“與拋物線有關(guān)的定點(diǎn)問題”課例與點(diǎn)評(píng)

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(樂清中學(xué) 浙江樂清 325600)

“與拋物線有關(guān)的定點(diǎn)問題”課例與點(diǎn)評(píng)

●施克滿

(樂清中學(xué) 浙江樂清 325600)

在新課程標(biāo)準(zhǔn)下，什么樣的數(shù)學(xué)課堂才是高效的數(shù)學(xué)課堂？高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)該怎樣體現(xiàn)有效性？適逢溫州市馬玉斌名師工作室在我校舉行教學(xué)展示活動(dòng)，我校高二數(shù)學(xué)剛好上到圓錐曲線的拋物線部分，于是筆者決定上一節(jié)關(guān)于拋物線復(fù)習(xí)的小專題公開課，選定的課題是“與拋物線有關(guān)的定點(diǎn)問題”.工作室全體成員對(duì)本節(jié)課做了精彩的點(diǎn)評(píng)，使筆者獲益良多，現(xiàn)整理如下與同仁分享.

1 課例

1.1 問題呈現(xiàn)，特殊猜想

問題已知拋物線y2=2x上2個(gè)不同的點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2),O為原點(diǎn)，滿足OA⊥OB，試問：直線AB是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

(學(xué)生在5分鐘內(nèi)獨(dú)立思考、自我完成，之后進(jìn)行小組討論交流各自的想法.)

教師：很好，對(duì)一般問題的思考可以先從特殊情況入手，進(jìn)行合理地猜想，然后得到結(jié)果.現(xiàn)在，我們通過幾何畫板來檢驗(yàn)這個(gè)猜想是否正確.

(教師演示幾何畫板，學(xué)生觀察圖像的變化，發(fā)現(xiàn)的確是過定點(diǎn)(2，0)的.)

1.2 4種方法論證，歸納問題本質(zhì)

教師：盡管特殊法得到的結(jié)論是正確的，但是數(shù)學(xué)的問題是需要嚴(yán)格論證的，哪組同學(xué)有辦法進(jìn)行證明？

生B：(解法1)先設(shè)直線的方程為

x=my+t(t≠0)，

然后將直線的方程代入y2=2x得到

y2-2my-2t=0，

于是

由OA⊥OB得

x1x2+y1y2=t2-2t=0，

得到t=2(t=0舍去).因此直線AB的方程變?yōu)閤=my+2，過定點(diǎn)(2,0).

(教師板書解答過程.)

教師：生B的解答一氣呵成.在解答中，我們看到選擇直線方程時(shí)，生B設(shè)的是x=my+t(t≠0)，與習(xí)慣上設(shè)y=kx+b不同，能解析一下嗎？

生B：設(shè)x=my+t(t≠0)，包含了2種情況：當(dāng)m=0時(shí)，x=t表示斜率不存在的直線，當(dāng)m≠0時(shí)，表示斜率存在的直線.而y=kx+b僅表示斜率存在的直線，還要補(bǔ)上斜率不存在的情況.2種做法類似，都可以求解.

教師：生B的分析很有道理，在選擇具體的直線方程時(shí)，可以根據(jù)題目的意思進(jìn)行靈活的選擇.從得到的t=2看，y1y2=-4應(yīng)該是一個(gè)定值，可以驗(yàn)證嗎？

(學(xué)生思考，討論，演算.)

生C：還是從問題的條件OA⊥OB入手，我們知道

教師：從解法1我們看到了直接設(shè)直線AB的方程是可以解決的.其他組有不同的解法嗎？

這樣直線AB的方程就可以設(shè)為

化簡得

(y1+y2)y=2x+y1y2=2x-4，

過定點(diǎn)(2,0).

(教師請(qǐng)生D板書解答過程.)

教師：生D也是緊緊圍繞直線AB的方程，用y1,y2表示，并且用到了剛才得到的y1y2=-4這一定值，解答過程簡潔明了.我們發(fā)現(xiàn)這2種解法都是設(shè)有多個(gè)變量的，生B設(shè)x=my+t(t≠0)，生D得到(y1+y2)y=2x+y1y2.能否只用1個(gè)變量使問題的解決更明了呢？

化簡得

(1-k2)y=k(x-2)(k≠±1)，

觀察發(fā)現(xiàn)當(dāng)k=±1時(shí)也滿足，因此直線AB的方程為

(1-k2)y=k(x-2),

因此過定點(diǎn)(2，0).

