零階保持器頻率特性的仿真研究

王春俠

(陜西理工學院電氣工程系，陜西漢中723003)

0 引言

由于零階保持器具有最小相位滯后、結構簡單和易于實現等特點，常用于閉環離散系統［1]。如圖1所示，零階保持器把采樣時刻kT的采樣值保持到(k十1)T時刻。即在時間t∈［kT，(k十1)T] 區間內，它的輸出量一直保持為x(kT)這個值。依次類推，從而把離散信號恢復成了一個階梯形的連續信號xh(t)。

離散信號經過零階保持器解調后的階梯形信號xh(t)的數學描述可以寫為

對式(1)進行拉普拉斯變換得

圖1 采樣和保持前后的信號

由上式可得零階保持器的傳遞函數

在筆者所見到的“自動控制原理”、“計算機控制技術”和“計算機控制系統”等課程的教材中，都是將s=jω代入式(3)得到零階保持器的頻率特性曲線，其中幅頻特性|Gh(jω)|如圖2(a)所示。相頻特性有如圖2(a)［1－4]、圖(b)［5]和圖(c)［7－11]所示的三種形式，其中圖(a)和圖(b)所示的相頻特性是等價的。

筆者贊同圖2(a)和圖2(b)所示的相頻特性曲線，認為圖2(c)是錯誤的。本文基于Matlab軟件，分別使用Padé近似法、直接計算法和分步計算法仿真研究零階保持器的頻率特性。

圖2 現有教材零階保持器的頻率特性曲線

1 Padé近似法

Padé近似法的關鍵是在s域內對純延遲環節的傳遞函數e－Ts進行n階padé近似［6]，將其變成分子與分母同階次的n次有理傳遞函數，其表達式為

n值越大近似精度越高，一般取n=3～4就可以獲得相當滿意的精度［6]。將式(4)代入式(3)得到的有理傳遞函數形式:

對式(5)按照有理傳遞函數的幅相頻率特性曲線繪制方法可以繪制出零階保持器的幅相頻率特性曲線。取T=2s，將e－Ts近似成10階有理多項式并繪制Gh(s)的幅相頻率特性曲線由Matlab繪制的Gh(s)的幅相頻率特性如圖3所示。

圖3 T=2s時Gh(s)的幅相頻率特性曲線

由圖3可知，零階保持器的初始幅值為T，初始相角為零。隨著角頻率ω從零變化到無窮，零階保持器的幅值由T振蕩衰減到零。零階保持器總是存在相位滯后，最大滯后相角為π。這一結論與圖2(a)一致。

2 直接計算法

根據傳遞函數與頻率特性的關系，在式(3)中用jω代替s，得到零階保持器的頻率特性:

取T=2s(即ωs=π)，在ω≈0→ω=4ωs頻率范圍內，選步長為ωs/32，計算Gh(jω)的幅頻特性A(ω)和相頻特性D(ω)。通過Matlab繪制的Gh(s)的幅頻特性和相頻特性如圖4所示，驗證了圖2(a)的正確性。

圖4 T=2s時Gh(s)的幅頻特性和相頻特性曲線

3 分步計算法

式(6)還可以寫成

其中，X(ω)=1－cos(-ωT)，Y(ω)=-sin(-ωT)。

用Matlab計算X(ω)和Y(ω)后并繪制Z(jω)曲線，如圖5所示。可見，Z(jω)的幅值變化范圍為0(ω=0)～2～0，相角變化范圍為90o～0o～-90o，然后跳變到90o。

圖5 Z(jω)曲線

零階保持器頻率特性的極坐標形式為

其中，A(ω)=|Z(jω)|/ω，D(ω)=∠Z(jω)－π/2。

用Matlab計算Gh(s)的幅頻特性A(ω)和相頻特性D(ω)，可見繪制的Gh(s)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線同圖5所示。該方法揭示了零階保持器的相頻特性反復變化范圍為0o～-90o～-180o，然后跳變到0o的原由。

4 結語

我們采用以上三種方法從幅相頻率特性、幅頻和相頻特性兩個方面表明了零階保持器的幅值隨頻率ω的增大而衰減;零階保持器存在相位滯后，最大滯后相角為。其中第三種方法從本質上揭示了零階保持器的相頻特性為0～-π/2～-π，然后跳變到0反復變化的原因。期望本研究結果對零階保持器的頻率特性的相關教學有所幫助。

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