對一道高考調測題幾種解法的辨析

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(上虞市教體局教研室 浙江上虞 312300)

對一道高考調測題幾種解法的辨析

●陳堯明

(上虞市教體局教研室 浙江上虞 312300)

圖1

這是2012年浙江省數學高考調測卷(理科)第17題.筆者對學生的答題情況作了統計,從答題情況看,大部分學生能答對取值范圍的上限，幾乎都錯在下限，即最小值求不對；全部答對的學生也很少，正確率很低．筆者對部分學生答題的思維過程進行復原，發現大部分學生是通過取點D(或點E)為特殊位置來蒙的，當然也有極個別學生是利用二次函數根的分布來演繹的．由于是填空題，只知結果不見過程，以致于學生在解題中的一些思維缺陷被掩蓋，以下是筆者對解題過程作的辨析．

當點E與點B重合,即x=1時，y=0，但此時CD2+CE2+DE2=3，這說明x不可能取到1．于是在式(1)中令y=0得

4x2-2x-1=0，

解得

故

由對稱性，不妨令x=y，則

10x2-4x-1=0，

解得

故

綜上所得OD+OE的取值范圍是

4(x2+y2)-2(x+y)+2xy-1=0，

配方得

4(x+y)2-2(x+y)-1=6xy.

5(x+y)2-4(x+y)-2≤0，

解得

考慮到xy≥0，即

4(x+y)2-2(x+y)-1=6xy≥0,

從而

綜上可得OD+OE的取值范圍是

4(x2+y2)-2(x+y)+2xy-1=0.

令x+y=t，則t∈(0,2],將y=t-x代入上式得

6x2-6tx+4t2-2t-1=0.

令f(x)=6x2-6tx+4t2-2t-1，則函數f(x)的零點應在(0,1]內.考慮到

f(1)=4t2-8t+5=4(t-1)2+1>1，

圖2

從筆者的調查來看，此題的解法大致是這3種，當然也有部分師生用建坐標系或向量來解，但最終都可以歸結到利用余弦定理列出x,y的關系式求解．

由4(x2+y2)-2(x+y)+2xy-1=0得

求導得

顯然y′<0，不妨令y′<-1(注：在一定程度上，當y′=±1時，x與y的變化率是一致的)，即

解得

學生丙的結果歪打正著，是正確的．

事實上，可將4(x2+y2)-2(x+y)+2xy-1=0看作是關于x,y的曲線方程，對變量作坐標旋轉變換.令

在新坐標系x′O′y′下曲線方程變為

進一步化簡得

圖3 圖4

通過以上辨析可以知道，求OD+OE的取值范圍，其實是一個線性規劃問題，方程4(x2+y2)-2(x+y)+2xy-1=0所確定的曲線圖形是橢圓．

再來看2012年浙江省數學高考調測卷(文科)的第17題：

分析由于3條邊的平方和改成了2，式(1)就可化為

4(x2+y2)-2(x+y)+2xy=0，

通過坐標變換得