感悟“RMI原理”

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(象山縣教育局 浙江象山 315700)

感悟“RMI原理”

●蔣亮

(象山縣教育局 浙江象山 315700)

“化歸”是轉化和歸結的簡稱，化歸方法是數學解決問題的基本方法．高中數學中有許多種化歸是通過尋找恰當的映射來實現的，徐利治教授把這類通過尋找恰當映射實現化歸的策略進一步形式化地抽象為關系映射反演原理，簡稱RMI(relation ship mapping inversion)原理，此原理可以表述如下：

給定一個含有目標原象x的關系結構系統S，如果能找到一個定映映射φ，將S映入或映滿另一個關系結構系統S*，在S*中，通過一定的數學方法，將目標映象x*=φ(x)確定出來，再通過反演，即逆映射φ-1，把目標原象x=φ-1(x*)確定出來，從而使原問題獲解．

利用“RMI原理”解決問題的框圖如下：

“RMI原理”為我們探索和研究數學對象提供了一種較為有用的思想方法．用“RMI原理”審視高中數學教學，筆者有幾點感悟，僅供一線教學的同行參考和啟迪．

1 感悟“RMI原理”與數學化歸

在解決數學問題時，我們有時會通過“轉化”的途徑，將要解決的陌生問題轉化為熟悉問題，將復雜問題轉化為簡單問題，將抽象深奧的問題轉化為具體淺顯的問題．這種通過“轉化”來解決數學問題的思想方法，就是我們通常所說的“數學化歸”．

“數學化歸”就其涉及到的學科知識論域而言，可以歸納為3類：

(1)同一個論域內同一組對象之間的化歸．例如在幾何證明中，要證明某2條直線平行，可以化歸為證明同位角相等，或者化歸為某個三角形的中位線與底邊的關系等等．這類問題的化歸局限于同一課程同一研究對象內部之間的轉化，屬于化歸的第一層次．

(2)同一個論域內不同對象之間的化歸．例如在解析幾何中，通過換元的方法，將直線與橢圓的相交問題，轉化為直線與圓的相交問題．這類問題涉及同一課程不同研究對象之間的化歸，屬于化歸的第二層次．

(3)不同論域之間或不同學科之間的化歸．例如通過坐標法可以將曲線的相交問題(幾何)化歸為方程組的求解問題(代數)．這種涉及數學的不同分支之間，亦或不同學科之間的化歸，屬于化歸的第三層次．

感悟“RMI原理”與“數學化歸”，筆者認為：“RMI原理”體現了化歸的較高層次，即“RMI原理”實現了不同數學分支之間、不同數學對象之間的轉化．這種轉化能夠洞察原關系結構系統和新關系結構系統之間的對應關系，并通過關系結構系統，使得原問題的解決變得更加直觀、淺顯，解題的思維變得更加優化、精深．因此，“RMI原理”是一種化歸，而且是化歸的較高層次．

分析考慮到直線與圓的位置關系為我們所熟知，因此，可以通過壓縮變換(選定映射φ)，將直線與橢圓的位置關系轉化為直線與圓的位置關系(選定象集S*)．

aAx′+bBy′+C=0；

x′2+y′2=1．

圓τ′的圓心到直線l′的距離

當(aA)2+(bB)2=C2時，直線l與橢圓τ相切；

當(aA)2+(bB)2

當(aA)2+(bB)2>C2時，直線l與橢圓τ相交．

例1解題的精髓是通過換元法將直線與橢圓的位置關系轉化為我們熟知的直線與圓的位置關系，是解析幾何中不同對象之間的轉化，屬于化歸的第二層次．例1解法之簡捷，得益于“RMI原理”的實踐，其結果完全可以作為一種判別式，用來判斷直線與橢圓的位置關系． 務必指出，“RMI原理”作為一種化歸，其定映映射φ必須保持某種不變性，例如用割補法把平行四邊形面積化為矩形面積計算時，需要保證圖形運動時面積不變．本例中的定映映射φ，保證了直線與橢圓的相交性和直線與圓的相交性不變．

例2已知：a,b,c∈R+，求證：

分析此題若用代數方法證明，需要經過多次平方，算式之復雜，計算之繁瑣，會讓學生碰得頭破血流．最后迫使他們改用三角形兩邊之和大于第三邊的幾何思考方法來解決此題，從而使原問題變得簡易淺顯、一目了然．

圖1

構造四邊形ABCD,如圖1所示.設E為AD的中點，且AE=DE=a，BE=b，CE=c，∠AEB=∠BEC=∠CED=60°,則

這樣，在代數與幾何之間便建立了一個對應關系(映射φ)：

于是，要證的不等式就化歸為證明AB+BC>CD．因為AB+BC>AC，而AC>CD，所以結論成立．

構建一個合適的模型，通過對這個模型的考察研究來完成解題，是“RMI原理”建立定映映射φ的常見手段．例2解題的關鍵是構建了四邊形ABCD(映射φ)，從而改變了原問題的外部形式和內部結構，使代數問題和幾何問題得以相互轉化，屬于化歸的第三層次．

