基于彈簧阻尼模型的碰撞動力學研究

周志才，吳新躍，張文群，謝最偉

（海軍工程大學機械工程學院，湖北 武漢430033）

在工程實際中，多體系統的動力學行為往往伴隨著接觸碰撞的發生.關于含碰撞的多體動力學建模理論，國內外在恢復系數模型、動量平衡模型和彈簧阻尼模型等適合碰撞的幾種比較常用模型方面取得了諸多研究成果.彈簧阻尼模型假定變形發生在接觸區的鄰域，將接觸模型簡化為一個彈簧阻尼系統，認為碰撞過程不再是瞬時的過程，可以通過模型的數值分析計算碰撞力和作用過程［1］，能夠很好地對低速碰撞問題進行模擬.本文基于等效彈簧阻尼模型對多體系統進行碰撞動力學建模研究.

1 基于能量關系的等效彈簧阻尼模型

等效彈簧阻尼法認為接觸力是一種特殊的力，將碰撞過程中碰撞現象處理為連續的動力學問題，將接觸力等效成一個彈簧阻尼模型（圖1）.設兩個物體接觸點的曲率半徑分別為r1和r2，接觸面法線正向為n.考慮材料阻尼，廣義的Hertz公式具有如下形式［2］

式中：δ為兩個物體沿接觸面法向相對壓入型變量； δ為相對壓入速度.根據 Hunt和Grossley的研究［3－4］，阻尼系數 D ＝λδn.k為彈性力學中的 Hertz剛度，它取決于材料特性和曲率半徑，可表示為

式中Ei和vi分別為兩個物體的彈性模量和泊松比.

圖1 等效彈簧阻尼模型

1.1 滯后阻尼系數計算

將碰撞過程分為壓縮階段和恢復階段.在壓縮階段，兩個物體沿接觸面法向產生形變直到兩個物體的相對逼近速度為零，此時相對壓縮量達到最大值δm，隨后開始恢復階段直至兩個物體分離，碰撞結束.根據Hunt假設，碰撞期間的能量被阻尼耗散，式（1）表示的接觸力模型相對于壓入量的關系呈滯后形式（圖2）.

根據能量關系確定滯后阻尼系數λ與碰撞前后的速度關系，基于Newton恢復系數e，計算碰撞期間系統的動能損耗

此外，碰撞導致的能量損耗也可沿圖2所示的滯后環進行積分獲得，即

圖2 Hertz接觸力的滯后形式

比較式（3）和（4）可見，恢復系數和滯后阻尼系數之間滿足

1.2 最大壓縮量的計算

壓縮階段，兩個物體的運動方程可以等價為

對上式進行積分，有

這里 δ0＝υ10－υ20.在壓縮階段結束時，相對壓縮量達到最大值δm，而 δ＝0，代入式（6）可以解出

上式表明，兩個物體的相對最大壓縮量取決于碰撞體的質量、接觸面材料性質、接觸點曲率半徑和碰撞前的速度.

1.3 接觸時間的計算

聯合式（6）和（7）可得

對上式進行積分得

當δ達到δm，即δ／δm＝1時，

假設壓縮階段和恢復階段的接觸時間相同，則可近似求得整個碰撞期間的接觸時間

1.4 接觸力的計算

將式（5）、（8）代入式（1）可以求得壓縮階段接觸力

由于物體之間的彈性正碰撞時間很短，一般在10－3～10－5s之間，故假設恢復階段 δ的變化與壓縮階段的變化相同［5］.壓縮階段彈簧力和阻尼力的方向相同，恢復階段時彈簧和阻尼力方向相反，所以接觸力產生滯后現象.恢復階段的接觸力可表示為

