簡談分類討論思想在高考題中的應用

●

(溫州中學 浙江溫州 325000)

簡談分類討論思想在高考題中的應用

●李芳陳巴爾

(溫州中學 浙江溫州 325000)

1 考點分析與命題走向

分類討論是解決含有多種情況的復雜數學問題的重要思想.此類數學問題覆蓋的知識點較多，有利于考查學生的知識面，同時思想方式多樣，具有較高的邏輯性和較強的綜合性，對培養學生思維的嚴密性、嚴謹性、靈活性以及提高學生分析問題、解決問題的能力具有較大的幫助.因此有關分類討論思想的數學試題一直是高考中的熱點.

高考考查分類討論思想的命題主要集中在2個方面：一是排列組合或概率，多為選擇、填空題；二是函數的概念、性質及導數，多為解答題.

那么在什么情況下要進行分類討論呢？常常會遇到這樣的情況：解到某一步之后，不能再用統一的方法、統一的式子繼續進行了，因為這時被研究的問題包含了多種情況，所以必須在條件所給出的總區域內，正確劃分若干個子區域，然后分別在多個子區域內進行解題，這就是分類討論的思想方法.這里集中體現的是由整體化為部分的方法，其研究方向基本是“分”，但分類解決問題之后，還必須把它們整合在一起.因此，分類總是伴隨著整合，“合—分—合”是運用分類討論思想解決問題的一種基本模式.

2 典例解讀

2.1 選擇標準，逐級討論

一個排列組合問題中往往包含多個限制條件，該先考慮哪個分類標準？選定后，又該如何有序地進行討論？這就是選擇標準，逐級討論.

例1某車間有11名工人，其中有5名鉗工、4名車工，另外2名既能當車工又能當鉗工，現在要在這11名工人中選派4名鉗工、4名車工修理一臺機床，有多少種不同的選派方法？

分析本題中的不確定因素是2名既能當車工又能當鉗工的“多面手”的工作安排，因此從“多面手”出發可以有不同的分類標準.

解法1按照選出的4名鉗工中分別有0名、1名、2名“多面手”進行分類：

解法2按照2名“多面手”中有幾名參加工作進行分類：

點評對比以上2種方法，雖然都分3種情況討論，但解法2還需多層分類，最終分成6種情況，比解法1麻煩.對于同一道題目，如果采取不同的分類標準，解題的難易程度往往也不一樣.因此，在解題過程中，選取較為合適的分類標準，有時可以簡化解題步驟.

例2已知a,b是實數，函數f(x)=x3+ax，g(x)=x2+bx，f′(x)和g′(x)分別是f(x)和g(x)的導函數，若f′(x)g′(x)≥0在區間I上恒成立，則稱f(x)和g(x)在區間I上單調性一致.

(1)設a>0，若f(x)和g(x)在區間[-1,+∞)上單調性一致，求b的取值范圍；

(2)設a<0且a≠b，若f(x)和g(x)在以a,b為端點的開區間上單調性一致，求|a-b|的最大值.

(2011年江蘇省數學高考試題)

分析第(1)小題的答案為b≥2.第(2)小題，要確定以a,b為端點的開區間，要先討論a與b的大小.由于a<0，當b

解法1當b

(3x2+a)(2x+b)≥0.

由b

b

設z=a-b，考慮點(b,a)的可行域，設y=-3x2的斜率為1的切線為l,切點為(x0,y0),則

故

當a

(3x2+a)(2x+b)≥0,

得

2x+b<0,a≤-3x2，

從而

a≤-3a2,

即

故

當0

當a<0=b時，對任意x∈(a,0),2x(3x2+a)≥0,得

3x2+a≤0,

即

a≤-3x2,

從而

a≤-3a2，

得

故

2.2 挖掘特點，減少分類

在函數問題中，往往由于所含參數的不確定而進行分類討論，但并不是問題中一出現參數就一定要分類討論.利用數形結合、函數思想等方法可減少或避免分類討論，從而達到迅速、準確的解題效果.例2的第(2)小題還有另外一種巧妙的解法.

(以上巧妙地利用特值排除了b>0的情況，使討論的總區域大為減少.)

(結合函數的零點，考慮取值，獲得更小的討論區域.)

