走進數學王國 探究數學奧秘

施培成

（鄭州華信學院，河南 鄭州 451100）

走進數學王國 探究數學奧秘

施培成

（鄭州華信學院，河南 鄭州 451100）

本文試圖從數學的內容、方法和意義，數學的理論結構和體系方法，分析數學的特征，探尋學好數學的關鍵所在，希望通過這些文字和歷史小故事打開認識數學的大門.讓學生了解數學的奧秘，消除對數學的誤區，領略數學的趣味和魅力，增加學好數學的信心.

麥比烏斯曲面；哥尼斯堡七橋問題；歐拉公式；貝特朗奇論

1 數學是開啟一切科學大門的鑰匙

按照目前科學分類的方法，物質世界的運動按其矛盾的特性可分為自然科學，社會科學和思維科學三大基本領域，與這三大基本領域相對應，現代科學包括五大基本部類，即自然科學類、社會科學類、思維科學類、數學和哲學，它們的關系如下圖1所示：

圖1中黑體字表示大部類科學，圓括號表示次級類過渡學科或邊緣學科.實線表示一級聯系，虛線表示次級聯系.

從圖1中看到數學已經廣泛地滲透到物質世界的各個領域，數學是現代科學中的基礎學科，成為各門科學發展的共同工具，馬克思說“一種科學只有成功地運用數學的時候才算達到真正完善的地步”.

數學蘊含了巨大的威力，它的領域日益擴大，它不僅為自然科學服務，而且在社會科學領域也離不開數學，誰要是不用數學為自己服務，總會有一天發現別人已經用數學來同自己競爭，21世紀人人都離不開數學.

2 數學的特征（Ⅰ）——高度的抽象性

充分認識數學的抽象性特征，并找出讓自己能夠適應并學會數學抽象的方法.

數學是人類歷史上誕生最早的科學之一，數和形這兩個基本概念是數學的兩塊基石.早在2000年前人們就認識數的重要性，古希臘數學家說：“龐大、萬能和完美無缺是數字的力量所在，數是人類生活的開始和主宰者，也是一切事物的參與者”.缺少數字一切都變得混亂無序，數學的發展大體上也是圍繞數和形這兩個基本概念的提煉發展和演變而展開，例如大家熟悉的虛數i，起初只是在求解代數方程中出現，在很長一段時間里虛數i的價值和意義不為人們所理解，只把虛數之看作一個虛設的符號，直到18世紀70年代對i給予了幾何解釋建立了復變量x+yi于是應系統的研究，復變函數論誕生并把它應用在流體力學和地圖制圖學上，從此這種虛設的數i在數學上完全站住了.以及后來歐拉命名的公式e2πi的出現，e，π，i，1，2 這些“出身”完全不同的數，可用一個簡明的公式表現出來，真是不可思議，讓人對數學的發展產生驚訝、感奮，引來無窮遐想，這就是數學的奧妙和魅力.

數學的抽象與其他科學的抽象有明顯的區別，數學的抽象是撇開對象具體內容，具體屬性僅僅保留其中純粹的數量關系或空間形式例如點、線、面、數、元素、集合、空間等等這些都是純粹抽象的概念，這類基本概念無法用語言文字直接定義，它們各自的“意境”只能通過類比和聯想加以思索.然而它們在數學研究和應用中發揮了不可取代的作用.人們的習慣常常是喜歡具體而不習慣抽象（看不見摸不著）甚至有一個“誤區”認為學習高度抽象的數學，在實際中能有多大的用處？其實正好相反，因為抽象的數學概念和方法都是由大量的生活實踐中整理概括抽象而來，一大批具有同一實際背景的事物通過類比聯想和移植就可以再回到同一類型的實際問題中去，這就是說數學的高度抽象性和廣泛應用性不但不矛盾而且相輔相成.在數學學習中要適應并且習慣它的抽象性，在求解應用題時，更要善于對實際問題運用抽象、聯想和移植的方法、迅速地化難為易.請看下面兩個小故事：

例1 在微積分下冊講曲面積分時提到麥比烏斯帶，這是一個單側曲面，它是由18世紀德國數學家麥比烏斯構造的，遺憾的是論文尚未發表作者就不幸故去，許多年后，被別人在他的遺作中發現，并把這個單側曲面命名為麥比烏斯曲面而公開發表.更加有趣的是三百多年后在上海舉世聞名的世界博覽會的展覽館群中，有一個國家把這種麥比烏斯曲面設計使用在自己國家的世博會的展覽大廳上，當參觀的人群走在這種單側曲面的參觀通道上，感受到三百年前的古代數學文明與現代高科技的建筑文明融洽為一體成為世博會的一大亮點，這個抽象的麥比烏斯單側曲面再次失而復得.我們敬佩那位建筑設計師他有厚重的數學底蘊，更有超常的把抽象應用到現實的能力，這個故事驗證了一句民間諺語“是金子總是要發光的”.