(教師邊聽邊板書解答過程.)

教師：這也是一種常見的解法，將所有的關(guān)系用一個(gè)變量表示，集中處理，便于發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系.

(此時(shí)，教師發(fā)現(xiàn)生F想發(fā)言.)

即

ty2+2mxy-2x2=0，

再轉(zhuǎn)化為

即

t=2.

(教師請(qǐng)生F板書解答過程.)

教師：這種做法實(shí)際上就是化為二次齊次方程求解，同時(shí)能將原來的問題進(jìn)行等價(jià)處理，需要很強(qiáng)的化歸能力.很好！這樣我們得到了解決這類過定點(diǎn)問題的幾種常見解法，請(qǐng)同學(xué)們歸納一下.

生G：解法1:設(shè)直線AB方程x=my+t(t≠0)，轉(zhuǎn)化為x=my+2.

解法2:設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，得到直線AB的方程

(y1+y2)y=2x+y1y2=2x-4.

解法3:設(shè)直線OA,OB方程，得到直線AB的方程

(1-k2)y=k(x-2).

解法4:先化為二次齊次方程，然后得到直線AB的方程x=my+2.

教師：從這4種解法中，我們發(fā)現(xiàn)最后都是要得到直線AB的方程，并且都是含有參數(shù)的.能將這幾個(gè)式子的特點(diǎn)更一般化嗎？

生G：寫成B1(x-a)+B2(y-b)=0，其中B1,B2可以是含有變量的值，而a,b是常數(shù)，這樣就可以得到直線過定點(diǎn)(a,b).

教師：很好.生G通過對(duì)這4種解法的分析，得到了一個(gè)具有一般意義的式子

B1(x-a)+B2(y-b)=0(a,b是常數(shù)).

1.3 一般推廣，深化理解

教師：我們知道，數(shù)學(xué)的很多問題都是可以進(jìn)行一般化推廣的，這樣有助于我們對(duì)問題的深入理解.現(xiàn)在請(qǐng)大家思考剛才的問題，看看可以在什么情況下進(jìn)行一般化推廣.

生H：可以將y2=2x一般化為y2=2px(p>0).

生I：將OA⊥OB改為kOA·kOB=a(a為常數(shù)).

生J：我認(rèn)為點(diǎn)O也是可以改動(dòng)的，比如y2=2px(p>0)上的一個(gè)定點(diǎn)D(x0,y0).

教師：很好!經(jīng)過討論，可以把問題一般化為：

已知拋物線y2=2px(p>0)上2個(gè)不同的點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2),D(x0,y0)為拋物線上的一個(gè)定點(diǎn)，滿足kDA·kDB=a(a為常數(shù)).試問：直線AB是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

現(xiàn)在請(qǐng)大家試試看，能否解決這個(gè)一般化的問題？

(學(xué)生獨(dú)立思考、自我解答，小組交流討論.)

生K：(解法1)設(shè)直線AB的方程為

同時(shí)由kDA·kDB=a，得

生L：(解法2)設(shè)直線AB的方程為x=my+t(t≠0)，代入y2=2px(p>0)得

y2-2pmy-2pt=0，

再將y1+y2=2pm,y1y2=-2pt代入

代入直線的方程消去t，得到直線AB的方程為

教師：這是解決定點(diǎn)問題的2種一般方法.通過嘗試,我們發(fā)現(xiàn)前面采用的設(shè)一個(gè)變量k的方法和化為二次齊次的方法在這里都存在困難.

1.4 3種變化，凸顯本質(zhì)

教師：從變化的角度上看，對(duì)于上面的問題我們僅僅是考察了定點(diǎn)問題的一個(gè)類型，即當(dāng)kDA·kDB=a(a為常數(shù))時(shí)的情況.現(xiàn)在進(jìn)行更廣泛的思考，請(qǐng)大家圍繞定點(diǎn)產(chǎn)生的條件，即直線必須能化為B1(x-a)+B2(y-b)=0(a,b是常數(shù))這種一般的結(jié)構(gòu)進(jìn)行思考.

(學(xué)生思考、討論，教師巡視，師生交流.)

