“代數式求值問題”的解題方法

張彥杰

（濮陽市職業中專，河南 濮陽 457000）

“代數式求值問題”的解題方法

張彥杰

（濮陽市職業中專，河南 濮陽 457000）

本文就“代數式求值問題”，從變形這個角度進行分類，并給出相應的解法。通過掌握數學方法解決數學問題是高效率數學教學的途徑。

整體代值；因式分解；倒數；非負數的性質

代數式求值問題是數學教學中的基本內容之一，熟練掌握代數式求值問題是數學教學的基本要求，而代數式求值問題形式多樣，變化豐富多彩。代數式的求值與代數式的恒等變形關系十分密切，許多代數式是先化簡再求值，特別是有附加條件的代數式求值問題，往往需要利用因式分解、分式的性質、倒數、韋達定理、非負數的性質等等，經過恒等變形，把代數式中隱含的條件顯現出來，化簡，進而求值。

一、整體代值

此類型是代數式求值問題中的基本類型，其中又蘊含了一種重要的數學方法——換元法，因此顯得非常重要。

二、發掘隱含條件

適時發掘題目隱含條件，特別是有附加條件的代數式求值問題，往往需要利用實數運算性質，把代數式中隱含的條件顯現出來，化簡，進而求值。

解：因為abc＜0，所以a、b、c中只有一個是負數，或三個都是負數；又因為a+b+c＞0，所以a、b、c中只有一個是負數.不妨設a＜0，b＞0，c＞0，則ab＜0，ac＜0，bc＞0故將代入要求的代數式得到結果為1.同理，當b＜0 或a＜0時，要求的代數式得到結果仍為1.

三、利用非負數的性質求值

若幾個非負數的和為零，則每個非負數都為零，這個性質在代數式求值中經常被使用.

例3 若x2－4x+|3x－y|=－4，求yx的值.

分析：x，y的值均未知，而題目卻只給了一個方程，似乎無法求值，但仔細挖掘題中的隱含條件可知，可以利用非負數的性質求解.

解：因為x2－4x+|3x－y|=－4，所以x2－4x＋4＋|3xy|=0，即 (x-2)2+|3x－y|=0.

得x-2=0，3x－y=0，解得x=2，y=6，故yx=62=36.

四、設參數法求值

如果代數式字母較多，式子較繁，為了使求值簡便，有時可增設一些參數(也叫輔助未知數)，以便溝通數量關系，這叫作設參數法.

五、利用分式、根式的性質求值

分式與根式的化簡求值問題，內容相當豐富，因此這里只舉一個例子略做說明。

分析：計算時應注意觀察式子的特點，若先分母有理化，計算反而復雜.因為這樣一來，原式的對稱性就被破壞了.

解：由題設知

六、利用倒數

分析，兩個分式比較簡潔、對稱，又有某些內在的聯系，但分母均為多項式，不易化簡求值，若利用倒數，可使問題簡單化。

七、利用韋達定理

例7 已知實數x、y、z滿足x+y=5，z2=xy+y－9,求x+2y+3z的值.

按給定條件，兩個方程三個未知數，無法求出未知數的具體值。本體技巧在于運用韋達定理，找到突破口，使問題簡化。

八、利用因式分解方法

因式分解是重要的一種代數恒等變形，在代數式化簡求值中，經常被采用。

分析x的值雖已給出的，但直接代入求值，將會很麻煩.我們可以先將所求的代數式變形，看一看能否利用已知條件。

在求代數式的值時，若已知的是一個或幾個代數式的值，這時要盡可能避免解方程(或方程組)，而要將所要求值的代數式適當變形，再將已知的代數式的值整體代入，會使問題得到簡捷的解答。

G424.1

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1008-7427（2012）08-0145-01

2012-06-14