例2 哥尼斯堡城位于普格雷尼河畔如圖2a所示河中有大小兩個島，大島南北兩邊各有兩座橋與對岸相連，小島南北兩邊各有一座橋與對岸相連，大小兩島之間又有一座橋相連，哥尼斯堡就是由南岸、北岸、大島、小島這四塊陸地通過七座橋相連.旅游團希望能找出一條參觀的路線使得從四塊陸地的任一塊出發每座橋只通過一次，不重復不遺漏在最后又回到原地，這就是歷史上著名的七橋問題，這個問題困擾了當時眾多的學者.許多年后由數學家歐拉解決了.歐拉先對問題作抽象簡化，他用四個點A、B、C、D分別表示四塊陸地，再用七條線段 AC，CA，CB，BC，AD，CD，BD，分別表示七座橋，七橋問題抽象為一條回路（圖2b）的“一筆畫”問題，歐拉進一步研究回路“一筆畫”的充分必要條件，最后的結論是七橋問題無解.在這里我們又一次看到了用純粹抽象的點線圖形解決了復雜的應用問題.

圖2a

圖2b

在近代的網絡理論中“一筆畫”問題更有重要作用.

數學的抽象性不僅表現在概念上，也表現在方法上，恩格斯說：“數學是一種研究思想事物的科學”.這是對數學抽象性的深刻概括.

3 數學的特征（Ⅱ）——數學理論具有嚴密的邏輯性，邏輯學是數學的生命

數學理論的建立無法通過實驗驗證和判斷從古希臘開始形式邏輯就與數學緊密結合，數學命題的真偽只能借助于嚴密的形式邏輯原則來判斷.

（1）數學思維的方法是開啟思維的鑰匙，有了科學的思維方法就能對許多原始資料進行合理的加工整理形成嚴密的理論體系，常用的數學思維方法有分析與綜合，抽象與概括歸納與演繹等等.

（2）數學思維的形式是建構數學分支邏輯結構體系的“元件“，常用的是以下七種：

①概念：對原始的數學資料抽象整理去偽存真加工而成，它真實地反映事物的本質.

②定義：是揭示概念內涵的邏輯方法.

③判斷：是反映事物具有或不具有某種屬性（或關系）.

④命題：是用文字或符號表達判斷的句子.

⑤演繹（又稱推理）是由一般到特殊的推理方式它給出命題的前提與結論之間的必然聯系，因為演繹推理是合乎邏輯的推理，故它可以作為數學中嚴格證明的工具.

⑥公理數學分支中不需經過邏輯論證而確認它的正確性，并可以用它論證命題，公理必須滿足無矛盾性，獨立性和完備性三個條件.

⑦定理和推論是由前提和結論兩部分組成的一個數學命題，客觀存在的真實性完全可以經過嚴格的推理來確認.

（3）數學理論結構的邏輯體系，是以上七種數學思維形式一環連接一環形成的單向有序的邏輯結構鏈，如下圖3所示：

圖3

例3 歐幾里德幾何學和非歐幾何學公理化體系：

公元前300年古希臘數學家歐幾里德在總結了大量已有的幾何知識的基礎上，將人們公認的一些幾何知識、點、線、面、角、圓等定為幾何學基本概念，并把當時人們公認的一些幾何知識列成定義和五條公理總結成一套幾何學理論的演繹體系并著書取名為《幾何原本》，許多年后人們發現歐幾里德的公理化系統并不完善，更為完整的幾何學公理系統是在19世紀末由德國數學家希爾伯特完成，他改善了歐氏幾何學的第五公理，建立了非歐幾何，非歐幾何學是從公理出發的純粹演繹系統，形成了近代幾何學的公理化體系結構.

隨著社會實踐活動向廣度和深度上發展數學公理化方法不但可以研究具有確定因果關系的確定性數學問題，還可以研究不具有確定性因果關系的隨機性數學問題.

例4 用公理化方法建立概率論的公理化體系（Ω、F、Р）.

早期概率論對求解古典型幾何型概率問題得出一些結果.但有很大的局限性，碰到比較復雜的隨機事件就無能為力，甚至出現像貝特朗奇論的怪現象，使得當時不少人對概率論的科學性產生了懷疑.上世紀20年代以柯爾莫哥洛夫為首的一批前蘇聯數學家，用公理化方法建立了概率論的公理化體系簡記為（Ω、F、Р）它為概率論奠定了嚴密的數學理論基礎，推動了概率論的飛速發展.

4 結束語

怎樣看待數學的應用價值？

下面引述日本著名學者米山國藏的一席話作為回答，他說：“在學校學的數學知識畢業后沒有機會去用，不到一兩年就會忘掉，然而不管他們從事什么工作唯有深深銘刻在頭腦里的數學精神、數學思想、數學方法和看問題的著眼點卻隨時隨地發生作用，使他們終身受益”.

〔1〕[蘇]亞歷山大洛夫.數學它的內容、方法和意義[M].科學出版社，1984.

〔2〕[日]米山國藏.數學的精神思想與方法[M].成都四川教育出版社，1986.

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1673-260X（2012）01-0022-02