六面體單元預應力鋼束等效剛度計算研究

王曉寧 王維民

(中交第二公路勘察設計研究院有限公司，湖北 武漢 430056)

對于具有復雜形狀的橋梁，用體單元進行有限元分析具有得天獨厚的優勢。在應用有限元進行結構分析時，預應力孔道和鋼束對體單元剛度的影響一般不予考慮或通過經驗得出，這必然會造成計算上的誤差。本文從有限元方法的基本原理入手，推導得到體單元的等效剛度的計算方法，該方法可以適應各種不同形狀的預應力鋼束，經過算例檢驗，該方法具有較高的精度。

1 混凝土和鋼束共同作用下單元剛度矩陣的計算

在應用有限元進行結構分析時，預應力孔道和鋼束對體單元剛度的影響一般不予考慮，這樣就造成單元的計算剛度小于單元實際剛度。混凝土構件在總體上是比較規則的，劃分為混凝土單元后，在單元各邊上的應力應變變化是比較均勻的，故可選用8結點六面體單元等參數單元，來計算考慮預應力鋼束剛度影響的單元等效剛度。

1.1 基本單元特性

8結點等參數單元是一個直棱六面體，如圖1所示。在參考坐標系下，這個六面體被變換為邊長為2的正方體，參考坐標系ξηζ的原點位于它的形心處。

圖1 等參變換示意圖

以下是坐標變換模式和位移模式:

其中，n為結點個數，n=8時，是8結點等參數單元，它的形函數是:

其中，ξi，ηi，ζ為結點i的局部坐標，對于角結點它們分別為1或 －1，即:

在上式中，右端的三項均是距離為2的平面方程。

1.2 考慮預應力孔道和鋼束的單元(計算單元)剛度矩陣計算

1.2.1 單元特性分析

現在我們考慮在一個正六面體單元中間取出一個預應力孔道后的新單元的計算方法。對于單元剛度矩陣[K]e=∫V[B]T[D][B]dV，定義V1，V2和V3代表的體積如圖2所示。

圖2 含孔道的六面體單元

則單元剛度矩陣(扣除預應力孔道后)可表示為:

現在令:

其中，V1，V2，V3均為部分相對于 V1的剛度矩陣;B1，B2，B3為各部分的幾何矩陣;D1，D2，D3為各部分的彈性矩陣。

求得新的單元剛度矩陣為:

用這種方法就可以計算出包含預應力鋼束的六面體單元的單元剛度矩陣。

1.2.2 V2，V3部分單元剛度矩陣

由于鋼束材料具有均質，各向同性的特點，通常情況下其斷面面積又是一定的，對其單元剛度的計算可以適當簡化。

令μ∈[0，1]為孔道中心線上一點的弧長參數，有:

應用高斯積分進行積分(這里用2點高斯積分)。

通過計算機方法可用上式計算出單元的剛度矩陣。

同理可以計算出預應力鋼束部分的單元剛度矩陣，只是斷面面積A和彈性矩陣[D]不同，這里不再贅述。

2 計算方法的應用與驗證

2.1 實例

現在用一簡單的預應力懸臂梁具體實現這一計算方法，見圖3。

圖3 懸臂梁單元劃分示意圖

xoy平面為固定端約束，尺寸為300 mm×600 mm×4 000 mm。經過多次試驗，確定將懸臂梁劃分為100 mm×100 mm×100 mm的正方體單元。根據上節計算公式可通過計算機方法計算出懸臂梁所有結點在各個方向上的位移。由于建立有限元模型是為了計算預應力鋼束對混凝土單元剛度的影響，所以在計算過程中沒有考慮結構自重和預加應力產生的撓度。在《橋規》里，用式(13)計算非開裂截面受彎構件在正常使用極限狀態下的撓度:

用圖乘法得到計算構件任意截面處的撓度為:

由此，可以計算出懸臂梁任意截面處的撓度。

2.2 計算結果和結論

1)兩種方法的比較。

為了檢驗計算方法的正確性，把用有限元程序的計算方法與《橋規》的計算方法進行一下對比，有限元解和《橋規》解的結果基本一致。

2)結論。

本文推導出了在六面體單元中考慮空間預應力鋼束的等效剛度的計算方法，為運用實體單元對具有復雜形狀幾何形狀的提供了一種可靠的方法。所用的計算方法精度較高，有明顯的應用價值。

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