結構損傷識別中的正則化方法

代 江

(新疆哈密礦務局勘察設計院，新疆 哈密 839003)

1 概述

工程結構的可靠性問題關乎生命財產安全，在學術界和工程界都得到了很大的重視。要確保結構的可靠，需要及時發現結構的損傷情況。從一般意義上來看，結構發生損傷是一種正問題，對損傷進行識別是一類典型的反問題。當前各類反問題研究中都面臨一個突出障礙，就是不適定性[1]。

對結構的損傷識別問題來說，反演需要基于一定的原始資料，主要是位移、頻率、振型等，這些資料一般是通過監測直接或者間接獲得的。由于測量誤差、測試條件或技術水平有限等因素，造成反演出的損傷信息不能達到存在性、唯一性和穩定性的完全滿足，出現不適定問題(損傷可能識別不出來;對應有多種損傷情況、不能唯一確定;識別結果不抗噪)[2，3]。所以對不適定性的處理，是結構損傷識別研究中的重點。

求解反問題的一個普遍框架是采用正則化方法。正則化方法的基本思想是:用一族與原問題相“鄰近”的適定問題的解去逼近原問題的真解。

利用正則化方法可以把不適定的問題轉化為適定的。例如，設有一個一般性數學問題:Az=u，z∈F，u∈U，對于適定性問題而言，A-1在空間U上有定義，單值而且連續，z=A-1u;然而對不適定問題，A-1性質很差，不能用上式求解。正則化方法在數據具有誤差時構造帶有正則參數的適定問題[4]，當正則參數趨于其極限時，該適定問題的解趨于條件適定問題的解[5]。

正則化通過使逆變換算子平滑化，讓其求解空間變得窄小以保證解的唯一性[6]，現在已成為求解反問題的主要方法。但它并不是一種唯一性的方法，而是在一個統一思路下，包含多類型的具體求解方法。最常見的正則化策略是Tikhonov正則化和Landweber迭代，此外還有其他若干方法。為了有助于結構損傷識別問題的研究，本文將對主要的正則化方法進行綜述。

2 正則化方法分類

2.1 Tikhonov正則化方法

Tikhonov于1963年在其開創性的工作[7]中提出了正則化方法，這一方法為處理反問題奠定了堅實而廣泛的理論基礎，后來的發展和推廣都源于此。

考慮如下算子方程:

尋求解的穩定近似過程可以歸結為:

1)構造正則算子;

2)選擇正則參數a，使之于原始數據誤差水平δ。

在正則算子的構造方面，Tikhonov詳細討論了基于變分原理的構造方法，以及借助于積分變換將其在象空間中實現的方法。文獻[8]將Tikhonov正則化方法用于結構的損傷識別之中，從結構靜力平衡方程出發，結合有限元法，提出了一個三步驟的損傷程度定量識別算法。在求解中用Tikhonov正則化方法以處理不穩定問題，正則化方法的作用可通過剛度矩陣條件數的減小來明確衡量。

2.2 Landweber 迭代[9，10]

文獻[9]提出了R-K型Landweber迭代并研究了它在非線性不適定問題:F(x)=y中的收斂率，其中F:H→H是Hilbert空間H之間的非線性算子。對于具有噪聲水平δ的數據，可以證明收斂率能達到O(δ2/3)。此外，文獻[10]介紹了另外一種Levenberg-Marquardt迭代法。

2.3 動力系統方法(dynamical system methods)

文獻[11]將一類非線性不適定問題(F(t，u(t))=z(t))轉化成最小化問題，并通過解決一個新的動力系統來進行求解。通過文中建立的Lyapunov理論證明了求解動力系統的穩定性。與前面兩種離散化的方法相比，動力系統方法的優勢在于可以在弱約束的情況下更容易得到收斂解[12]。

2.4 小波方法

小波方法是一門新興學科，主要集中在圖形分析和信號分析領域。在反問題研究方面，文獻[13]提出了解第一類算子方程的正則化小波方法(簡稱RWM)。文獻[14]針對不適定的線性系統，提出將系統矩陣看作圖象數據，然后應用離散小波變換來得到它的近似逆矩陣的求解方法。文獻[15]針對系數為變量的橢圓方程中的柯西問題，提出了一種正則化方法——小波雙最小二乘法。基于Meyer小波，可以得到正則化結果與精確解之間的誤差。

2.5 最大熵方法

基本思路是用最小化問題的解來逼近原問題的解，得到的解稱為最大熵正則化解[16]。

這類方法可用于線性和非線性問題:1)用于線性問題:例如，文獻[17]考慮一個從有噪聲的數據μ得到一個未知量μ的線性問題，采用了如下的最大熵解形式:在一系列凸約束下的一個凸函數的最小值;2)用于非線性問題:例如，文獻[18]針對求非線性算子方程F(f)=g滿足f≥0的解(其中，F:D(F)?L1(Ω)→L2(Ω)為非線性算子)，證明了最大熵正則化解的存在性和收斂性，并考慮了收斂速度逼近等。

2.6 針對Hammerstein型算子方程的修正Newton-Lavrentiev正則化方法

這類算子方程是非線性問題，如下所示:

其中，A:H→H是一個自跟隨算子，其區間R(A)不包含在H之內;F:D(F)?X→H是一個非線性算子。X和H都是Hilbert空間。

修正Newton-Lavrentiev正則化方法針對此類問題可給出解答[19]。

2.7 混合型方法

混合型方法針對的是以下形式的非線性反問題:

其中，F:D(F)?X→Y是一個Hilbert空間X和Y之間的非線性微分算子。

文獻[20]介紹了一種兩階段的三階收斂方法，可將該方法和Levenberg-Marquardt正則化方法結合起來，在各個階段使用差異原則作為停止準則，得到一種混合型正則化方法來求解以上問題。

3 結語

損傷識別是一類典型的反問題，正則化是求解這類問題的主流方法。本文對主要的正則化方法進行了分類介紹，簡明地展示了正則化方法的本質和應用方式，對損傷識別問題的研究有一定的促進作用。

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