一類自適應神經網絡模型的Hopf分叉研究

李曉燕, 趙曉華

(1.浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004;2.淮南師范學院 計算機與信息工程系,安徽 淮南 232001)

1001-5051(2012)04-0381-07

一類自適應神經網絡模型的Hopf分叉研究

李曉燕1,2, 趙曉華1

(1.浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004;2.淮南師范學院 計算機與信息工程系,安徽 淮南 232001)

運用動力系統分叉理論,研究了一類自適應神經網絡模型平衡點的穩定性及Hopf分叉發生的參數條件.

自適應神經網絡;Lotka-Volterra系統;Hopf 分叉;穩定性

0 引 言

文獻[1]提出了一類具有自適應特性的神經網絡模型

式(1)中:Xi(t)表示細胞i在時刻t處的活性水平;稱矩陣Δ=(δi j)為關聯矩陣,δii=0(i=1,2,…,n),且當δi j=0時,表示細胞j對細胞i沒有影響,當δi j=1時,表示細胞j對細胞i起激發作用,當δi j=-1時,表示細胞j對細胞i起抑制作用;稱ρ>0為環境容量參數;Ai j(t)表示細胞間相互作用的權重系數,它與細胞i和細胞j之間在過去時間段作用的平均水平成正比,即定義

直接研究n2維系統(2)是比較困難的.文獻[2]證明,在全抑制情況下,即δj j=0,δi j=-1(i≠j,1≤i,j≤n),任意選定3個互不相同的下標h,k,l滿足1≤h,k,l≤n,則系統(2)存在余維數為n2-4的不變子空間

由于下標h可以取1～n的任何值,因此原方程存在n個這樣的不變子空間,它們可由不同的Xi來刻畫,限制在這些不變子空間上的4維約化系統具有相同的形式

式(4)中:X=Xh;Y=Xk;Z=Ahk;W=Akl.注意原系統中的維數n成為約化系統(4)的參數.由上面的介紹可知,系統(4)的任何一個解都對應原系統(2)的n個解.

文獻[1]推導了系統(2)平衡點的存在性及存在條件;文獻[2]討論了系統(2)的各種不變子空間的存在性,并給出了4維約化模型(4)與完全模型(2)的平衡點性質的對應關系;文獻[3]討論了4維約化模型(4)的平衡點穩定性;文獻[4]討論了在自適應Lotka-Volterra系統中對稱性破壞對平衡點及動力學性質的影響.本文將在此基礎上進一步研究系統(4)的平衡點穩定性及Hopf分叉的參數條件.

1 約化系統(4)的平衡點分析

系統(4)的正平衡點(即所有分量均大于零的平衡點)由下面2個方程確定：

若記ρ*=2{[γ(n)2+108(n-1)(n-2)]1/2-γ(n)}-1/3,γ(n)(2n-3)[32n(n-3)+63],文獻[1]通過求解上面2個代數方程,已證明:當0<ρ<ρ*時,系統(4)只有唯一正平衡點R=(r,r,r2,r2).其中,r是方程

的唯一正根.而當ρ>ρ*時,系統(4)有3個正平衡點:R=(r,r,r2,r2),Si=(bi,si,bisi,s2i),i=1,2.其中,s1和s2(s1

關于上述各個平衡點的穩定性,文獻[3]證明了如下結果：

本文主要目的是討論平衡點R=(r,r,r2,r2) 附近的周期解分叉情況.為此，先討論平衡點R的更精細的穩定性質,獲得比文獻[3]更細致的穩定信息.

通過計算系統(4)在平衡點R處的Jacobi矩陣可得相應的特征方程

為討論特征方程Q(λ)根的性質,先引入以下記號:

通過一系列簡化計算可證它們均是正實數，并有下面的大小關系:

基于前面的準備，通過分析判別式A2-4B和C2-4D,可證得以下命題:

命題3Q1(λ)的特征根有以下5種情況:

命題4Q2(λ)的特征根有以下3種情況：

1)當T≥T4或0

2)當T3

在上面命題的基礎上，即可證得如下定理：

綜合命題1～3的結論，可得平衡點R的穩定性類型隨參數變化的更全面的刻畫.

