窗函數對間諧波分析的影響

周力 王琳

(丹東供電公司，遼寧 丹東 118000)

0 引言

隨著電網規模的擴大和大量新能源的接入，大量的非線性負荷接入電網，電網的諧波成分變得越來越復雜，這對電網的安全和穩定構成了威脅，因此也越來越受到電力工作者的高度重視，尤其是間諧波的潛在威脅，由于以前的研究很少，電能質量檢測設備也沒有相應的檢測功能，因此對于間諧波的分析以及檢測技術的研究迫在眉睫。

目前電力系統所涉及的諧波(包括間諧波)主要工具是傅里葉分析，即傅里變換和傅里葉級數。

本文從傅里葉分析入手，詳細分析了不同窗函數對間諧波檢測的影響，并通過Matlab仿真，驗證了間諧波監測窗函數的選取原則。

1 間諧波概念、來源及危害

間諧波是指非工頻頻率整數倍的諧波。

間諧波的來源主要有以下幾個方面:

1)變頻裝置，主要包括交—直—交變頻器和交—交變頻器;

2)波動負荷，主要是指工業電弧爐、晶閘管整流供電的軋鋼機等快速變化的沖擊負荷;

3)鐵磁諧振，主要是指電感兩端電壓升高或涌流時，電感電容滿足諧振條件的現象;

4)同步串級調速裝置，如繞線式異步電動機的低同步串級轉速;

5)感應電動機，主要是在鐵芯飽和產生不規則磁化電流產生間諧波。

間諧波的危害主要有:

1)波形畸變;

2)閃變(閃爍);

3)影響測量儀器結果和準確度;

4)影響電動機的運行性能;

5)降低負荷的功率因素，增加損耗。

2 間諧波檢測的理論基礎——連續信號傅里葉變換

2.1 周期連續信號的傅里葉級數展開

根據傅里葉級數定義，任何周期函數在滿足狄利克雷條件下，均可展成以正交的正弦函數為基的線性組合的形式。設周期信號為f(t)，其周期為 T，角頻率為ω=2πf=2π/T，則在區間[t0，t0+T]其傅里葉級數展開為:

其中，

2.2 周期連續信號的傅里葉級數展開的指數形式

由于指數函數集{ejnωt}具有正交性，因此周期信號為f(t)，除了可以展開成三角函數形式之外，還可以展開成指數形式。

由歐拉公式:

將式(7)代入式(1)中，得:

其中，我們稱Fn為傅里葉系數。

傅里葉三角函數級數與傅里葉指數函數級數只是兩種不同的表現形式，它們的系數之間存在著簡單的關系，即:

3 間諧波檢測

FFT是當今應用最多的諧波測量方法之一。但直接利用FFT進行間諧波測量時存在較大頻譜泄漏和柵欄效應，結果存在誤差。但是通過選擇適當的信號分析窗，可以降低這些誤差，達到一定的效果。

3.1 離散傅里葉變換的頻譜泄露與柵欄效應

實際的間諧波檢測中，所處理的信號是經過采樣和A/D轉換得到的。設待測信號為x(t)，采樣間隔為Ts，可知采樣頻率fs=1/Ts。在滿足采樣定理的條件下，采樣信號為 x(nTs)，n=0，1，2，…，N－1，是一個有限長的數字序列，相當于對原始無限長的信號乘以了一個矩形窗加以截斷，這是造成離散傅里葉變換的頻譜泄露的原因。減少頻譜泄漏的方法一般有兩種:1)增加采樣時間，即加寬窗長度。2)改變窗的形狀。

3.2 常見的窗函數

3.2.1 矩形窗

矩形窗被定義為:

根據Z變換的定義，矩形窗的Z變換為:

那么矩形窗的頻率特性為:

矩形窗的幅頻特性為:

3.2.2 漢寧窗

漢寧窗是把余弦函數向上提升一個余弦函數的振幅而形成的，因此又叫升余弦窗，它的表達式為:

N為任意值時，漢寧窗的頻幅特性:

