關于下沉時間函數模型的探討

焦 彪 吳長俊 曾 武

(1.陜西彬長胡家河礦業有限公司，陜西 咸陽 713600;2.中交四航局，廣東 廣州 510231)

0 引言

在采礦工程中，地下礦物的開采也會引起地表下沉［1］，由于影響地表下沉的因素很多，很難建立一種理論來準確描述地表的下沉規律。根據實際的觀測資料進行各種模型的曲線擬合，從而建立較為準確的地表下沉時間函數模型是目前研究地表下沉的重要手段。同樣，在基礎工程中，對地基沉降進行監測是十分必要的［2，3］。根據監測的地表下沉數據，建立合理的w—t函數也是非常重要的，它可以較為準確的反映地基沉降的一般規律，進而可以預測地基的后期沉降和最終沉降，從而為分析建筑物的安全性能提供可靠依據。下面對各種地表下沉的時間函數模型進行簡單介紹。

1 Knothe 時間函數模型［4，5］

Knothe時間函數模型的表達式為:

其中，wmax為地表下沉穩定時的最大下沉值，mm;c為地表下沉影響系數，它與工作面的開采速度和上覆巖層的力學性質有關。

對式(1)求導，就得到了地表下沉的速度表達式:

如圖1所示為Knothe時間函數模型的下沉曲線和下沉速度曲線，從圖1b)中可以看出，當t=0時，下沉速度v(0)=cwmax，隨著時間的增加，下沉速度呈指數減小，這顯然不符合地表下沉的一般規律。所以Knothe時間函數模型在應用中具有局限性。

圖1 Knothe時間函數模型

針對Knothe時間函數的局限性，有學者對其進行了改進［6］，改進后的Knothe時間函數表達式為:

其中，wk為該地表點的最終下沉值;T為下沉總時間c為巖性時間系數。

對式(3)求導，即可得到地表下沉速度函數:

從式(1)～式(4)可以看出，雖然改進后的Knothe時間函數模型在曲線形態上有一定進步，但在初始時刻t=0時，v(0)=0.5cwke－cτ≠0，對于采礦工程中的地表下沉，這顯然是不符合的。所以改進的Knothe時間函數模型也有其局限性。

2 改進的冪函數模型

文獻［7］對冪函數模型進行了分析，并在此基礎上提出了一種新的模型，其表達式如下:

其中，a，b均為待定參數，且 a，b＞0;t為時間。

對式(5)求導，就得到了下沉速度函數:

如圖2所示為改進冪函數模型的下沉曲線和下沉速度曲線。

圖2 改進的冪函數模型

從圖1，圖2可以看出，兩種模型的曲線形態是相似的，故改進冪函數模型的優點和缺陷與Knothe時間函數模型一樣，在此不再進行分析。

3 雙曲線函數模型［8，9］

其中，s0為t0時刻的沉降量;α，β均為待定參數。

由于雙曲線法能夠在一定程度上反映次固結的影響，在實際工程中應用較廣。但這種方法也具有一定的缺陷，公式中待定參數的確定需要很長的時間，對工程順利進行具有一定的影響，另外此模型未考慮地基土變形的非線性和固結性質是隨荷載的變化而有所變化的。基于上述缺陷，文獻［10］提出一種基于雙曲線模型的分級預測法，使雙曲線模型得到推廣，從而增加了改進模型的實際應用性。

分級預測法的表達式如下:

雙曲線函數模型主要用于預測地基和路基的沉降，其表達式為:

其中，ak，ai分別為第i級加載和第k級加載參數a的關系;Δσi'，Δσk'分別為第i級和第k級加載引起的地基土的附加應力;σ0'為地基土的初始應力;β取即為各荷載級下初始沉降與壓縮土層厚度的比值。

其中，smk為第k級荷載下t=tmk時刻的實測沉降;當m≥1時，sfk可取各自計算結果的算數平均值。

由式(8)～式(10)即可根據現場施工情況和最初的幾組少量數據計算出下一級荷載的沉降量。

4 Gomepertz 時間函數模型［11，12］

Gomepertz曲線是由英國統計學家和數學家B.Gomepertz提出的，它是一種生長曲線，其基本數學表達式為:

其中，a，b，c均為待定參數。

對式(11)求導，可以得到地表下沉速度的表達式:

對式(12)求導，即可得到下沉加速度的表達式:

