一類自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的Hopf分叉研究

李曉燕, 趙曉華

(1.浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004;2.淮南師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)與信息工程系,安徽 淮南 232001)

1001-5051(2012)04-0381-07

一類自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的Hopf分叉研究

李曉燕1,2, 趙曉華1

(1.浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004;2.淮南師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)與信息工程系,安徽 淮南 232001)

運(yùn)用動力系統(tǒng)分叉理論,研究了一類自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及Hopf分叉發(fā)生的參數(shù)條件.

自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);Lotka-Volterra系統(tǒng);Hopf 分叉;穩(wěn)定性

0 引 言

文獻(xiàn)[1]提出了一類具有自適應(yīng)特性的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

式(1)中:Xi(t)表示細(xì)胞i在時(shí)刻t處的活性水平;稱矩陣Δ=(δi j)為關(guān)聯(lián)矩陣,δii=0(i=1,2,…,n),且當(dāng)δi j=0時(shí),表示細(xì)胞j對細(xì)胞i沒有影響,當(dāng)δi j=1時(shí),表示細(xì)胞j對細(xì)胞i起激發(fā)作用,當(dāng)δi j=-1時(shí),表示細(xì)胞j對細(xì)胞i起抑制作用;稱ρ>0為環(huán)境容量參數(shù);Ai j(t)表示細(xì)胞間相互作用的權(quán)重系數(shù),它與細(xì)胞i和細(xì)胞j之間在過去時(shí)間段作用的平均水平成正比,即定義

直接研究n2維系統(tǒng)(2)是比較困難的.文獻(xiàn)[2]證明,在全抑制情況下,即δj j=0,δi j=-1(i≠j,1≤i,j≤n),任意選定3個(gè)互不相同的下標(biāo)h,k,l滿足1≤h,k,l≤n,則系統(tǒng)(2)存在余維數(shù)為n2-4的不變子空間

由于下標(biāo)h可以取1～n的任何值,因此原方程存在n個(gè)這樣的不變子空間,它們可由不同的Xi來刻畫,限制在這些不變子空間上的4維約化系統(tǒng)具有相同的形式

式(4)中:X=Xh;Y=Xk;Z=Ahk;W=Akl.注意原系統(tǒng)中的維數(shù)n成為約化系統(tǒng)(4)的參數(shù).由上面的介紹可知,系統(tǒng)(4)的任何一個(gè)解都對應(yīng)原系統(tǒng)(2)的n個(gè)解.

文獻(xiàn)[1]推導(dǎo)了系統(tǒng)(2)平衡點(diǎn)的存在性及存在條件;文獻(xiàn)[2]討論了系統(tǒng)(2)的各種不變子空間的存在性,并給出了4維約化模型(4)與完全模型(2)的平衡點(diǎn)性質(zhì)的對應(yīng)關(guān)系;文獻(xiàn)[3]討論了4維約化模型(4)的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性;文獻(xiàn)[4]討論了在自適應(yīng)Lotka-Volterra系統(tǒng)中對稱性破壞對平衡點(diǎn)及動力學(xué)性質(zhì)的影響.本文將在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性及Hopf分叉的參數(shù)條件.

1 約化系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)分析

系統(tǒng)(4)的正平衡點(diǎn)(即所有分量均大于零的平衡點(diǎn))由下面2個(gè)方程確定：

若記ρ*=2{[γ(n)2+108(n-1)(n-2)]1/2-γ(n)}-1/3,γ(n)(2n-3)[32n(n-3)+63],文獻(xiàn)[1]通過求解上面2個(gè)代數(shù)方程,已證明:當(dāng)0<ρ<ρ*時(shí),系統(tǒng)(4)只有唯一正平衡點(diǎn)R=(r,r,r2,r2).其中,r是方程

的唯一正根.而當(dāng)ρ>ρ*時(shí),系統(tǒng)(4)有3個(gè)正平衡點(diǎn):R=(r,r,r2,r2),Si=(bi,si,bisi,s2i),i=1,2.其中,s1和s2(s1

關(guān)于上述各個(gè)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,文獻(xiàn)[3]證明了如下結(jié)果：

本文主要目的是討論平衡點(diǎn)R=(r,r,r2,r2) 附近的周期解分叉情況.為此，先討論平衡點(diǎn)R的更精細(xì)的穩(wěn)定性質(zhì),獲得比文獻(xiàn)[3]更細(xì)致的穩(wěn)定信息.

通過計(jì)算系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)R處的Jacobi矩陣可得相應(yīng)的特征方程

為討論特征方程Q(λ)根的性質(zhì),先引入以下記號:

通過一系列簡化計(jì)算可證它們均是正實(shí)數(shù)，并有下面的大小關(guān)系:

基于前面的準(zhǔn)備，通過分析判別式A2-4B和C2-4D,可證得以下命題:

命題3Q1(λ)的特征根有以下5種情況:

命題4Q2(λ)的特征根有以下3種情況：

1)當(dāng)T≥T4或0

2)當(dāng)T3

在上面命題的基礎(chǔ)上，即可證得如下定理：

綜合命題1～3的結(jié)論，可得平衡點(diǎn)R的穩(wěn)定性類型隨參數(shù)變化的更全面的刻畫.

