單失效數據情形下壽命產品可靠度的Bayes分析

徐 寶，姜玉秋，滕 飛

1 預備知識

產品可靠性是產品壽命指標的總稱，它反映一個產品在規定時間和規定條件下完成規定功能的能力。在現代實際生產中，隨著科學技術的發展，許多產品都要求有很高的可靠性指標，產品的可靠性越來越受到人們的重視。因此，必須對產品進行可靠性測試，以此來弄清楚被試產品的壽命、求出各項可靠性指標以及研究產品的失效機理，從而為提高產品的可靠性提出建議。如果對產品的測試手段是成敗型試驗(如脈沖、振蕩等沖擊試驗)，那么該產品的壽命是以成敗次數來衡量的。在測試產品壽命的研究中Pascal分布起著重要的作用，因此對Pascal分布的可靠性分析具有理論價值和實際應用價值。在貝努里試驗中，設每次試驗成功的概率為θ(也稱其為可靠度)，失敗的概率為1-θ，試驗進行到r次失敗為止，那么所需要的試驗總次數X為服從參數為r,?θ的 Pascal分布的隨機變量，其分布律為：

其中，θ為產品的可靠度函數，簡稱可靠度，?0＜θ＜1；x=r,r+1,r+2,…。在對產品可靠性測試數據進行統計分析時，對產品失效個數大于2個的情形，已經有許多成熟的統計方法對其進行處理，但在現代生產中，產品可靠性的逐漸提高，產品失效機理也受到某些限制，從而導致試驗截止時無產品失效或只有一個產品失效(即單失效)的現象經常在小樣本的試驗中出現.對無失效數據的統計分析，一些學者已經進行了廣泛的研究[1～3]，得到了許多理論與方法，但對單失效數據進行研究的統計文獻卻并不多見。本文將在Bayes框架下，用參數估計方法研究單失效數據情形出現時壽命產品可靠度的估計問題。

單失效數據模型[4]具體描述如下：假設對某壽命產品進行定時截尾試驗，試驗樣品個數為n，測試時間分別為0＜t1＜t2＜…＜tk，如果在整個試驗過程中只有一個樣品在區間(tm-1,tm)內失效(這里1≤m≤k)，而其它樣品均未發生失效，那么就可以得到單失效數據模型：(si,ri,ti)，這里si和ri是ti時刻樣品的參試個數和失效個數，易知當i≤m-1時有ri=0，當i＞m-1時有ri=1，并且s1＞s2＞…＞sk.

統計推斷中的參數估計問題，一般都是在給定損失函數下進行的.對壽命服從Pascal分布的產品的可靠度，一些學者在平方損失函數、熵損失函數以及LINEX損失函數等損失函數下對其Bayes估計問題進行了深入的研究.本文將使用加權p,q對稱熵損失函數[5]

研究單失效數據情形出現時壽命產品可靠度的Bayes估計問題.這里δ是待估參數θ的估計量。

2 單失效數據情形下壽命產品可靠度的Bayes估計

這一部分在Bayes框架下，利用損失函數(2)來研究單失效數據情形下Pascal分布(1)的可靠度θ的估計，其中包括Bayes估計、多層Bayes估計以及E-Bayes估計，分別由下面定理給出。

定理1令隨機變量X服從Pascal分布(1)，在損失函數(2)下，對任何先驗分布，單失效數據情形下可靠度θ的Bayes估計為

證明：令δ(X)為單失效數據情形下可靠度θ的任一估計量，在損失函數(2)下，有δ(X)對應的Bayes風險：上式左端E表示關于θ與樣本x的聯合分布取期望。要想得到θ的Bayes解，只須關于δ極小化 E(θppδp(X)+δq(X)/qθq-2|X)即可，容易知道是其唯一最小值點，從而得到θ的Bayes估計為

下面考慮在給定先驗分布π1(θ)后，單失效數據下可靠度θ的Bayes估計的精確形式及其性質。

定理2若可靠度θ的先驗分布π1(θ)為貝塔分布，(其中a＞0,?b＞0為超參數，B(a,b)=∫01ta-1(1-t)b-1d t為Beta函數)，則在單失效數據情形下，可靠度θ基于損失函數(2)的Bayes估計為：

并且是θ的可容許估計。

證明：在單失效數據情形下，可靠度θ的似然函數為L(θ|x)=θx-1(1-θ)，于是θ的后驗分布密度為：

由于可靠度θ的Bayes估計的精確形式中含有貝塔先驗分布中的超參數a和b，若對超參數再給出一個先驗，稱之為超先驗，由先驗和超先驗決定的一個新先驗就稱為多層先驗。本文應用文[6]的結果，取超參數a的先驗π2(a)為U(1,c)，其中2≤c≤6，超參數b的先驗π2(b)為U(0,1)，并假設兩個超參數a和b獨立，則θ的多層先驗密度為：

定理3在多層先驗密度(3.1)下，單失效數據下可靠度θ的多層Bayes估計為：

證明：易知θ的后驗密度為：

于是

從而在損失函數(2)下，單失效數據下可靠度θ的多層Bayes估計為:

可靠度θ的多層Bayes估計是對先驗分布中的參數給出超先驗分布后得到的多層先驗分布下計算出來。對于先驗分布中的參數，一些文獻也把它看成是可靠度θ的Bayes估計中的參數，給定它們的先驗分布后，可以對可靠度θ的Bayes估計計算在該先驗分布下的數學期望，即可靠度θ的E-Bayes(expected Bayes estimation)估計[7]。下面研究在損失函數(2)下，單失效數據下可靠度θ的E-Bayes估計。

定理4若可靠度θ的貝塔先驗密度Beta(a,?b)中的超參數a和b的先驗分別為U(1,c)(其中c是常數)和U(0,1)，并且a和b獨立，則單失效數據下可靠度θ的E-Bayes估計為：

證明：由于超參數a的先驗π2(a)為U(1,c)，超參數b的先驗π2(b)為U(0,1)，由a和b獨立，從而有a和b的聯合先驗密度，其定義區域為D=(1,c)×(0,1)。由定理2知單失效數據下可靠度θ在貝塔分布Beta(a,?b)下基于損失函數(1.2)的Bayes估計為：

于是可靠度θ的E-Bayes估計為：

3 結束語

本文基于Pascal分布在加權p,q對稱熵損失函數研究了單失效數據下可靠度θ的Bayes估計問題，在Beta(a,?b)先驗分布下得到了θ的Bayes估計，又在給定超參數先驗分布下分別得到了θ的多層Bayes估計以及E-Bayes估計。盡管這些估計的形式中都含有積分運算，但由于本文使用的損失函數中有兩個待定常數p,q，可以通過選擇合適的p,q的值簡化計算以及得到穩健性較好的估計。

[1]韓明,丁元耀.產品無失效數據的可靠性分析[J].運籌與管理,2003,12(5).

[2]余文波,任海平.成敗型試驗中無失效數據的多層Bayes分析[J].南昌大學學報(理科版),2009,33(2).

[3]HAN Ming.Estimation of Reliability Based on Zero-failure Data[J].Pureand Applied Mathematics,2002,18(2).

[4]陳文華,崔杰,樊曉燕.單失效數據的可靠性統計分析[J].機械工程學報,2003,39(9).

[5]徐寶.壽命產品可靠度的貝葉斯估計[J].統計與決策，2011,(4).

[6]魏玲,師義民.巴斯卡分布參數的Bayes估計[J].純粹數學與應用數學,1999,15(2).

[7]韓明.Pascal分布的參數估計[J].純粹數學與應用數學,2006,22(4).