彈道導(dǎo)彈最大射程評定的T統(tǒng)計估計法

王瑞臣，李建林，楊海波

(海軍潛艇學(xué)院，山東 青島266042)

0 引言

導(dǎo)彈武器系統(tǒng)復(fù)雜，價值昂貴，特別是遠程彈道導(dǎo)彈，由于試驗次數(shù)很少，對其戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標的試驗分析與評估應(yīng)用小子樣的理論和方法具有明顯的實際意義。最大標準飛行距離的估計方法一般都采用T統(tǒng)計法和Bayes方法。應(yīng)用Bayes方法估計最大標準飛行距離比T統(tǒng)計方法精度更高［1］。但在用Bayes方法評定時，先驗信息的來源及其可信度往往決定了評估的效果，如果先驗信息數(shù)量過大，則有可能覆蓋當前實際打靶樣本;如果先驗信息獲取不正確，則評定結(jié)果的可信度難以保證。本文用T方法估計最大標準飛行距離，樣本數(shù)量較多時，與Bayes方法評定結(jié)果相差較小。

1 最大標準飛行距離

由于試驗的目的和任務(wù)不同，試驗導(dǎo)彈的技術(shù)狀態(tài)和使用導(dǎo)彈的技術(shù)狀態(tài)存在著差異。為進行飛行試驗評定，有必要規(guī)定一個標準條件，按照這個標準條件計算每發(fā)試驗彈的最大飛行距離。

國家軍用標準推薦一個供最大飛行距離評定使用的標準條件，具體如下:

1)武器系統(tǒng)為戰(zhàn)斗狀態(tài);

2)液體推進劑按指定液位加注，常溫推進劑加注溫度為15℃，固體推進劑溫度為20℃;

3)地球為勻質(zhì)不旋轉(zhuǎn)圓球，半徑為6 371 110 m;

4)武器系統(tǒng)發(fā)射點和目標點均在地球表面，高程為0;

5)大氣模型采用國家標準GB1920-80規(guī)定的標準大氣模型，高空風(fēng)速為0。

1.1 標準飛行距離

在標準條件下計算的導(dǎo)彈發(fā)射點至目標點的大地距離稱為標準飛行距離。在實際飛行試驗條件下獲得的導(dǎo)彈飛行距離需轉(zhuǎn)換為標準飛行距離后才能進行飛行距離評定。

1.2 試驗最大飛行距離

試驗彈在實際發(fā)射與飛行條件下，發(fā)動機繼續(xù)工作至推進劑耗盡或發(fā)動機燃燒室壓力下降至使反向噴管打開的最小值時所能達到的飛行距離稱為試驗最大飛行距離。

對固體燃料彈，推進劑達到動力系統(tǒng)能正常工作的最小剩余量時為推進劑耗盡。對液體燃料彈，由于其推進劑有2種原料，即氧化劑和燃燒劑，在實際飛行條件下，它們不可能同時耗盡，因此，其中任何一種原料達到動力系統(tǒng)能正常工作的最低液位就認為是推進劑耗盡。

試驗最大飛行距離實際上就是單發(fā)彈在試驗條件所能達到的最大飛行距離。

1.3 試驗最大標準飛行距離

按照標準條件計算每發(fā)試驗彈的最大飛行距離，即從試驗最大飛行距離中扣除相對于標準條件的系統(tǒng)偏差對最大飛行距離的影響后得到的最大飛行距離稱為試驗最大標準飛行距離。

由于飛行中的試驗彈受到許多內(nèi)外干擾因素的影響，如自身的各種參數(shù)偏差等。因此，對一種型號或同型號的一個批次來說，試驗最大標準飛行距離L是一個隨機變量，服從一定的概率分布。固體導(dǎo)彈的試驗最大標準飛行距離L近似服從正態(tài)分布，即

式中:μ為試驗最大標準飛行距離的期望值;σ2為試驗最大標準飛行距離的方差。

1.4 最大標準飛行距離

給定概率水平q，若下式成立

則稱Lmax為概率水平q下的最大標準飛行距離。

根據(jù)國軍標，q取99%或98%。若f(L)為L的概率密度函數(shù)，那么Lmax滿足

從式(2)和式(3)可以看出，最大標準飛行距離是試驗彈推進劑耗盡時所能達到的飛行距離的下界，即最大標準飛行距離是試驗最大標準飛行距離的下界，最大標準飛行距離Lmax與概率水平q的取值有關(guān)，q越大，Lmax越小;反之亦然。

2 T統(tǒng)計估計法

2.1 T統(tǒng)計估計法

由試驗最大標準飛行距離正態(tài)性假設(shè)式(1)與最大標準飛行距離的統(tǒng)計學(xué)定義式(2)可得

于是

式中:Φ(x)為正態(tài)分布函數(shù);Φ-1(x)為Φ(x)的反函數(shù)。

設(shè)有n個試驗最大標準飛行距離L1，L2，…，Ln，樣本均值與樣本標準偏差分別為

則當σ已知時，Lmax的點估計為

當σ未知時，Lmax的點估計為

由

則

另

作統(tǒng)計量

T的概率密度為

對于給定顯著性水平α，最大標準飛行距離Lmax置信度為(1-α)的置信下限估計為

式中:t1-α(σ，n-1)為非中心 t分布 t(t;σ，f)的(1-α)的分位數(shù)