定理3綜合考慮Q1(λ)和Q2(λ)的特征根，能得到以下6種情況：

2 R(r,r,r2,r2)附近的Hopf分叉

文獻(xiàn)[2]通過數(shù)值分析指出,在平衡點(diǎn)R(r,r,r2,r2)附近會產(chǎn)生Hopf分叉.現(xiàn)在,筆者從理論上嚴(yán)格證明系統(tǒng)(2)在什么參數(shù)條件下存在Hopf 分叉.

式(9)和式(10)中:

另一方面，根據(jù)式(8)，當(dāng)T臨近T0時(shí)，特征值λ1,2(T)是一對共軛復(fù)數(shù)，其實(shí)部為

從而式(11)在T=T0處對T求導(dǎo),可得

因此,根據(jù)Hopf分叉理論[5]可得如下定理：

下面利用規(guī)范型理論[5]研究Hopf分叉周期解的分叉方向及穩(wěn)定性.為此，把系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)R(r,r,r2,r2)平移到原點(diǎn)O(0,0,0,0),則系統(tǒng)(4)變?yōu)?/p>

為了應(yīng)用文獻(xiàn)[5]中的規(guī)范型公式,首先要把矩陣A化為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型,為此,要求相應(yīng)的坐標(biāo)變換.根據(jù)前面的討論,假設(shè)當(dāng)T=T0時(shí),特征方程(7)的一對純虛根及2個(gè)負(fù)實(shí)根對應(yīng)的特征向量v1,v3,v4分別為：

.

其中:

Reα4=1;

Imα4=0;

構(gòu)造可逆矩陣P=(Rev1,-Imv1,v3,v4),則線性變換x=Py可將系統(tǒng)(14)的線性部分化為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，即系統(tǒng)(14)變?yōu)?/p>

式(15)中,J為下面的標(biāo)準(zhǔn)型:

.

其中:α′(0)=Reλ′1;ω′(0)=Imλ′1.

圖1 T=20

根據(jù)文獻(xiàn)[5]中的Hopf公式,對給定參數(shù)即可計(jì)算出μ2,τ2,β2,按照下面的定理即可判定Hopf分叉的方向及分叉周期解的穩(wěn)定性：

定理5對于系統(tǒng)(14)平衡點(diǎn)(0,0,0,0)，當(dāng)分叉參數(shù)T=T0時(shí),有：

1)當(dāng)μ2>0(μ2<0)時(shí),Hopf分叉是跨臨界(亞臨界)的,從而可以確定Hopf分叉的分叉方向;

2)當(dāng)τ2>0(τ2<0)時(shí),分叉出的周期解的周期是增加(減少)的,從而可以確定周期解的周期;

3)當(dāng)β2<0(β2>0)時(shí),周期解是穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的,從而可以確定周期解的穩(wěn)定性.

圖2 T=25>T0時(shí)系統(tǒng)(4)的相圖

3 數(shù)值模擬

以上已經(jīng)給出平衡點(diǎn)R(r,r,r2,r2)的Hopf分叉的發(fā)生條件和確定分叉方向及穩(wěn)定性的公式.現(xiàn)在通過數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證以上理論推導(dǎo)的正確性.考慮n=3,ρ=2.222 222 222時(shí)的系統(tǒng).此時(shí)平衡點(diǎn)R=(0.699 704 906 9,0.699 704 906 9,0.489 586 956 7,0.489 586 956 7),其中分叉參數(shù)取值為T0=36.102 141 69.通過計(jì)算知C1(0)=-0.098 470 908 16-0.009 657 758 62I,μ2=256.686 998 4>0.因此,Hopf分叉是跨臨界的,此時(shí)系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)R在T

[1]Noonburg V W.A neural network modeled by an adaptive Lotka-Volterra system[J].SIAM J Appl Math,1989,49(6):1779-1792.

[2]Bortone C,Tebaldi C.Adaptive Lotka-Volterra systems as neural networks[J].Dyn Cont Impul Systems,1998(4):379-396

[3]Barone E,Tebaldi C.Stability of equilibria in a neural network model[J].Math Meth Appl Sci,2000,23(13):1179-1193.

[4]Lacitola D,Tebaldi C.Symmetry breaking effects on equilibria and time dependent regimes in adaptive Lotka-Volterra systems[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2003,13(2):375-392.

[5]Hassard B,Kazarinoff N,Wan Y.Theory and application of Hopf bifurcation[M].Cambridge:Cambridge University Press,1981.

TheHopfbifurcationofanadaptiveneuralnetworkmodel

LI Xiaoyan1,2, ZHAO Xiaohua1

(1.CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China; 2.TheDepartmentofComputerandInformationEngineering,HuainanNormalUniversity,HuainanAnhui232001,China)

The theory of dynamical systems was used to investigate the stability of equilibria and the parameter conditions under which Hopf bifurcation might occur in an adaptive neural network model.

adaptive neural network; Lotka-Volterra system; Hopf bifurcation; stability

2012-04-24

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10872183；11172269)

李曉燕(1983-)，女,安徽合肥人,碩士研究生.研究方向：微分方程與動力系統(tǒng).

趙曉華.E-mail: xhzhao@zjnu.cn

O175.14

A

(責(zé)任編輯 陶立方)