高職高等數學思想方法教學研究*

曹愛民

（濟南職業學院 山東 濟南250014）

高職高等數學思想方法教學研究*

曹愛民

（濟南職業學院 山東 濟南250014）

數學思想是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果。對高職院校的學生而言，在教學內容的安排上，應盡可能地降低抽象性，減少不必要的理論推導，突出操作性和應用性，強化數學思維方式和思想方法的養成，使高等數學成為培養數學思想素質、訓練數學應用技術的平臺。要深入挖掘高等數學教材中隱含的數學思想方法，在課堂教學過程中，滲透數學思想方法：在概念形成的過程中滲透；在結論推導的過程中滲透；在數學實驗、數學建模的教學中滲透，在現代信息技術的融合中要貫通數學思想方法。

高職；數學思想方法；數學實驗；數學建模；學科融合

數學思想是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果。數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識；數學方法是數學思想的具體化形式，實際上兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看問題，通?；旆Q為“數學思想方法”。日本數學教育家米山國藏說：“學生在學校所學的數學知識，在進入社會后，幾乎沒有機會應用，因而這種作為知識的數學，通常在出校門后不到一兩年就忘掉，然而，不管他們從事什么工作，那種銘刻于頭腦中的數學精神和數學思想方法，卻長期地在他們的生活和工作中發揮著重要作用，使其終身受益?！蓖ㄟ^數學思想的培養，數學能力才會有大幅度的提高，掌握數學思想，就是掌握數學的精髓。對高職院校的學生而言，由于其數學基礎比較薄弱，抽象的數學邏輯體系成了他們理解的障礙，高職院校高等數學的教學目的在于讓學生了解數學課程的主線，掌握數學應用于實踐中的簡單理論和操作方法，引導學生運用數學思維分析和解決實際問題。因此，在教學實踐過程中，如何利用有限的課時使學生掌握更多的數學技能和數學方法，成為每一位職業院校數學教師必須思考的問題。因此，在教學中要重視對數學思想方法的總結和提煉，把有限的教學內容拓展到學生各專業應用實踐中去。在教學內容的安排上，盡可能地降低抽象性，減少不必要的理論推導，突出操作性和應用性，強化數學思維方式和思想方法的養成，使高等數學成為培養數學思想素質、訓練數學應用技術的平臺。

挖掘高等數學教材中隱含的數學思想方法

高等數學教材中的數學概念、公式、定理、法則、性質等內容，是數學知識有形的實體，而數學思想方法隱含在數學知識體系中，滲透在教材的不同章節的不同內容中，需要經過分析、鑒別、抽象、總結才能得出，而其一旦形成以后，又可以指導我們去研究新的數學知識。數學思想方法滲透在學生獲得知識和解決問題的過程中，如果能有效地引導學生經歷知識形成過程，讓學生在觀察、實驗、分析、抽象、概括的過程中看到知識背后負載的方法和蘊含的思想，那么，學生掌握的知識才是鮮活的和可遷移的，學生的數學素養才能得到質的飛躍。因此，教師首先應從思想上提高對思想方法重要性的認識，把掌握數學知識和滲透數學思想方法同時納入教學目標。其次，要深入鉆研教材，努力挖掘高等數學教材中隱含的數學思想方法。高等數學中隱含的思想方法很多，如數形結合思想、化歸思想、轉化思想等，但比較重要的是三種數學思想：極限思想、導數思想和積分思想。

極限思想 極限思想是近代數學的一種重要思想，高等數學就是以極限概念為基礎、極限理論為主要工具來研究函數的一門學科。所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。極限思想的應用主要是作為一種方法給出了導數、微分、定積分、二重積分等重要概念，初等數學和高等數學的本質區別也體現在數學的研究方法發生了改變，這一改變就是引入了極限思想，把原本“靜止”的數學變成了“運動”的數學。高職院校的學生在學習高等數學的初期，普遍感覺到高等數學不好學，很大程度上就是因為數學的思想方法變了，而他們思考問題、解決問題的方法還沒有轉變。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對于被考察的未知量，先設法構思一個與它有關的變量，確認這變量通過無限過程的結果就是所求的未知量，最后用極限計算來得到這結果。

導數思想 導數是近代數學中微積分的核心概念之一，是一種思想方法。兩類問題導致了導數概念的產生：一是求變速運動的瞬時速度，二是求曲線上一點處的切線。這兩類問題都歸結為變量變化的快慢程度，即變化率問題。牛頓從第一個問題出發，萊布尼茲從第二個問題出發，分別給出了導數的概念。導數運算是一種高明的數學思維，用導數運算去處理函數的性質更具一般性，可獲得更為理想的結果；把運算對象作用于導數上，可使我們擴展知識面，感悟變量、極限等思想，運用更高的觀點和更為一般的方法解決或簡化高等數學中的不少問題；導數的方法是全面研究微積分的重要方法和基本工具，在其他學科中同樣具有十分重要的作用，在物理學、經濟學等其他學科和生產、生活的各個領域都有廣泛的應用。