特別強調的是，在高中數學中，有許多數學方法，如解析法、復數法、換元法、向量法、構造模型法、幾何(代數)變換法等，它們都是“RMI原理”的具體應用．在平常的教學中，若能從“RMI原理”的高度來認識和統一上面所提到的這些常見的數學思想方法，定能優化學生的知識結構，提高學生的思維水平．

2 感悟“RMI原理”與映射原則

“RMI原理”的核心思想是利用2個系統之間的聯系、關系與相似性來解決問題，因此，能否合理、巧妙地引進定映映射φ，是運用“RMI原理”解決問題的關鍵．感悟“RMI原理”與映射原則，筆者特別強調，在選取映射φ時應該遵循的以下幾條原則：

(1)簡單化原則．在選擇定映映射φ以及將原關系結構系統S映射至新關系結構系統S*時，必須堅持S*較之S，問題的解決變得更容易、更簡單、更具體、更直觀．即遵循由難變易、由繁變簡、由非標準型變為標準型的基本原則．

(2)可逆性原則．一般來說，選擇定映映射φ時，必須同時考慮到反演φ-1是否合乎問題需要，即是否可通過反演φ-1把原象目標x確定出來．通常，在2個具有運算關系的結構系統S和S*中，選擇映射φ時，應該考慮φ是否為同構映射或同態映射．如果建立在2個系統間的定映映射φ不是一一對應的，那么利用這樣的映射反演解題后，必須做一些必要的彌補工作．

(3)高觀點原則．“RMI原理”是高層次的化歸，因此，我們在選擇映射φ時，應該堅持視角獨特、構思新穎、方法巧妙等高觀點原則．從而使得在映射φ下，從S到S*的過程是原始計算向創新算法的優化過程(例如2個數的乘除運算可化歸為對數的加減運算)；是低級思維向高級思維的發展過程(例如函數在[a,b]上的單調性關系可化歸為導函數的正負值關系)．

(4)和諧性原則．“RMI原理”涉及的系統可大可小，情況多種多樣．關鍵在于通過映射φ，使得2個結構系統間的某類問題建立對應，以利于指導解題．

例3對數與同構.

我們知道，全體正實數集R+關于乘法運算來說構成一個群，全體實數集R關于加法運算也構成一個群．在R+與R之間我們選定定映映射φ=logc(其中c>0且c≠1)，在φ下，對于任意的a,b∈R+，都有a→logca,b→logcb.當a≠b時，有logca≠logcb．于是，定映映射φ就是R+到R上的一一映射．又因為ab→logc(ab)=logca+logcb，所以，對于R+上的乘法運算和R上的加法運算來說，定映映射φ=logc是一個同構映射．

若要求出a·b(a>0,b>0)，不妨設x=a·b，乘法是原象間的關系，在同構映射φ下，要找映象x*，只需根據映象間的關系——加法來寫出：

x*=logca+logcb,

再作反演(反對數)，即得原象x．

一個同構映射，能將繁難的乘法關系映成簡易的加法關系，這正是對數的價值所在．學習對數的主要之點，正是關系的轉化，發現φ=logc是R+到R上的同構映射．

3 感悟“RMI原理”與數形結合

由于在平面上建立了直角坐標系，平面上的點與有序實數對之間便建立了一一對應關系(定映映射φ)，這樣，函數與圖像、方程與曲線、復數與向量等不同結構系統之間便構建了一定的對應關系，這便是我們常說的“數形結合思想”．數形結合的思想方法是“RMI原理”最集中的體現，它能給抽象的數量關系以形象的幾何直觀，也能把粗獷的幾何問題轉化為細膩的數量關系．

在高中數學中，將幾何問題轉化為代數問題進行研究的典范是解析幾何，通過幾何直觀來注釋代數關系的經典內容則是矩陣與變換[1]．在平常的教學中，教師過多地從“數”的角度去理解“形”的特征，卻淡化了給抽象的數量關系尋找形象的幾何直觀．事實上，數學是有“形”的，因為數學中的基本元素、概念等都是從現實世界中提煉和抽象出來的．感悟“RMI原理”與數形結合思想，筆者認為：要抓住矩陣和變換的教學機遇，給學生補上“以形助數”這一課，讓抽象的數學語言與直觀的幾何圖形結合起來，讓抽象思維與形象思維統一起來．

例4利用矩陣的幾何意義直觀認識矩陣的運算和運算律.