生M：(變化1)我們考慮的問題是：

已知拋物線y2=2px(p>0)上2個(gè)不同的點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2),O為原點(diǎn)，且kOA+kOB=a(a為非零常數(shù)).

生N：(變化2)我們這樣思考：

生O：(變化3)我們考慮到當(dāng)直線OA，OB的傾斜角滿足一定關(guān)系時(shí)也是可以的，正在進(jìn)行中，結(jié)果還沒算好.

1.5 一般二次曲線的思考(課后繼續(xù)探究)

教師：大家的思考非常好，各小組的討論也很深入，M,N,O這3個(gè)小組的同學(xué)各給出了一個(gè)可行的變化，P小組的同學(xué)對(duì)今天研究的問題進(jìn)行了一般化處理，推廣到任意的二次曲線，給整節(jié)課做了一個(gè)小結(jié).希望大家課后繼續(xù)研究.

2 點(diǎn)評(píng)

2.1 選題典型，一題多解，一題多變

這是一節(jié)小專題復(fù)習(xí)課，主要研究與拋物線有關(guān)的定點(diǎn)問題.從一個(gè)具體問題出發(fā)，先考慮特殊情況，得到定點(diǎn)；然后從設(shè)點(diǎn)、設(shè)直線的方程、設(shè)斜率、化為二次齊次式等幾個(gè)方面進(jìn)行論證.選擇的問題非常典型，學(xué)生給出的方法也很有代表性，課堂上注重一題多解，重視培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度分析和處理問題的能力.

2.2 學(xué)生積極參與，問題解決層層遞進(jìn)

新課標(biāo)指出“必須關(guān)注學(xué)生的主體參與、師生互動(dòng)”.本節(jié)課教師提供了足夠多的機(jī)會(huì)讓不同層次的學(xué)生有不同的表現(xiàn)，教師以表揚(yáng)、贊許等情感語言和鼓掌、微笑、點(diǎn)頭等肢體動(dòng)作，多角度、多方位激勵(lì)學(xué)生，使得原本困難的問題很好地解決，并從多角度對(duì)問題進(jìn)行發(fā)散.特別是最后學(xué)生小組自我改編問題，從幾個(gè)不同的角度研究定點(diǎn)問題，將本節(jié)課的教學(xué)推向高潮，同時(shí)教師能將問題的本質(zhì)在解答過程中給予揭示，有利于問題的解決.教師這樣做的目的是培養(yǎng)學(xué)生的理性精神和創(chuàng)新意識(shí)，為今后的學(xué)習(xí)和生活播下優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)思維種子.

3 自我反思

(1)本節(jié)課課堂容量大，需要學(xué)生有快速的反應(yīng)，但是在教學(xué)中為了后續(xù)問題的展開和深入，常常是看到學(xué)生有想法了，就直接請(qǐng)學(xué)生回答，使得其他學(xué)生沒有足夠的思考時(shí)間.在講解問題時(shí)，沒能讓學(xué)生充分展示解決問題的思維過程，有些可惜.

(2)原來的教學(xué)設(shè)計(jì)中沒有解法4(化為二次齊次式)，但是學(xué)生提出來而且漂亮地解決了，這是課堂中自然生成的.若教師能夠說明怎么樣的式子適合二次齊次結(jié)構(gòu)，比如可以舉一個(gè)例子：已知sin2x-3sinxcosx+1=0，求tanx.可以將式子化為

2sin2x-3sinxcosx+cos2x=0，

這就是一個(gè)二次齊次式，再由2tan2x-3tanx+1=0得到tanx.這樣學(xué)生將更明白這樣一種結(jié)構(gòu).

(3)在問題解決的過程中，請(qǐng)的都是一些有成熟想法的小組，而很多學(xué)生沒有把錯(cuò)誤思維暴露出來，這樣就失去了一個(gè)糾正錯(cuò)誤的機(jī)會(huì).其實(shí)在教學(xué)中更多的是遇到挫折，更重要的是讓學(xué)生意識(shí)到錯(cuò)在何處、如何改正，這樣的印象會(huì)更加深刻，才會(huì)避免錯(cuò)誤再次發(fā)生.本次課看似非常順利，但是學(xué)生深層次的思維過程沒有完全暴露，就使得很多錯(cuò)誤的想法被埋沒了，這是值得教師重視的.