線性代數中幾個定理的證明

彭章艷

(武漢工程大學理學院，湖北武漢430074)

線性代數中幾個定理的證明

彭章艷

(武漢工程大學理學院，湖北武漢430074)

線性代數較抽象，且有一套特有的理論體系和思維方法，本文對行列式的兩個基本性質:兩行互換，行列式變號與DT=D(行列式轉置不變)進行了證明，既具有新穎性，也加強了對行列式的概念和思想方法的理解。

線性代數;行列式;余子式

n階行列式的定義有兩種方式，一是用逆序數的奇偶性;二是用歸納定義(即用展開性質定義)。前者較抽象，學生難以較快掌握，但用該定義證明行列式的性質較容易。后者定義較容易掌握，但用該定義證明行列式性質時有一定的困難(盡管可以充分使用歸納法)。特別是對兩個基本性質:兩行互換，行列式變號與DT=D(行列式轉置不變)。對于這兩個性質，一般教科書上不證，只說可以用歸納法證之，但據作者所知，這兩個性質用歸納法是無法證明的。

另外，對于兩個 n階方陣 A和 B，有 det(AB)=det(A)det(B)，一般教材是用det(A)det(B)，然后利用行列式初等變換

從而證明det(AB)=det(A)det(B)。

本文給出了在歸納定義行列式的情況下證明上述提到的行列式的兩個基本性質，并給出了det(AB)=det(A)det(B)的一種新證法。其中 M1j為 a1j對應的余子式。

引理1 j－1列

證明:由定義1，兩邊按行展開便獲證。

定理1 行列式相鄰的兩行互換，則行列式反號。

證明:容易驗證n=2時，命題成立，假設命題對n－1階行列式成立。

下證命題對n階行列式成立。

設n階行列式的第i行與第i+1行互換得行列式D'

(1)當i≠1時，

其中，M'ij為D'中a1j對應的n－1階余子式，M1j為D中a1j對應的n－1階余子式，由歸納假設有M'1j=－M1j。

(2)當 i=1時，由引理2，知

這里用行列項性質，而行列項性質只需用歸納法證之。

萍萍給他取的綽號是從“心肝”開始的，接下去有“寶貝”，“王子”，“騎士”，“馬兒”，這是比較優雅的，往后就是食物了，全是“卷心菜”，“豆干”，“泥腸”，“土豆”之類的，還有我們都聽不明白的“氣勢洶洶”和“垂頭喪氣”。

反復用定理1，便得到如下兩個推論。

推論1 行列式兩行互換，則行列式反號。

由于行列式的列裂項性質容易用歸納法證之，容易得到行列式依第一列展開的性質。對上式的右端各項應用推論2便得定理2。

利用定理2和歸納法容易得到DT=D。

下面證明 det(AB)=det(A)det(B)。

引理3 設P1，P2為n階初等陣，則

(1)det(P1P2)=det(P1)det(P2);

(2)det(P1Fr)= det(P1)det(Fr)det(FrP2)=det(Fr)det(P2)。

證 (1)只 是將 P1P2以 E(i，j)，?E(i(k))，?E(i，j(k))代之而驗證。

(2)當r＜n時，

而 det(Fr)=0，故 det(P1Fr)=det(P1)det(Fr)。

當 r=n時，Fr=EP1Fr=P1E=P1det(P1Fr)=det(P1E)=det(P1)，

而det(E)=det(Fr)=1det(P1Fr)=det(P1E)=det(P1)det(Fr)。

同理可證det(FrP2)=det(Fr)det(P2)。

注:引理3可推廣到有限初等陣或Fr之積的情形。

定理3設A，B均為n階方陣，則

證明:設A，B的分解式為

A=P1…PkFr1Q1…QlB=P'1…P'mFr2Q'1…Q's，

其中 P1，…，Pk，P'1，…，P'm，Q1，…QL，Q'1，…Q's為初等陣。

線性代數日益滲透到工程技術和經濟社會的眾多領域，其重要性和實用性與日俱增。本文證明了行列式的兩個基本性質，示在幫助鞏固，加深，提高和拓寬有關知識，讓其成為必備基礎和科技人員解決實際問題的有力工具。

［1］同濟大學應用數學系．線性代數［M］．北京:高等教育出版社，2003．

［2］柯斯特利金 A H．代數學引論［M］．北京:高等教育出版社，2010．

［3］(美)Steven J Leon．線性代數［M］．北京:機械工業出版社，2010．

［4］(美)Tom M Apostol．線性代數及其應用導論［M］．北京:人民郵電出版社，2010．

O15

A

1674－5884(2012)02－0174－03

2011－12－28

彭章艷(1966－)，女，湖北仙桃人，研究生，主要從事應用數學研究。

(責任編校 游星雅)