點評例2對分類討論思想的考查要求很高.利用解法1求解，需要學生具備嚴密的邏輯性、較強的運算能力，才能達到分類明了、運算快捷的解題效果；而利用解法2求解，則需要學生具備敏銳的觀察力、較強的綜合思維能力，以減少討論類別，避免繁瑣的分類運算.挖掘題目中的隱含條件，可縮小討論范圍，以下列舉幾個減少分類的例子.

例3已知f(x)=ax3-3x+1，對于x∈[-1,1]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.

分析本題先由f(1)≥0得到a≥2，從而使a的討論總區域從R減少為[2,+∞).利用數形結合等方法，發現圖像特征(拋物線對稱軸確定、過定點)，從而得解.

例4已知t為常數，函數y=|x2-2x-t|在區間[0,3]上的最大值為2，則t=________.

(2008年浙江省數學高考理科試題)

分析本題中拋物線的對稱軸是確定的.因此，直接討論函數在0，1，3處的值，再代入驗證即可，這樣可避免對拋物線最低點的討論.

(1)求函數G(x)=h(x)+f(x)的單調區間.

(2)當a=2，問是否存在實數t>0，使得函數F(x)=h(x)-tg(x)+f(x)有2個相異的零點？若存在，請求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由.

分析本題在分析求導后，發現一個關鍵的圖像特征：拋物線過定點，即

2.3 熟知常規分類，避免易錯點

除了排列組合、函數(導數)這2類典型問題外，還有許多問題由于考生缺乏分類意識而頻頻犯錯.

例6設A={x|x2+2x+lg(9a-2a2)≤0}，B={x|x≥0},且A∩B=φ，求實數a的取值范圍.

易錯點容易遺漏A=φ的情形.

例7在平行四邊形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，將它沿對角線AC折起，使AB和CD成角90°，則點B,D間的距離為

( )

例8過點(-4，3)的直線l在2個坐標軸上的截距的絕對值相等，求直線l的方程.

易錯點容易遺漏截距為0的情形.

答案3x+4y=0,x+y+1=0,x-y+7=0.

例9有4根長都為2的直鐵條，若再選2根長都為a的直鐵條，使這6根鐵條端點處相連能夠焊接成一個三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是

( )

(2010年遼寧省數學高考理科試題)

易錯點遺漏類型.按三棱錐長為a的2條棱的位置分類：①長為a的2條棱過同一頂點；②長為a的2條棱為三棱錐的一組對棱，其余各棱長為2.選項A正確.

以下列出有關概念、定理、公式、法則、圖像等常規分類情況，以備考生注意.

(1)絕對值的概念——對|x|要分3種情況：x>0,x=0,x<0；

(2)函數f(x)=ax2+bx+c——當a≠0時是二次函數，當a=0,b≠0時是一次函數；

(3)等比數列的求和公式——分2種情況：q=1，q≠1；

(4)對數函數的單調性——分2種情況：01；

(5)直線的斜率——分為存在和不存在這2種情況；

(6)2個點在同一平面的同側、異側；

(7)二次函數圖像的對稱軸相對于定義域的不同位置；

(8)不等式(x-1)(x-a)>0的解分3種情況a>1,a=1,a<1；

(9)不等式ax2+bx+c>0的解根據a的取值與Δ的值可分7種情況；

(10)涉及到整數或自然數的問題或(-1)n時，可對整數分為奇數和偶數這2種情況，或者把整數按以某個自然數為模的同余類分類；

(11)在線性規劃題中，將所有邊界函數的斜率作為分類標準.

3 精題集萃

1.將3個相同的黑球和3個相同的白球自左向右排成一排，如果滿足：從任何一個位置(含這個位置)開始向左數，黑球的個數大于等于白球的個數，就稱這種排列為“有效排列”，則出現“有效排列”的概率為

( )

(2009年浙江省溫州市一模數學試題)

2.將標有數字1,2,3,4,5,6的6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的2張卡片上的數字之和為5，則不同的排法共有________種.

3.已知x軸上有2個點A(-3,0),B(1,0).在直線x+y+1=0上取一點C(x,y)，使得△ABC為直角三角形，則點C的坐標為________.

4.實數k為何值時，方程kx2+2|x|+k=0有實數解？

5.設函數f(x)=e2-1-x-ax2.

(1)若a=0，求f(x)的單調區間；

(2)若當x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍.

(2010年全國數學高考試題)

參考答案

1.B 2.64

5.(1)f(x)在(-∞,0)單調遞減，在(0,+∞)單調遞增；