基于有限元功率流的L型板振動傳遞特性

喬 志，陳美霞

(華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074)

0 引言

L型板是艦船結構中常見的連接結構形式。研究其振動傳遞特性，對于研究艦船結構振動噪聲傳遞和控制具有重要意義。

J.M.Cuschieri［1-3］，Nicol J.Kessissoglou［4］分 別基于導納功率流的思想和結構聲強計算方法，對L型板的振動能量傳遞情況進行研究。得出在低頻情況，耦合板主要是以彎曲波傳遞能量為主;隨著頻率的增大，面內波的作用也越發明顯。李天勻［5］利用導納法研究了L型加筋板在外載荷作用下的輸入振動功率和傳遞振動功率流。隨著振動功率流技術的不斷發展，振動能量在結構中傳遞的具體細節越發被關注。L.Gavric和 G.Pavic［6］基于有限元的思想，推導了梁、平板以及殼體結構中的結構聲強(功率流密度)公式，并給出了簡支平板結構的結構聲強矢量圖，與采用模態疊加法計算的結果進行對比，驗證了該種方法的可行性。然而，之前的一些研究僅僅是針對簡單的規則結構，對于復雜結構并未涉及到。

本文基于有限元功率流理論，提出了對L型板連接處單元上的功率進行積分，為計算復雜結構的傳遞功率提供一種思路。將本文計算結果與導納功率流法的結果進行對比，得到輸入功率和傳遞功率結果曲線吻合較好，從而說明了本文計算結構傳遞功率的方法是可行、準確的。同時本文提出了評價振動傳遞的指標，功率流傳遞率，即從能量的角度定量地描述L型板傳遞振動的能力。給出了L型板的功率流云圖，并將可視化技術應用到復雜結構艙段基座中，為研究基座的振動傳遞特性提供一定的幫助。對于工程實踐中的一些復雜結構，解析解求取傳遞功率可行性不大，而本文研究方法對于復雜的結構具有很好的通用性。

1 基本理論

1.1 導納功率流理論

J.M.Cuschieri［1］在較早時期提出了基于導納功率流法對L型板的振動傳遞特性進行分析。其分別給出輸入功率和傳遞功率的公式，見式(1)和式(2)所示。基于導納功率流計算的結果作為本文的參考值，以此來驗證本文處理方法結果的可行性和準確性。

1)輸入功率

式中:

1.2 有限元功率流理論

1.2.1 輸入功率

機械設備安裝在彈性結構上，安裝點的尺寸遠小于結構波長，因此可以用點激勵近似模擬機械激勵作用。

對于有n個點激勵源的薄板結構，其輸入到系統能的總能量表達式為

式中:Fj為第j個廣義激勵力;σj第j個廣義激勵力位置處的廣義位移大小。

1.2.2 結構聲強

結構聲強可以認為是功率流密度，其形式為矢量，表示結構上某點能量的大小和方向;對結構的某個截面上的結構聲強進行積分即可得到通過該截面的功率流。通常對于薄板結構，認為通過薄板結構單位寬度上的功率流，即為結構聲強。對薄板截面任意點的結構聲強沿板的厚度積分，即可得到通過薄板單位寬度的功率流。對于結構在穩態振動情況下，只有結構聲強的實部對能量的傳輸是有貢獻的，因此更多關注的是結構聲強的實部，通常也定義為結構的有效聲強。

瞬時情況下，結構聲強是時間的相關量，可表示為［6］

式中:vt(t)為結構的第l個速度矢量的分量;σkl(t)為第kl個應力張量的分量，它們都是時間的相關量。

對第k個瞬時結構聲強分量進行時間上的平均，則可得到通過結構某點的凈聲強:

對于單位寬度平面薄板單元，沿薄板的厚度進行積分可以得到通過薄板單位寬度的功率流計算公式:

對于簡諧振動下的結構，其結構聲強又可以表示成位移表達式:

式(8)和式(9)中，前2項是拉伸波結構聲強，第3和第4項是彎曲波結構聲強，最后1項為扭轉波結構聲強。

1.2.3 傳遞功率

在完成模型結構聲強計算后，通過選定一條積分路徑(如圖1所示)進行積分，即可求得通過該路徑上的傳遞功率。本文基于有限元離散思想，將結構離散為單元形式，通過對邊界連接處單元輸出功率的求取，從而得到L型板耦合邊的傳遞功率。

對于有m個薄殼單元的輸出功率表達式為:

式中:Fj為第j個薄殼單元的廣義內力;uj為第j個薄殼單元廣義位移大小。

1.3 功率流傳遞率評價指標

目前主流的振動傳遞評價指標有:力傳遞率、插入損失以及振級落差。隨著功率流技術的不斷發展，基于能量觀點的功率流評價指標越發被關注。

為了更直觀地說明L型板在耦合邊處傳遞振動能量的能力，文中給出了功率流傳遞率指標。定義通過耦合邊傳遞到受板的功率流與激勵點輸入到源板的功率流比值為功率流傳遞率［7］，即