如圖3所示為Gomepertz時間函數模型的下沉曲線、下沉速度曲線和下沉加速度曲線。

圖3 Gomepertz時間函數模型

從圖3中可以看出，Gomepertz時間函數模型的下沉曲線是“S”形［13］的，這符合地表下沉的一般規律。Gomepertz預測模型與線性或近似線性加載條件下路堤沉降的變形特征較符合［14］，此模型多用于路堤或地基的沉降預測中。在采礦工程中，一般認為當t=0時，地表的下沉w(0)=0，然而從圖3中可以看出，當t=0時，w(0)，v(0)，a(0)≠0，故此模型在礦物開采引起的地表沉降中具有應用局限性。

5 Logistic 時間函數模型［14，15］

Logistic時間函數模型的表達式為:

其中，t為時間;a為時間影響系數;K為最終沉降量;c為待求參數。

對式(14)求導，得到地表下沉速度函數:

對式(15)求導，得到地表下沉的加速度函數:

如圖4所示為Logistic時間函數模型的下沉曲線、下沉速度曲線和下沉加速度曲線。

由圖4可以看出，Logistic時間函數模型與Gomepertz時間函數模型相似，都是“S”形曲線，不同的是Logistic時間函數模型具有對稱性，這與一般的地表下沉規律是有一定出入的。另外還可以看出，Logistic時間函數模型也未解決在t=0時，w(0)也應等于0的問題。

圖4 Logistic時間函數模型

6 Weibull時間函數模型［16，17］

Weibull時間函數模型的表達式如下:

其中，wmax為地表下沉穩定時的下沉值;n，k均為待定參數。

對式(17)求導可以得到下沉速度表達式:

對式(18)求導即可得到下沉加速度表達式:

從圖5中可以看出，Weibull時間函數模型所表示的下沉量時間函數、速度時間函數、加速度時間函數能較好的反映地表下沉的特征。因此，Weibull時間函數模型可預測一般情況下的地表沉陷的動態過程。

圖5 Weibull時間函數模型

7 結語

1)本文總結了目前常用的下沉時間函數模型，對各個模型的曲線形式和適用性進行了簡要的分析。

2)本文在對各種模型進行總結的基礎上，簡要說明了各個模型的特征及其缺陷。

3)對幾種模型的曲線極值點進行了計算，得出了幾種模型的最大下沉速度和最大下沉加速度與時間的關系。

［1］徐新躍，方德勝.灰色Verhulst模型預測軟土地基建筑物的沉降［J］.地下空間，2001，21(5):515-518.

［2］于學義，張恩強.開采損害學［M］.北京:煤炭工業出版社，2004.

［3］蔣 瑩.地基沉降監測之一例［J］.化工礦產地質，2005，27(1):57-60.

［4］CUI Ximin.Prediction of progressive surface subsidence above longwall coal mining using a time function［J］.International Journal of Rock Mechanics ＆ MiningSciences，2001，38(7):1057-1063.

［5］崔希民，繆協新，趙英利，等.論地表移動過程的時間函數［J］.煤炭學報，1999，24(5):453-455.

［6］常占強，王金莊.關于地表點下沉時間函數的研究［J］.巖石力學與工程學報，2003，22(9):1496-1499.

［7］王麗琴，靳寶成，楊有海.黃土路堤工后沉降預測新模型與方法［J］.巖石力學與工程學報，2007，26(11):2370-2376.

［8］金 莉.幾種預測模型在高路堤沉降預測中的對比分析［J］.西部探礦工程，2006(120):234-236.

［9］JTJ 017-96，公路軟土地基路堤設計與施工技術規范［S］.

［10］楊 濤，李國維，楊偉清.基于雙曲線法的分級填筑路堤沉降預測［J］.巖土力學，2004，25(10):1551-1554.

［11］Gomepertz B.On the Function Expressive of the Law of Human Mortality，and on a new Method of Determining the Value of Life Contingencies［M］.PhilosophicalTransactions of the Royal Society，2002:513-585.

［12］余 闖，劉松玉.路堤沉降預測的Gompertz模型應用研究［J］.巖土力學，2005，26(1):83-86.

［13］梅國雄.固結有限層理論及其應用［D］.南京:河海大學，2002.

［14］徐洪鐘，李雪紅.基于Logistic增長模型的地表下沉時間函數［J］.巖土力學，2005(26):151-153.

［15］王曉波.用非線性最小二乘法擬合Logistic曲線及其在計算機技術擴散研究中的應用［J］.上海大學學報(自然科學版)，1995，1(4):369-375.

［16］王 偉，盧廷浩.基于Weibull曲線的軟基沉降預測模型分析［J］.巖土力學，2007，28(4):803-806.

［17］戴 韜.Weibull曲線擬合模型在隧道監控數據處理中的應用［J］.貴州大學學報(自然科學版)，2010，27(4):127-129.