復雜網絡理論在“電力電子技術”教學中的應用

韋篤取，丘東元，張 波

(1廣西師范大學電子工程學院，廣西桂林541004 2華南理工大學電力學院，廣東廣州510641)

0 引言

由若干個節點與連接不同節點之間的一些邊組成的對象稱為網絡，如果用節點來表示不同的個體，邊表示不同節點之間所具有的某種關系，就可以把大量實際系統抽象為一個網絡。如果這些網絡節點和邊的數量眾多，結構復雜，連接形式多樣，我們就稱其為復雜網絡。自從Watts和Strogatz于1998年提出小世界網絡(Small World Network，簡稱SWN)模型以及Barabasi和Albert于1999年提出無標度網絡(Scale-Free Network，簡稱SFN)模型以來［1，2]，作為一種交叉性學科，復雜網絡理論發展很快，已經在很多領域得到應用。從Internet到WWW，從電力網絡到交通網絡，從科研合作網絡到經濟、政治和社會關系網絡等都有發展。可以說，人們已經生活在一個充滿著各種各樣的復雜網絡世界中，對復雜網絡的定量與定性特征的科學理解已成為網絡時代科學研究中一個挑戰性課題，甚至被稱為網絡的新科學(New Science of Networks)［3，4]。

另一方面，“電力電子技術”是高校電氣工程及其自動化專業、電氣信息專業本科生的專業必修課程之一。課程的主要內容包括電力電子器件、電力電子電路及控制技術［5，6]。傳統電力電子技術教學方法是把系統分解為大量的基本單元(如獨立電子元器)，由這些基本單元的性質及其相互作用按照電路學理論進行計算，再把計算結果綜合起來，推斷系統的整體性質。最近通過實證研究，學者發現電力電子系統是一個典型的復雜網絡［7，8]。這種復雜網絡理論為“電力電子技術”的教學開創了一條新路，就是用整體論方法處理復雜系統問題。新方法把電路定理與統計處理結合起來，把定量規律與定性特征結合起來，把系統的分解與單元的聚合結合起來，在處理復雜系統的結構與性質、機理與演化等問題上取得了重要進展。電力電子技術的進一步發展需要吸取復雜網絡的營養。本文將就復雜網絡與“電力電子技術”教學的關系與應用進行探討，并通過一個具體實例對此問題進行分析。

1 復雜網絡的幾個基本概念

1.1 平均路徑長度

網絡中兩個節點i和j之間的距離dij定義為連接這兩個節點的最短路徑上的邊數。網絡中任意兩個節點間距離的最大值稱為網絡直徑(Diameter)記為

任意兩個節點之間距離的平均值定義為網絡的平均路徑長度

式中，N為網絡節點數。網絡的長度L也稱為網絡的特征路徑長度(Characteristic Path Length)。

1.2 聚類系數［3，4]

一般地，假設網絡中的一個節點i有ki條邊將它和其它節點相連，這ki個節點就稱為節點的鄰居。在這ki個節點之間最多可能有ki(ki－1)/2條邊。而這ki個節點之間實際存在的邊數Ei和總的可能的邊數ki(ki－1)/2之比就定義為節點i的聚類系數:

從幾何特點看，上式的一個等價定義為

這里以節點i為中心的三元組，是指包含節點i的三個節點，并且至少存在從節點i到其它兩個節點的兩條邊。整個網絡的聚類系數C就是所有節點的聚類系數Ci的平均值。很明顯，0C1。當且僅當所有的節點均為孤立節點，即沒有任何連接邊時，C=0。當且僅當網絡是全局耦合的，即網絡中任意兩個節點都直接相連時，C=1。對于一個含有N個節點的完全隨機的網絡，當N很大時，則有C=O(N－1)。而許多大規模的實際網絡都具有明顯的聚類效應，它們的聚類系數盡管遠小于1但卻比O(N－1)要大得多。事實上，在很多類型的網絡(如社會關系網絡)中，你的朋友的朋友同時也是你的朋友的概率會隨著網絡規模的增加而趨向于某個非零常數，即當N→∞時，C=O(1)。這意味著這些實際的復雜網絡并不是完全隨機的，而是在某種程度上具有類似于社會關系網絡中“物以類聚，人以群分”的特性。

1.3 度與度分布［3，4]

度(Degree)是單獨節點的屬性中簡單而又重要的概念。節點i的度k定義為與該節點連接的其它節點的數目。有向網絡中一個節點的度分為出度(Out-Degree)和入度(In-Degree)。節點的出度是指從該節點指向其它節點的邊的數目，節點的入度是指從其它節點指向該節點的邊的數目。直觀上看，一個節點的度越大就意味著這個節點在某種意義上越重要。

網絡中所有節點i的度ki的平均值稱為網絡的(節點)平均度，記為〈k〉。網絡中節點的度的分布情況可用分布函數P(k)來描述。P(k)表示的〈k〉是一個隨機選定的節點的度恰好為k的概率。

規則的格子有著簡單的度序列:因為所有的節點具有相同的度，所以其度分布為Delta分布，它是單個尖峰。網絡中的任何隨機化傾向都將使這個尖峰的形狀變寬。完全隨機網絡的度分布近似為Poisson分布，其形狀在遠離峰值〈k〉處呈指數下降。這意味著當k〈k〉時，度為k的節點實際上是不存在的。因此，這類網絡也稱為均勻網絡。

