結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中的正則化方法

代 江

(新疆哈密礦務(wù)局勘察設(shè)計(jì)院，新疆 哈密 839003)

1 概述

工程結(jié)構(gòu)的可靠性問題關(guān)乎生命財(cái)產(chǎn)安全，在學(xué)術(shù)界和工程界都得到了很大的重視。要確保結(jié)構(gòu)的可靠，需要及時(shí)發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的損傷情況。從一般意義上來看，結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷是一種正問題，對(duì)損傷進(jìn)行識(shí)別是一類典型的反問題。當(dāng)前各類反問題研究中都面臨一個(gè)突出障礙，就是不適定性[1]。

對(duì)結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別問題來說，反演需要基于一定的原始資料，主要是位移、頻率、振型等，這些資料一般是通過監(jiān)測直接或者間接獲得的。由于測量誤差、測試條件或技術(shù)水平有限等因素，造成反演出的損傷信息不能達(dá)到存在性、唯一性和穩(wěn)定性的完全滿足，出現(xiàn)不適定問題(損傷可能識(shí)別不出來;對(duì)應(yīng)有多種損傷情況、不能唯一確定;識(shí)別結(jié)果不抗噪)[2，3]。所以對(duì)不適定性的處理，是結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別研究中的重點(diǎn)。

求解反問題的一個(gè)普遍框架是采用正則化方法。正則化方法的基本思想是:用一族與原問題相“鄰近”的適定問題的解去逼近原問題的真解。

利用正則化方法可以把不適定的問題轉(zhuǎn)化為適定的。例如，設(shè)有一個(gè)一般性數(shù)學(xué)問題:Az=u，z∈F，u∈U，對(duì)于適定性問題而言，A-1在空間U上有定義，單值而且連續(xù)，z=A-1u;然而對(duì)不適定問題，A-1性質(zhì)很差，不能用上式求解。正則化方法在數(shù)據(jù)具有誤差時(shí)構(gòu)造帶有正則參數(shù)的適定問題[4]，當(dāng)正則參數(shù)趨于其極限時(shí)，該適定問題的解趨于條件適定問題的解[5]。

正則化通過使逆變換算子平滑化，讓其求解空間變得窄小以保證解的唯一性[6]，現(xiàn)在已成為求解反問題的主要方法。但它并不是一種唯一性的方法，而是在一個(gè)統(tǒng)一思路下，包含多類型的具體求解方法。最常見的正則化策略是Tikhonov正則化和Landweber迭代，此外還有其他若干方法。為了有助于結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別問題的研究，本文將對(duì)主要的正則化方法進(jìn)行綜述。

2 正則化方法分類

2.1 Tikhonov正則化方法

Tikhonov于1963年在其開創(chuàng)性的工作[7]中提出了正則化方法，這一方法為處理反問題奠定了堅(jiān)實(shí)而廣泛的理論基礎(chǔ)，后來的發(fā)展和推廣都源于此。

考慮如下算子方程:

尋求解的穩(wěn)定近似過程可以歸結(jié)為:

1)構(gòu)造正則算子;

2)選擇正則參數(shù)a，使之于原始數(shù)據(jù)誤差水平δ。

在正則算子的構(gòu)造方面，Tikhonov詳細(xì)討論了基于變分原理的構(gòu)造方法，以及借助于積分變換將其在象空間中實(shí)現(xiàn)的方法。文獻(xiàn)[8]將Tikhonov正則化方法用于結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別之中，從結(jié)構(gòu)靜力平衡方程出發(fā)，結(jié)合有限元法，提出了一個(gè)三步驟的損傷程度定量識(shí)別算法。在求解中用Tikhonov正則化方法以處理不穩(wěn)定問題，正則化方法的作用可通過剛度矩陣條件數(shù)的減小來明確衡量。

2.2 Landweber 迭代[9，10]

文獻(xiàn)[9]提出了R-K型Landweber迭代并研究了它在非線性不適定問題:F(x)=y中的收斂率，其中F:H→H是Hilbert空間H之間的非線性算子。對(duì)于具有噪聲水平δ的數(shù)據(jù)，可以證明收斂率能達(dá)到O(δ2/3)。此外，文獻(xiàn)[10]介紹了另外一種Levenberg-Marquardt迭代法。

2.3 動(dòng)力系統(tǒng)方法(dynamical system methods)

文獻(xiàn)[11]將一類非線性不適定問題(F(t，u(t))=z(t))轉(zhuǎn)化成最小化問題，并通過解決一個(gè)新的動(dòng)力系統(tǒng)來進(jìn)行求解。通過文中建立的Lyapunov理論證明了求解動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性。與前面兩種離散化的方法相比，動(dòng)力系統(tǒng)方法的優(yōu)勢在于可以在弱約束的情況下更容易得到收斂解[12]。

2.4 小波方法

小波方法是一門新興學(xué)科，主要集中在圖形分析和信號(hào)分析領(lǐng)域。在反問題研究方面，文獻(xiàn)[13]提出了解第一類算子方程的正則化小波方法(簡稱RWM)。文獻(xiàn)[14]針對(duì)不適定的線性系統(tǒng)，提出將系統(tǒng)矩陣看作圖象數(shù)據(jù)，然后應(yīng)用離散小波變換來得到它的近似逆矩陣的求解方法。文獻(xiàn)[15]針對(duì)系數(shù)為變量的橢圓方程中的柯西問題，提出了一種正則化方法——小波雙最小二乘法。基于Meyer小波，可以得到正則化結(jié)果與精確解之間的誤差。

2.5 最大熵方法

基本思路是用最小化問題的解來逼近原問題的解，得到的解稱為最大熵正則化解[16]。

這類方法可用于線性和非線性問題:1)用于線性問題:例如，文獻(xiàn)[17]考慮一個(gè)從有噪聲的數(shù)據(jù)μ得到一個(gè)未知量μ的線性問題，采用了如下的最大熵解形式:在一系列凸約束下的一個(gè)凸函數(shù)的最小值;2)用于非線性問題:例如，文獻(xiàn)[18]針對(duì)求非線性算子方程F(f)=g滿足f≥0的解(其中，F(xiàn):D(F)?L1(Ω)→L2(Ω)為非線性算子)，證明了最大熵正則化解的存在性和收斂性，并考慮了收斂速度逼近等。

2.6 針對(duì)Hammerstein型算子方程的修正Newton-Lavrentiev正則化方法

這類算子方程是非線性問題，如下所示:

其中，A:H→H是一個(gè)自跟隨算子，其區(qū)間R(A)不包含在H之內(nèi);F:D(F)?X→H是一個(gè)非線性算子。X和H都是Hilbert空間。

修正Newton-Lavrentiev正則化方法針對(duì)此類問題可給出解答[19]。

2.7 混合型方法

混合型方法針對(duì)的是以下形式的非線性反問題:

其中，F(xiàn):D(F)?X→Y是一個(gè)Hilbert空間X和Y之間的非線性微分算子。

文獻(xiàn)[20]介紹了一種兩階段的三階收斂方法，可將該方法和Levenberg-Marquardt正則化方法結(jié)合起來，在各個(gè)階段使用差異原則作為停止準(zhǔn)則，得到一種混合型正則化方法來求解以上問題。

3 結(jié)語

損傷識(shí)別是一類典型的反問題，正則化是求解這類問題的主流方法。本文對(duì)主要的正則化方法進(jìn)行了分類介紹，簡明地展示了正則化方法的本質(zhì)和應(yīng)用方式，對(duì)損傷識(shí)別問題的研究有一定的促進(jìn)作用。

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