3.2.3 漢明窗

漢明窗與漢寧窗都是用余弦函數構成的，它們十分相似，不同點在于窗函數的兩端。漢寧窗的兩端逐漸衰減到零，而漢明窗的兩端逐漸衰減到滿幅的0.08左右。漢明窗的表達式為:

任意N值時的漢明窗的頻幅特性為:

3.2.4 布萊克曼窗

布萊克曼窗集合了漢寧窗和漢明窗的思路，它的表達式為:

任意N值的布萊克曼窗的頻幅特性為:

3.3 假設穩態電網信號中含有諧波和間諧波的周期

信號用如下式表示:

其中，Ai，φi分別為諧波分量的幅值和相角;fi為諧波分量(包括諧波和間諧波)的頻率;p為信號中諧波分量的個數，設 fmax為信號的最高頻率。根據采樣定理，采樣頻率fs≥2fmax。選取時間窗長度T=mTe(工頻周期Te=20 ms)，時間窗采樣點數為N，采樣頻率fs=1/Ts，則頻譜分辨率為f0=fs/N(頻譜中每條譜線間隔頻譜為f0)。

為分析諧波和敘述方面，先只考慮某一特定間諧波分量在對應譜線上的值時，可以忽略其他諧波的影響。設第i個間諧波分量的表示為:

以fs對上式中的信號進行等間隔采樣，信號的采樣值可表示為:

因為 fs≥2f1，不妨設 fs=kf1(k≥2)，所以 f1Ts=f1/fs=1/k。

加窗截斷后的信號為:

記成:

對序列x(nTs)加長度為N(N通常為2的整數次冪)的對稱窗序列ωN(n)(如矩形、漢寧窗、漢明窗、布萊克曼窗)進行加權截斷，這個時候就出現兩種情況:

假設信號在時域的截斷為整周期截取，這個時候就不會存在頻譜泄露。

其中，k為整數;N為k的整數倍。

先分析 x1(n)=A1ej(2πn/k+φ1)的 DFT 變換。

N為k的整數倍，不妨設N=mk，代入上式，得:

當 l=m 時，X1(l)=X1(m)=NA1ejφ1;當 l≠m 時，由對稱性可知，X1(l)=0，也就是說，m 次諧波的頻譜為:NA1ejφ1，其他次諧波分量為 0。同時，分析 x2(n)=A1e－j(2πn/k+φ1)，我們可以得到:當l= －m 時，X2(l)=X2(－m)=NA2e－jφ1;當 l≠ － m 時，由對稱性可知，X2(l)=0。又因為對稱性:X(－m)=X(N－m)。

所以有:

綜上考慮:

對于原信號:

在滿足采樣定理條件fs≥2f1下，我們以fs對上式中的信號進行等間隔采樣:

記成:

DFT變換結果為:信號除m和－m(或者N－m)次諧波外，其他次波的頻譜為0，與原信號相吻合。

4 仿真結果及結論

由圖1～圖4分析可以看出窗函數的選取原則:

1)窗函數的長度N一般選充分大;

圖1 DFT后信號（矩形窗）X1（k）（20，5，6）

圖2 DFT后信號（漢寧窗）X2（k）（20，5，6）

圖3 DFT后信號（漢明窗）X3（k）（20，5，6）

圖4 DFT后信號（布萊克曼窗）X4（k）（20，5，6）

2)信號的頻譜比較密的時候，一般選漢明窗;

3)對于一個隨意的信號，一般使用矩形窗;

4)假如事先能肯定被分析的信號只有幾個頻率分量，且頻譜分布比較分散，一般選漢寧窗或布萊克曼窗。

[1] 林海雪.電力系統中的間諧波[J].供用電，2001，18(5):6-9.

[2] 郝江濤，劉 念，幸晉渝.電力系統間諧波分析[J].電力自動化設備，2004，24(12):56-59.

[3] 孫 濤，王傳勝，戴慧珠.風力發電引起的電壓波動和閃變[J].電網技術，2003，27(12):62-66.