似曾相識揭本質 由此及彼促發展
——探求2類遞推數列的通項公式

●

(余姚市第七中學 浙江余姚 315450)

似曾相識揭本質由此及彼促發展
——探求2類遞推數列的通項公式

●吳建洪

(余姚市第七中學 浙江余姚 315450)

在眾多的高三數學模擬試卷中，經常會碰到一些數列求通項an和前n項和Sn的試題．盡管這些試題的已知條件形式各異，但究其本質，最終都可歸納為最基本的遞推數列求通項an和前n項和Sn的問題，如：

例1在數列{an}中，Sn為其前n項和，滿足Sn=kan+n2-n(k∈R,n∈N*)．若數列{an-2n-1}為公比不為1的等比數列，求數列{an}的通項與前n項和Sn．

例2已知數列{an}滿足a1=5，a2=2an+1+2n-1(n≥2),求數列{an}的通項與前n項和Sn．

盡管學生對形如

(1)

(其中A,C,a1是非零常數，且A≠1)和

(2)

(其中A,B,C,a1是非零常數)的基本遞推數列求通項問題掌握得比較扎實，但由于對問題的本質不是很清楚，使得當學生碰到形如

(3)

(其中A，B，C，a1是非零常數，且A≠1)和

(4)

(其中A,B,C,D，a1是非零常數)等情形時(注意到：式(3)與式(1)相似，式(4)與式(2)相似)，常常會感到束手無策，難以為繼．

事實上，遞推數列求通項問題，一般情況下只需將不同形式的數列遞推關系式，運用化歸思想，轉化為特殊的等差數列或等比數列進行求解即可．若能清楚地知道這一本質特征，再加上一定的變式技巧，不僅能很快地解決一般遞推數列求通項的問題，而且對培養學生分析問題與解決問題的能力有較大幫助．本文將圍繞2種類型的遞推數列問題展開探討．

類型1已知數列{an}滿足

其中p,r,a1是非零常數，且p≠1，求通項公式an．

分析對于眾多的遞推數列問題，這是一種最基礎、最重要的題型．熟練掌握本題最具本質的解法，可為其他遞推數列問題的解決奠定堅實的基礎．

當n≥2時，由待定系數法得

變式1已知數列{an}滿足

其中p,r,a1是非零常數，求通項公式an．

分析變式1將類型1中的常數r變為rn，一種自然而樸素的想法是，將指數rn通過變形轉化成常數.

方法1當n≥2時，等式an=pan-1+rn兩邊同除以rn，得

即轉化為類型1.

當然，變式1還有一種更妙的解法.

方法2當n≥2時，等式an=pan-1+rn兩邊同除以pn，得

變式2已知數列{an}滿足

其中p,r,q,a1是非零常數，求通項公式an．

分析對于遞推關系式an=pan-1+rn+q，可先轉化為等比數列

bn=pbn-1+rn，

即為變式1．

如例2，當n≥2時，由an=2an-1+2n-1得

an-1=2(an-1-1)+2n，

令bn=an-1，得

bn=2bn-1+2n，

即為變式1．進一步計算可得

an=(n+1)2n+1，

Sn=n·2n+1+n．

變式3已知數列{an}滿足

其中A,B,C,a1是非零常數，且A≠1,求通項公式an．

分析變式3將類型1中的常數r變為關于n的一次式Bn+C，仿變式2，運用待定系數法將該一次式轉化成常數．

當n≥2時，由an=Aan-1+Bn+C得

an+λn+μ=Aan-1+Bn+C+λn+μ=

Aan-1+(B+λ)(n-1)+C+μ-B-λ=

不妨設

則當n≥2時，

an+λ0n+μ0=A[an-1+λ0(n-1)+μ0]，

從而將數列{an}化歸為以a1+λ0+μ0為首項，以A為公比的等比數列{a0+λ0n+μ0}．

變式4數列{an}滿足

求通項公式an．

分析相鄰3項間的遞推數列問題比相鄰2項間的遞推數列問題麻煩，但只要抓住解決此類問題的本質，變式4的解決便水到渠成．為了敘述方便，變式4以人教版必修5“數列”復習參考題B組中的習題為例．

例3已知數列{an}滿足a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3)，求數列{an}的通項公式．

(2)2005～2009年城市化與生態環境耦合協調度增長速率有所提高，表明城市化子系統和生態環境子系統進一步協調，協調類型逐步過渡為低水平協調階段。這一時期的城市化綜合水平持續增加，城市經濟發展保持穩定速率，而這一時期的生態環境綜合水平從2005年開始回升。通過查看各項指標情況可以發現，這一時期在環保等投資與GDP的比值，生活垃圾無害化處理率，人均公共綠地面積，工業固體廢棄物綜合利用率這部分生態環境響應指標的帶動下，生態環境質量有較明顯的改善，這些變化與湖南省的工作計劃也密切相關，計劃中提出發展循環經濟，倡導生態文明，在發展中保護環境，實現速度與質量、效益的有機統一。

教參上的參考答案如下：

通過觀察得

(5)

(6)

由式(5)，式(6)得到2個等比數列

從而

分析從參考答案看，要求學生觀察得出式(5)比較容易，但要求學生同時得到式(6)則有點困難．事實上，運用待定系數法，可以用以下2種方法求解．

方法1由an=2an-1+3an-2得

an+an-1=3(an-1+an-2).

令bn=an+1+an，則數列{bn}是以3為公比，以b1=a2+a1=7為首項的等比數列，從而

an+1+an=bn=7·3n-1，

即

an+1=-an+7·3n-1，

即轉化為變式1．

方法2由an=2an-1+3an-2，運用待定系數法得

下與參考答案同．

解決數列問題不僅僅只是待定系數法的靈活運用，關鍵是運用化歸的數學思想，將不具有規律的原數列遞推關系式轉化為具有特殊規律的遞推關系式．因此，在日常教學過程中，教師應注重突出通性通法，滲透數學思想，理清思維的本原，抓住問題解決的本質，提高學生的數學能力．

類型2已知數列{an}滿足

其中A,B,C,a1是非零常數,求通項公式an．

分析從形式上看類型2是一次分式結構，對于分式結構，一種行之有效的方法是取倒數．

即轉化為類型1．

即為類型1.進一步計算可得

變式1若數列{an}滿足Aan-Ban-1=Canan-1(n≥2),其中A,B,C是非零常數，求通項公式an．

即轉化為類型1．

變式2已知數列{an}滿足

其中A,B,C,D,a1是非零常數，求通項公式an．

分析前面多次運用化歸的數學思想，結合待定系數法順利解決多種變式的遞推數列求通項問題，對此變式仍可繼續為之，以例5為例加以說明．

例5已知數列{an}滿足

求通項公式an．

令 -3λ2-13λ-14=0,

(7)

得

不妨取λ=-2，得

由于式(7)是關于λ的二次方程，相對于類型1，運用待定系數法求解相對復雜．但只要設計合理，還是可以順利解決的．

數學問題的解決過程，其根本是從未知逐步向已知轉化的過程，特別是對似曾相識的問題，往往需要透過表面研究本質，揭示規律，清楚推理，從而達到理想的教學效果．在教學過程中，教師應幫助學生真正理解和掌握數學基礎知識和基本技能，合理運用數學思想，注重通性通法，這對于學生學好數學非常重要．