定理3綜合考慮Q1(λ)和Q2(λ)的特征根，能得到以下6種情況：

2 R(r,r,r2,r2)附近的Hopf分叉

文獻[2]通過數值分析指出,在平衡點R(r,r,r2,r2)附近會產生Hopf分叉.現在,筆者從理論上嚴格證明系統(2)在什么參數條件下存在Hopf 分叉.

式(9)和式(10)中:

另一方面，根據式(8)，當T臨近T0時，特征值λ1,2(T)是一對共軛復數，其實部為

從而式(11)在T=T0處對T求導,可得

因此,根據Hopf分叉理論[5]可得如下定理：

下面利用規范型理論[5]研究Hopf分叉周期解的分叉方向及穩定性.為此，把系統(4)的平衡點R(r,r,r2,r2)平移到原點O(0,0,0,0),則系統(4)變為

為了應用文獻[5]中的規范型公式,首先要把矩陣A化為若當標準型,為此,要求相應的坐標變換.根據前面的討論,假設當T=T0時,特征方程(7)的一對純虛根及2個負實根對應的特征向量v1,v3,v4分別為：

.

其中:

Reα4=1;

Imα4=0;

構造可逆矩陣P=(Rev1,-Imv1,v3,v4),則線性變換x=Py可將系統(14)的線性部分化為若當標準型，即系統(14)變為

式(15)中,J為下面的標準型:

.

其中:α′(0)=Reλ′1;ω′(0)=Imλ′1.

圖1 T=20

根據文獻[5]中的Hopf公式,對給定參數即可計算出μ2,τ2,β2,按照下面的定理即可判定Hopf分叉的方向及分叉周期解的穩定性：

定理5對于系統(14)平衡點(0,0,0,0)，當分叉參數T=T0時,有：

1)當μ2>0(μ2<0)時,Hopf分叉是跨臨界(亞臨界)的,從而可以確定Hopf分叉的分叉方向;

2)當τ2>0(τ2<0)時,分叉出的周期解的周期是增加(減少)的,從而可以確定周期解的周期;

3)當β2<0(β2>0)時,周期解是穩定(不穩定)的,從而可以確定周期解的穩定性.

圖2 T=25>T0時系統(4)的相圖

3 數值模擬

以上已經給出平衡點R(r,r,r2,r2)的Hopf分叉的發生條件和確定分叉方向及穩定性的公式.現在通過數值試驗驗證以上理論推導的正確性.考慮n=3,ρ=2.222 222 222時的系統.此時平衡點R=(0.699 704 906 9,0.699 704 906 9,0.489 586 956 7,0.489 586 956 7),其中分叉參數取值為T0=36.102 141 69.通過計算知C1(0)=-0.098 470 908 16-0.009 657 758 62I,μ2=256.686 998 4>0.因此,Hopf分叉是跨臨界的,此時系統(4)的平衡點R在T

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[5]Hassard B,Kazarinoff N,Wan Y.Theory and application of Hopf bifurcation[M].Cambridge:Cambridge University Press,1981.

TheHopfbifurcationofanadaptiveneuralnetworkmodel

LI Xiaoyan1,2, ZHAO Xiaohua1

(1.CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China; 2.TheDepartmentofComputerandInformationEngineering,HuainanNormalUniversity,HuainanAnhui232001,China)

The theory of dynamical systems was used to investigate the stability of equilibria and the parameter conditions under which Hopf bifurcation might occur in an adaptive neural network model.

adaptive neural network; Lotka-Volterra system; Hopf bifurcation; stability

2012-04-24

國家自然科學基金資助項目(10872183；11172269)

李曉燕(1983-)，女,安徽合肥人,碩士研究生.研究方向：微分方程與動力系統.

趙曉華.E-mail: xhzhao@zjnu.cn

O175.14

A

(責任編輯 陶立方)