圖2

圖3

將一個頂點為O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)的正方形，先逆時針旋轉90°，再將靠近y軸的方向壓縮一半得到的結果(圖2)，與先將靠近y軸的方向壓縮一半，再逆時針旋轉90°得到的結果(圖3)作比較，讓學生認識到交換變換順序得到的結果一般是不同的，即

因此，矩陣的乘法不滿足交換律．

圖4

圖5

根據投影變換的特點，把一個頂點為O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)的正方形先作關于原點O的對稱變換，再向x軸作投影變換得到的結果(圖4)，與先作y軸的反射變換，再向x軸作投影變換得到的結果(圖5)是一樣的,即

4 感悟“RMI原理”與數學創新

數學中存在各種結構系統，它們大多是獨立發展起來的，后來，數學家發現其中某些結構系統之間有著密切的聯系，甚至還可以一一對應，即將一個結構系統內成立的問題結論對應到另一個結構系統內，它的相應問題的結論也成立，于是便自覺地去尋找這類系統間的對應關系．這樣，一種重要的數學思想方法——“RMI原理”便逐漸形成了．感悟“RMI原理”與數學創新，筆者認為：在定映映射φ下，2個結構系統S與S*之間便構建了某種聯系，通常將一個結構系統內成立的結論對應到另一個結構系統內，它的相應結論也成立．這樣，借助于對象集S*(或原集S)的探究，往往能反演出許多令人驚喜的創新碩果．

例5三角函數與雙曲函數的探究.

圖6 圖7

因為曲邊△ABP′的面積為

且

得

這便是通常所說的雙曲函數．

在單位圓和等軸雙曲線之間構建定映映射φ：使得單位圓上的點P對應于等軸雙曲線上的點P′，兩者保持曲邊△OAP的面積和曲邊△OAP′的面積相等(圖6和圖7)．顯然，在定映映射φ下：cosα?coshα，sinα?sinhα．這樣，人們把coshα和sinhα分別稱作雙曲余弦、雙曲正弦就可以理解了．

觀察雙曲函數，coshα和sinhα均可用一個基本函數eα來表示．不妨稱eα為雙曲函數的中心函數，記為f(α)=eα．于是，

類似地，在三角函數中，cosα和sinα是否也存在一個中心函數g(α)？

分析雙曲函數的中心函數，由于

f(α)=x+y=coshα+sinhα，

其中x，y滿足x2-y2=1,因此在三角函數中，若令x′=cosα，y′=isinα，則x′,y′也滿足x′2-y′2=1．這樣，猜想中心函數

g(α)=x′+y′=cosα+isinα=eiα,

這便是數學家歐拉的偉大發現．由此可得

現在提出一個問題：不脫離實數域，能否將cosα和sinα類似地簡化為用一個基本函數來表示？

圖8 圖9

從射影幾何的觀點來看圖形(圖8和圖9)，這是可能的．考慮單位圓和通過點G(-1,0)的直線束y=λ(x+1)，其中λ是參數(如圖8所示)．容易解得圓對應于λ的射線的交點P的坐標為

因為

∠POA=α,

所以

即

觀察雙曲函數的中心函數f(α)，有性質f(α+β)=f(α)f(β)．對于三角函數的中心函數g(x)而言，是否也有性質g(α+β)=g(α)g(β)?

(cosαcosβ-sinαsinβ)+i(sinαcosβ+cosαsinβ),

故對于中心函數g(x)而言，也有性質

g(α+β)=g(α)+g(β).

由該性質可得

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,

這就是兩角和公式．

限于篇幅，我們不再探索，但事實足以說明，通過對象集S*的不斷探究，定能反演出原集S的更多性質(反之亦可)，這些性質如果不是“RMI原理”的實踐，恐怕很難觀察出來．可以這樣說，“RMI原理”為我們提供了一種探究的方法、一條創新之道.它的應用，能鍛煉學生思維的廣闊性、深刻性、靈活性和獨創性，能提高學生的數學創新能力．

如果誰能對一些十分重要的關系結構S，巧妙地引進非常有用且具有能行性反演φ-1的可定映映射φ，誰就作出了較為重要的貢獻[2].

——徐利治

文章得到導師張奠宙先生的悉心指導，在此謹表謝意！

[1] 普通高中課程標準實驗教科書數學(選修4-2)[M]．北京：人民教育出版社，2008．

[2] 徐利治．數學方法論選講[M]．武漢:華中工學院出版社，1983．

[3] 張奠宙．數學方法論稿[M]．上海：上海教育出版社，1996．

蔣亮，1956年生，浙江臨海人，中學數學高級教師、寧波市正教授級教師、浙江省特級教師.先后在浙江師范大學數學系、浙江省象山中學、象山縣教育局等單位工作，并擔任過計算機專業講師、象山中學校長、教育局副局長、縣人大常委、市政協委員、寧波市數學會副會長、寧波市特級教師協會副會長等職。長期從事高中數學與大學數學的相關性研究，能用高等數學觀點審視高中數學教學，公開發表論文近百篇。