為提高計算精度，本文用數(shù)據(jù)擬合方法求解分布函數(shù)。

2.2 確定分布函數(shù)

在將各分布函數(shù)線性化的基礎(chǔ)上應(yīng)用線性回歸分析將子樣試驗數(shù)據(jù)用各分布去擬合，在滿足顯著性水平的條件下選取相關(guān)系數(shù)r的絕對值最大的一個作為母體的分布函數(shù)。通過線性回歸分析可以得到分布函數(shù)中參數(shù)的估計值。由回歸分析知這樣確定的參數(shù)估計值是最佳線性無偏估計［6］。

設(shè)隨機子樣T=(t1，t2，…，tn)來自未知的總體分布F;R(T，F(xiàn))為某個預(yù)先選定的隨機變量，它是T和F的函數(shù)。現(xiàn)要求根據(jù)觀測子樣T=(t1，t2，…，tn)估計R(T，F(xiàn))的分布特征，如均值、方差或分布密度函數(shù)等。

為此，首先對測試數(shù)據(jù)按從小到大的次序排列，如t1≤t2≤…≤tn。將此數(shù)據(jù)列成如表1所示。

表1 試驗數(shù)據(jù)列表Tab.1 Test data

表1中，F(xiàn)(ti)為累積分布函數(shù)的估計值，對F(ti)的估計值有許多種，

式中i表示第i個數(shù)據(jù)，式(19)中的中位秩數(shù)值有表可查，式(20)是經(jīng)驗分布函數(shù)。

F(ti)選用那一個估計式要看具體情況而定。

2.3 求得分布函數(shù)參數(shù)

1)將分布函數(shù)線性化

正態(tài)分布函數(shù)為

式中-∞ ＜t＜∞，-∞ ＜μ＜∞，σ＞0。

令

得

式中:A=-μ/σ，B=1/σ;Φ-1［t］為標準正態(tài)分布N(0，1)的分布函數(shù)的反函數(shù)。

2)計算A和B的估計值

3)確定隨機變量T的分布函數(shù)

3 仿真計算

3.1 仿真條件

仿真以某彈道導(dǎo)彈為對象［3］，發(fā)射點經(jīng)度110°，緯度26°，高程500 m;目標點經(jīng)度112°，緯度22°，高程10 m。該導(dǎo)彈的實際打靶射程數(shù)據(jù)(單位:km):532.8，536.0，520.8，576.8，542.4，528.0，548.0。

文獻 ［3］對上述打靶數(shù)據(jù)采用Bayes方法進行射程評定，其先驗信息采用在標準彈道的基礎(chǔ)上加入各項射擊精度影響因素的干擾，并對推力偏差進行蒙特卡羅模擬后引入到干擾彈道中獲得。仿真計算得到20個射程數(shù)據(jù)(單位:km):511.2，540.8，548.0， 520.8， 548.0， 519.2， 529.6， 559.2，528.8， 547.2， 559.2， 548.0， 527.2， 561.6，525.6， 549.6， 565.6， 536.0， 529.6， 555.2。Bayes評定為:最大射程分布為N(526.2，3.882)，Lmax=516 km。

本文對上述打靶數(shù)據(jù)用T統(tǒng)計估計法進行評定。

3.2 仿真計算

1)累積分布函數(shù)

將7個實際打靶射程數(shù)據(jù)和累積分布函數(shù)列表(見表2)。

表2 射程數(shù)據(jù)、累積分布函數(shù)表Tab.2 Range data and distribution function

2)數(shù)據(jù)擬合

3)Lmax的下限估計

由式(9)得到Lmax的置信下限估計:置信度為0.98時，置信下限為506.9 km;置信度為0.99時，置信下限為502.5 km。

當用7個實際打靶數(shù)據(jù)，20個先驗數(shù)據(jù)共27個對導(dǎo)彈射程評估時，得到下面的計算結(jié)果:

置信度為0.98時，置信下限為517.7 km;

置信度為0.99時，置信下限為514.7 km。

4 結(jié)語

為保證導(dǎo)彈武器系統(tǒng)戰(zhàn)技性能指標評估的精確性和可信性，必須確保系統(tǒng)一定的試驗量。隨著試驗次數(shù)的增加，戰(zhàn)技指標評估的精度會提高，但是會出現(xiàn)增加費用，延長試驗期限等問題。應(yīng)用Bayes方法估計最大標準飛行距離比T統(tǒng)計方法精度更高，但若無驗前信息可利用，或驗前樣本量也特小，此時應(yīng)用Bayes方法，其估計精度也不理想。本文用T方法估計最大標準飛行距離，在試驗樣本數(shù)量較少時，其精度不高，在樣本數(shù)量較多時，其評估精度較高。無論采用哪一種評定方法，樣本數(shù)量多，其評定精度就高。因此，評定彈道導(dǎo)彈的最大射程應(yīng)用何種估計方法，需要依據(jù)實際飛行試驗情況決定。

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