2 基于沖擊函數法（impact）的彈簧阻尼模型

沖擊函數法是根據impact函數來計算兩個構件之間的碰撞力，其滯后阻尼系數采用step函數進行模擬.impact函數［5］的一般表達式為：

式中：ε為碰撞指數；cmax為最大阻尼系數；d為到達最大阻尼系數時的切入深度.阻尼系數形式為step（q，q0，h0，q1，h1），按下式進行計算：

對ADA MS碰撞力定義的分析表明，碰撞接觸力仿真需要確定剛度系數、碰撞指數、阻尼系數和阻尼達到最大時的切入深度d.根據赫茲理論，兩物體碰撞的接觸剛度可根據式（2）確定；碰撞指數由式（11）可知，碰撞指數ε反映了材料的非線性程度（其推薦值金屬與金屬材料為1.5，橡膠材料為2）；最大阻尼系數cmax表征碰撞能量的損失，其值通常設為剛度系數的0.1%～1%；切入深度表征最大阻尼時的侵入深度，開始碰撞時沒有阻尼力，隨著侵入深度增大，阻尼力加大，直到最大阻尼力，其適合值為0.1 mm.

3 算例分析

以兩個質量分別為m1和m2圓球物體在水平面內發生的對心正碰撞為研究算例，取兩球的半徑分別為r1＝25 mm，r2＝50 mm.材料取碳鋼，其中彈性模量E1＝E2＝206 GPa，泊松比v1＝v2＝0.28，密度ρ＝7 800 kg／m3.初始速度υ10＝0.2 m／s，υ20＝0，分別使用基于能量關系的彈簧阻尼模型和impact函數模型對恢復系數e為0.3～0.8進行計算，得到結果如表1中所示（限于篇幅，僅列部分結果），繪制相對壓入形變量與接觸力曲線（圖3、圖4）.

表1 模型接觸碰撞計算結果

圖3 e＝0.8時形變接觸力曲線

圖4 e＝0.3時形變接觸力曲線

由表1可以看出，當發生碰撞的兩個物體的質量、接觸面材料性質、接觸點曲率半徑和碰撞前的速度確定之后，兩物體的最大形變量也就確定了，跟牛頓恢復系數無關，這與式（7）也是相吻合的；由于沖擊函數模型沒有考慮碰撞速度對滯后阻尼的影響，導致沖擊函數模型結果仿真相比于理論計算結果存在一定誤差；沖擊函數模型是在恢復系數e≈1時進行模擬的，所以在恢復系數較大時沖擊函數模型仿真是正確的，但當e＜0.7時，沖擊函數模型的準確性比較差.

在含有接觸問題的多體動力學分析中，接觸模型的選取是計算結果正確與否的關鍵.經過以上理論計算模型和沖擊函數仿真模型的對比分析，可以根據問題的特點選擇合適方法，并且通過設置合理參數獲得足夠準確的結果.

4 結束語

本文針對碰撞模型中最常用的彈簧阻尼模型，分別進行了理論公式推導和仿真計算.將碰撞過程分為壓縮階段和恢復階段，結合能量關系和恢復系數法對碰撞力、最大壓入形變量和碰撞接觸時間進行了推導，得出了顯式解析解.通過ADA MS軟件建立仿真模型，設置合理參數進行仿真分析，與理論計算結果進行了比較研究.理論模型的參數設置比較簡單，但公式推導計算比較復雜，直觀性不強；沖擊函數模型直觀性強，在恢復系數e＞0.7時，沖擊函數模型可以得到較好的仿真結果，但是碰撞前的速度對碰撞的影響沒有考慮進去，且仿真參數的設置對結果影響很大.如何正確設置碰撞參數需要更進一步的研究.

［1］丁遂亮，洪嘉振.柔性多體系統接觸碰撞動力學研究［J］.上海交通大學學報，2003，37（12）：1 927－1 930.

［2］金棟平，胡海巖.碰撞振動與控制［M］.北京：科學出版社，2005.

［3］Lankarani H M，Nikravesh P E.A Contact Force Model with Hysteresis Damping for Impact Analysis of Multi－body Systems［J］.Jour nal of Mechanical Design，1990，1（12）：369－376.

［4］Lankarani H M Nikravesh P E.Continuous Contact Force Models for Impact Analysis in Multi－body Systems［J］.Nonlinear Dynamics 1994，5：193－207.

［5］李增剛.ADA MS入門詳解與實例［M］.北京：國防工業出版社，2006.

［6］劉德順，李夕兵，朱萍玉.沖擊機械動力學與反演設計［M］.北京：科學出版社，2007.