式中:Ptr為通過耦合邊傳遞到受板上的功率;Pin為激勵點輸入到源板上的功率。

2 數值算例

2.1 計算模型說明

計算模型參數如表1所示。

計算頻率:20～1000 Hz，間隔2 Hz;

邊界條件:耦合邊自由，其他邊簡支;

激勵力:單位力，位置為 (0.5，0.25，0)。

邊界條件以及激勵力位置見圖1。

在對模型進行有限元網格劃分時要保證計算頻率內每個彎曲波波長內至少有6個單元，從而可以較準確地擬合出振動波在結構中傳遞的情況。

表1 L型板參數Tab.1 Parameter of L-shaped plate

圖1 L型板有限元模型Fig.1 Fem model of L-shaped plate

2.2 輸入功率、傳遞功率以及功率流傳遞率

本文主要采用有限元分析軟件Ansys，對L型板進行諧響應分析。基于式(1)、式(10)以及式(11)，通過編程在Ansys后處理中實現對L型板的輸入功率、傳遞功率流以及功率流傳遞率的計算。并將由本文方法計算的結果與文獻 ［1］中導納功率流的計算結果進行對比，對比結果見圖2～圖4所示(參考功率值為1e-12 W)。

圖2 輸入功率對比Fig.2 Comparison of input power

2.3 結構功率流的可視化

為了更好地說明L型板的振動傳遞情況，本文選取了在輸入功率、傳遞功率以及功率流傳遞率曲線峰值和谷值處頻率的結構功率流云圖進行說明，具體見圖5所示。

圖5 L型板功率流云圖Fig.5 Power flow cloud pictures of L-shaped plate

2.4 數值算例結果分析

綜合圖2～圖5可得:

1)2種方法在整個計算頻率段內輸入功率、傳遞功率以及功率流傳遞率曲線吻合得比較好，進而說明本文這種處理方法是可行、準確的，可以應用到研究復雜結構的振動傳遞特性中。

2)在輸入功率和傳遞功率同時達到峰值時，不一定意味著結構傳遞振動能力就是大的，結合L型板的功率流云圖可以很好地解釋功率流傳遞率曲線峰值和谷值原因。因此，在實際結構分析中應該綜合考慮結構的輸入和輸出，才能準確評價結構振動傳遞情況，這也是本文為什么要提出功率流傳遞率指標的目的所在。

3)通過給出結構的功率流云圖，可以直觀地得到能量在結構中的流動情況，為結構的振動控制設計提供一定的參考依據。

在實際艦船結構中，較規則的結構形式很少，更多的是一些組合型的復雜結構。本文在之前簡單L型板研究的基礎上對帶有基座結構的艙段結構進行研究。給出艙段以及基座的功率流云圖，通過基座以及艙段殼體的功率流云圖，可以很清楚地得到能量在結構中的傳遞途徑，為研究基座的振動傳遞特性提供一定的參考依據，具體見圖6所示。

圖6 復雜艙段結構功率流可視化Fig.6 Power flow visualization of complex cabin structure

3 結語

基于以上相關分析說明得出如下結論:

1)通過與導納功率流計算結果的對比，證明本文所提出的處理方法的可行性和準確性。

2)本文提出的功率流傳遞率指標綜合考慮了結構振動能量輸入和振動能量傳遞情況，可以定量地分析結構傳遞振動的能力;同時給出直觀描述能量流動的功率流云圖;通過將兩者結合起來可以從能量角度更好地分析復雜結構的振動傳遞情況。

3)本文處理方法對工程實際中復雜結構具有一定的通用性，可以為結構振動控制設計初階段提供一定的幫助。

［1］CHUSCHIERI J M.Structural power-flow analysis using a mobility approach of an L-shaped plate［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1990，87(3):1159-1165.

［2］CHUSCHIERI J M.Parametric analysis of the power flow on an L-shaped plate using a mobility power flow approach［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1992，91(5):2686-2695.

［3］CHUSCHIERI J M，McCOLLUM M D.In-plane and out-ofplane waves’power transmission through an L-plate junction using the mobility power flow approach［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1996，100(2):857-870.

［4］KESSISSOGLOU N J.Power transmission in L-shaped plates including flexural an in-plane vibration［J］.Journal of the Acoustical Society of America，2004，115(3):1157-1169.

［5］李天勻，張維衡.L形加筋板結構的導納功率流研究［J］.振動工程學報，1997，10(1):112-117.

［6］GAVRIC L，PAVIC G.A finite element method for computation of structural intensity by the normal mode approach［J］.Journal of Sound and Vibration，1993，164(1):29-43.

［7］朱石堅，等.振動理論與隔振技術［M］.北京:國防工業出版社，2006.286-289.