近幾年的大量研究表明，許多實際網絡的度分布明顯地不同于Poisson分布。特別地，許多網絡的度分布可以用冪律形式P(k)～k－γ來更好地描述。冪律分布曲線比Poisson指數分布曲線下降要緩慢得多。冪律分布也稱為無標度(Scale-Free)分布，具有冪律度分布的網絡也稱為無標度網絡，在一個度分布為具有適當冪指數(通常為2γ3)冪律形式的大規模無標度網絡中，絕大部分節點的度相對很低，但存在少量的度相對很高節點。因此，這類網絡也稱為非均勻網絡(Inhomogeneous Network)，而那些度相對很高的節點稱為網絡的“集線器”(Hub)。

2 復雜網絡理論的具體應用例子

我們現在通過一個典型的例子，即對三相逆變電路器件短路時的故障診斷，來說明復雜網絡方法在“電力電子技術”教學中的應用。

一般來說，我們首先根據網絡的結構特點，建立電力電子變換器的復雜網絡模型，具體方法如下:在電力電子變換器中，將元器件(如電阻、電容、電感、開關器件、二極管和變壓器等)及電源定義為節點，將連接各個元器件的導線定義為無向邊，由此得到電力電子變換器對應的網絡圖。

圖1為三相橋式逆變器，其網絡模型如圖2(a)所示。圖中共有節點數N4a=10個，邊數l4a=24條，對應的基本特征參數為:聚類系數C4a=0.46，平均路徑長度L4a=1.467條。而對于一個具有相同節點數和邊數的隨機網絡，其聚類系數和平均路徑長度分別為Crand≈0.38，Lrand≈1.468條。對比兩組數據，可得C4a＞Crand，L4a≈Lrand。可見三相橋式逆變器的主電路符合小世界網絡“大聚類系數和小平均路徑長度”特性［8]，因此屬于一種典型的小世界網絡。

圖1 三相橋式逆變器

假設晶閘管T1斷路，那么將節點T1剔除，并刪除T1與其他節點相連的邊，得到圖2(b)。此時N4b=9個，l4b=19條，C4b=0.456，L4b=1.472條。對比圖2(a)和2(b)，發現C4a≈C4b，L4a≈L4b，即故障發生后，雖然網絡模型中的節點和邊均減少，但其特征參數基本不變。因此采用現有的建模方法，只能表達元器件之間的靜態連接關系，不能反映出逆變器的運行狀況，而且難以區分正常態和故障態。

圖2 故障發生前后對比

三相橋式逆變器正常工作時，共陰極組和共陽極組各有一個晶閘管導通，設T1和T6導通。此時負載Ra和Rb直接與電容C相連，若添加兩條連線(虛線)反映此電氣連接關系。正常運行(T1與T6導通)時，圖2(a)便演變成為圖3(a)。由于三相橋的對稱性，圖3(a)也適用于其余五對晶閘管導通時的情況，因此，圖3(a)可以看作三相橋式逆變器正常工作模態對應的網絡圖。當晶閘管T1斷路時，逆變器的輸出電壓缺相，故障態與正常態相互轉換，相當于在圖3(b)和圖3(c)之間切換。

圖3(b)是T1斷路，僅有T6導通的狀態。圖3(c)是T1斷路，T2和T3導通的狀態。我們現在來計算上述各圖的特征參數可得:由圖3(a)得C5a=0.523，L5a=1.422條;由圖3(b)得C5b=0.485，L5b=1.444條;由圖3(c)得C4c=0.543，L4c=1.417條。分析可見，圖3(a)和圖3(c)對應的特征參數基本相等，其中ΔC=0.4%，ΔL=3.8%;而圖3(b)和圖3(c)對應的特征參數變化率達到，ΔC=1.9%，ΔL=10.7%這意味著T1斷路時，當逆變器在(圖3(c))所示有輸出電壓時，其網絡特征與原正常態的基本相同;而當逆變器在(圖3(b))所示無輸出電壓時，其網絡特征出現了較明顯的變化。

圖3 三相橋式逆變器的網絡圖

由此可見，采用合適的建模方法，電力電子系統的不同故障能夠在系統結構層次上體現。即使是同類故障，對應的網絡圖相似，還可以利用網絡結構的唯一性，采用其他特征參數(如節點對應的聚類系數、度分布函數等)進行更細致的區分。因此，本例子運用復雜網絡理論進行故障診斷的教學，可以取得預期的效果。

3 結語

本文應用復雜網絡方法可以解決“電力電子技術”教學中的難題。復雜網絡在電力電子教學上的應用還遠遠不止上述一個例子。我們還可以應用復雜網絡思想和方法去解決復雜電力電子技術其他方面的問題。復雜網絡方法更多的應用需要我們進一步探討。

［1] Watts D J，Strogatz S H.Collective dynamics of＇small world＇networks［J] .Nature，1998

［2] Barabási A L，Albert R.Emergence of scaling in random networks［J] .Science，1999

［3] 汪小帆，李翔，陳關榮.復雜網絡理論及其應用［M] .北京:清華大學出版社，2006

［4] 周濤，柏文潔，汪秉宏，劉之景，嚴鋼，復雜網絡研究概述［J] .北京:物理，2005

［5] 丘東元，彭錦鳳，張波，基于仿真平臺的“電力電子技術”教學模式探討［J] .南京:電氣電子教學學報，2009

［6] 丘東元，何文志，張波，肖文勛，基于Flotherm軟件的電力電子裝置熱分析［J] .南京:電氣電子教學學報，2009

［7] 丘東元，彭錦鳳，張波，電力電子變換器結構性故障的有向圖論診斷方法，［J] .哈爾濱:電機與控制學報，2010

［8] 彭錦鳳，電力電子變換器的小世界網絡特性及其故障分析［J] .廣州:華南理工大學，2010