積分思想 通常的加法是有限項相加，定積分概念是從求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程兩個問題引出來的，從解決這兩個問題的基本思想和步驟來考察。我們會體會到，定積分也是一種積累，曲邊梯形的面積是由“小窄條面積”積累而得：無限多個底邊長趨于零的小矩形的面積相加而得；變速直線運動的路程是由“小段路程”積累而得：無限多個時間間隔趨于零的小段路程相加而成全路程。這里要以無限細分區間[a，b]而經歷一個取極限的過程。即定積分是無限積累。能用定積分表示的量所具有的特點：一是量S不均勻地分布在一個有限區間[a，b]上，或者說它與自變量的一個區間有關，當區間[a，b]給定后，S就是一個確定的量。二是部分量ΔSi在部分區間[xi-1，xi]上能用“以直代曲”或“以不變代變”的方法寫出ΔSi的近似表達式：ΔSi≈f（ξi）Δxi，i=1，2，…，n，xi-1≤ξi≤xi這里f（x）（x∈[a，b]）是根據具體問題所得到的函數。

在課堂教學過程中滲透數學思想方法

數學思想方法的教學必須通過具體的教學過程得以實現，因此，必須把握教學過程中進行數學思想方法教學的每一個環節——概念形成過程、結論推導過程、數學實驗、數學建模教學等。

在數學實驗、數學建模教學中滲透數學思想方法 根據高職高專培養目標的要求，對高等數學這門基礎理論課的教學，要淡化數學理論教學，注重數學思想方法傳授，側重數學應用能力和創新能力培養。數學實驗是指為研究與獲得某種數學理論、驗證某種數學猜想、解決某種數學問題，運用數學的一些思想方法和手段，在實驗環境中或特定的實驗條件下所進行的一種數學探究活動。數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數學手段。因此，在數學實驗和數學建模教學過程中，要注重對數學思想方法的滲透和講解，側重培養學習運用高等數學知識去解決實際問題的能力。例如，定積分的思想是高等數學中最基本、最重要、最有實用價值的思想方法之一，也是應用微積分描述實際問題、構成數學模型的基礎。要通過幾何、物理、經濟學等實例，加深對定積分思想方法的理解，進一步增強應用數學去理解、描述實際問題的能力，培養數學建模的初步能力；導數的思想方法應用研究著重于瞬時速度、瞬時電流強度、切線斜率、曲率、邊際利潤、邊際成本等實際問題等。通過這些應用問題的練習，可以鍛煉學生在較簡單的實際問題中提煉并且學會解答數學建模問題，進一步增強數學建模意識。

在與現代信息技術融合過程中貫通數學思想方法

在高等數學教學中，要充分發揮現代教育信息技術的優勢，把原本枯燥和抽象的數學內容轉換成學生喜聞樂見的表現形式，最大限度地發揮高科技手段的表現形式，把高等數學知識表現為文字、圖像、數字和聲音等多種形式有機結合的形式，充分展現數學理論產生、發展、變化的過程和數學本質，最大限度地調動學生學習的積極性和主動性，提高學生對高等數學的學習興趣，培養學生利用數學解決實際問題的能力。例如，在講解用定積分的思想求曲邊梯形的面積時，要表現當區間分割越來越小，而面積越來越接近曲邊梯形的面積時，無論描述還是畫圖都比較困難，而利用幾何畫板或MATLAB等軟件制作的課件去演示這一變化過程就非常方便。因此，在課程整合過程中，要充分發揮信息技術的這一特點，幫助學生在較短時間內完成對艱深數學定理的理解，幫助學生更好地從本質上理解定理的內在聯系。

數學思想方法教學要求教師掌握廣博的知識，以保證在教學過程中有明確的教學目標。教師要針對不同的教學內容靈活設計教學方案，積極引領學生在主動探究數學知識的過程中親身經歷，感悟、理解并掌握數學思想方法，真正領會數學的精髓，從而進一步提升學生的數學文化素養。

[1]徐利治.數學方法論選講[M].武漢：華中工學院出版社，1998.

[2]黎加厚.基于現代教育技術的信息教育[J].中國電化教育，1999（7）.

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G712文獻標識碼：A文章編號：1672-5727（2012）08-0148-02

*本文系山東省高等學校教學改革研究項目《基于“2+1”人才培養模式高等數學課程改革》（項目編號：2009511）的成果

曹愛民（1971—），男，山東萊蕪人，理學碩士，濟南職業學院副教授，研究方向為高等數學教學研究與改革。