，則公式為：

其中srj是LXr和LXj的帶符號相關系數：

無缺失值時潛變量估計值的計算方法：

有缺失值時潛變量估計值的計算方法（權重新定）：

fr的正負符號選擇取決于期望的相關關系。

以后，就可以利用PLS算法來估計模型中各個參數，進而求解出整個結構方程模型。這里取樣本容量為N，指標xrt的樣本觀測值分別記為 xrtn，其中n=1…N，并且所有數據都已經標準化（均值為0，方差為1）。

模型設定完成以后，就可以利用PLS算法來估計模型中各個參數，進而求解出整個結構方程模型。這里取樣本容量為N，指標xrt的樣本觀測值分別記為xrtn，其中n=1…N并且所有數據都已經標準化（均值為0，方差為1）。

基于ACSI模型的PLS算法主要分三步。

第一步，通過反復迭代得到潛變量估計值。

①設定初始權重ωrt(s)；

②利用ωrt(s)根據公式(9)計算 fr，進而根據公式(9)計算ξr的估計值LXr；

③利用LXr由公式(7)計算srj；

④利用srj根據公式(6)計算Ur；

⑤利用Ur根據公式(4)或(5)回歸計算新的權重

第二步，將由第一步得出的潛變量估計值LXr分別與對應的指標觀測值回歸，根據潛變量的估計值，利用公式(2)計算外部關系的載荷系數，利用公式(3)計算內部關系的回歸系數。

（1）塊結構參數的估計（外部關系）

其中，εrtn為殘差，prt為回歸系數（測量模型系數）。

（2）內部關系參數的估計（內部關系）

其中，υrn為殘差，b為回歸系數（結構模型系數）。

第三步，求出均值，給出最初的關系式。

4 模型實例分析

以某食品公司為研究對象、ACSI為測評模型，利用基于Wold的PLS算法、處理缺失值采用“權重新定”的方法實現的顧客滿意度測評系統（MyPLS）完成對采集樣本的處理，處理步驟為：

（1）數據的收集采取網上調查的方式進行，參與網上調查的用戶為252位，因此樣本量為252（見表1）。

表1 某食品公司顧客滿意度調查原始數據表

（2）表1中x52表示價格敏感度，包括價格上漲和價格下降，x52最后取值價格上漲+25或價格下降-25；表中的98、99、101用符號“NaN”替換，表示缺失數據。

（3）對原始數據標準化處理。

（4）“權重新定”的方法處理缺失值，計算潛變量的估計值，用PLS算法反復迭代求出權重系數，進而得到顧客滿意度指數。

通過對帶缺失值的數據進行實證分析得出：如果其它條件不變，在權重ω初始值改變，各ω值迭代結果收斂于一定數值，即最終的迭代結果是相同的，表明整個迭代過程是收斂的；Cronbach’sα系數均大于0.7，均在很可信范圍；測評標準化因子負荷處于0.6107-0.9675之間，表明指標和潛變量間的有足夠的線性等價關系，滿足偏最小二乘法單一維度的條件；所有概念的AVE值都處于0.7138-0.9308之間，均大于0.5，這表明本文所設計的量表具有良好的內斂效度，見表2。

表2 模型評價參數比較

基于Java開發的SmartPLS[7]軟件處理同樣的樣本，可以得出：SmartPLS軟件的三種權重模式質心、因子和路徑求解到收斂的迭代次數分別為9、13和13，本文的PLS算法求解測評模型（簡稱MyPLS）僅僅需要5次。因此，My-PLS系統提高了對模型分析處理速度，在結構模型系數，潛變量估計值相關系數，權重系數，測量模型系數等方面，MyPLS與SmartPLS具有一致性；但在路徑系數、權重系數、公因子方差等個別項中有較大差異，可能是由于在缺失值處理方法不同導致的。

5 結論

本文分析了帶缺失值的顧客滿意度指數測評步驟：異常值處理、數據標準化、缺失值處理、利用PLS算法來估計模型中各個參數、求出顧客滿意度指數等；提出了一種缺失值處理方法“權重新定”；通過對某食品公司的帶缺失值數據分析，驗證了“權重新定”的缺失值處理方法的有效性。

[1]Fornell C.，劉金蘭.顧客滿意度與ACSI[M].天津：天津大學出版社,2006.

[2]Little R J A,Rubin D B.Statistical Analysis with Missing Data[M].New York:John Wiley&Sons,2002.

[3]Wold H.Soft Modeling：The Basic Design and Some Extensions[A].K G J reskog H Wold，Systems under Indirect Observation[C].North-Holland：Amsterdam,1982.

[4]Wang Q H,Rao J N K.Empirical Likelihood for Linear Regression Models under Imputation for Missing Response[J].The Canadian Jour?nal Statistics,2001,(29).

[5]Allison,Paul D.Missingdata Techniquesfor Structural Equation mod?els[J].Journal of Abnormal Psychology,2003,112.

[6]Tenenhaus,M.,Vinzi,V.E.,Chatelin,Y.M.,Lauro,C.PLSPath Model?ing[J].Computational Statisticsand Data Analysis,2005,48(1).

[7]Ringle,C.M.,Wende,S.,Will,A.SmartPLS-Version 2.0.Universit?t Hamburg,Hamburg[Z].2005.