一維電子氣在諧振勢(shì)中的兩粒子精確解

朱伶俊，祁 飛

(浙江師范大學(xué) 物理與信息工程學(xué)院，浙江 金華 321004)

一維電子氣在諧振勢(shì)中的兩粒子精確解

朱伶俊，祁 飛

(浙江師范大學(xué) 物理與信息工程學(xué)院，浙江 金華 321004)

利用分離變量法，對(duì)在諧振勢(shì)中一維電子氣的兩粒子問(wèn)題進(jìn)行了研究。研究表明:隨著電子－電子相互作用強(qiáng)度的增大，兩粒子的密度分布由單峰結(jié)構(gòu)逐步被劈裂成雙峰結(jié)構(gòu)，而兩粒子的能級(jí)差卻隨著相互作用強(qiáng)度的增大而減小，直至為零。

一維電子氣;諧振勢(shì);密度分布

0 引言

近幾年來(lái)，隨著納米技術(shù)的發(fā)展，在實(shí)驗(yàn)上我們已經(jīng)能成功制備出純凈的一維量子氣，例如:一維半導(dǎo)體量子線，單阱碳納米管結(jié)構(gòu)和束縛在細(xì)長(zhǎng)外勢(shì)中的超冷原子等［1－4］。我們已經(jīng)知道一維電子氣模型與理想的費(fèi)米液體不同，它不能用傳統(tǒng)的朗道(Landau)理論或者低能Luttinger液體來(lái)描述［5］，因?yàn)樵谝痪S結(jié)構(gòu)的物理特性中電子－電子相互作用起了關(guān)鍵作用。雖然研究電子氣系統(tǒng)特性的方法越來(lái)越精確(自由相位近似、密度泛含理論、蒙特卡羅等)，但到目前為止還沒(méi)有真正意義上的一維電子氣基態(tài)特性的精確解。一般情況下，為了求解多粒子非均勻體系問(wèn)題，我們需要知道少粒子均勻體系的精確解本征態(tài)。

在量子力學(xué)中，精確可解的模型非常的少，但諧振勢(shì)是一個(gè)比較特殊的例子。諧振勢(shì)中的單粒子問(wèn)題可以得到解析解［6］。而精確求解電子氣中兩粒子問(wèn)題一直是欠缺的，本文主要研究處在諧振勢(shì)中一維電子氣兩粒子的精確解問(wèn)題。并且我們已經(jīng)知道研究?jī)闪Ｗ泳_解問(wèn)題可以為一維多體系統(tǒng)何其它理論提供佐證，并且可以和實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)做最直接的比較。

在本文中，首先我們給出了一維電子氣的模型結(jié)構(gòu)［7］，接著利用分離變量法處理了這個(gè)模型，并且研究了在相對(duì)坐標(biāo)下的外勢(shì)結(jié)構(gòu)和密度分布，最后，我們給出了在諧振勢(shì)中一維電子氣兩粒子的密度分布和基態(tài)能特性。

1 模型與方法

諧振勢(shì)中一維電子氣兩粒子模型的哈密頓量可以寫(xiě)成:

利用分離變量法可以知道，質(zhì)心坐標(biāo):Z=z1－z2，P=p1+p2;相對(duì)坐標(biāo):zrel=z1－z2，p=(p1－p2)/2，變化后的哈密頓量可以寫(xiě)成:

其中，M=2m，μ=m/2。

質(zhì)心坐標(biāo)的哈密頓量(3)式就是線性諧振子，它的波函數(shù)可以寫(xiě)成［5］:φCM～exp(－Z2/a2)，所以，總的基態(tài)波函數(shù)可以寫(xiě)成:

因此，現(xiàn)在我們只需要計(jì)算相對(duì)坐標(biāo)下的基態(tài)波函數(shù)φrel(zrel)，其中，我們可以利用單粒子薛定諤方程來(lái)求解這個(gè)本征態(tài)波函數(shù):

將方程(6)無(wú)量綱化，選用L/2為長(zhǎng)度單位，2h2/(mL2)為能量單位，無(wú)維度的薛定諤方程可以寫(xiě)成:

其中V(zrel)稱(chēng)為有效勢(shì)，它可以寫(xiě)成:

2 結(jié)果與討論

首先我們討論了有效勢(shì)的情況，有上面的公式可知，不同L，b決定了有效勢(shì)的形狀大小，這里我們分別給出了在b=0.1aB時(shí)，不同L情況下的有效勢(shì)(圖1)

圖1 在b=0.1aB時(shí)，不同L的有效勢(shì)

圖2 在b=0.1aB時(shí)，不同相互作用對(duì)應(yīng)的相對(duì)坐標(biāo)基態(tài)密度分布

根據(jù)方程(7)，我們可以數(shù)值求解得到基態(tài)波函數(shù)φrel(zrel)，因此，我們可以得到相對(duì)坐標(biāo)下的單粒子的基態(tài)密度分布(圖2)及其能級(jí)分布(圖3)。

圖3 不同相互作用強(qiáng)度作用下的能級(jí)分布

由上圖可知，當(dāng)相互作用為0時(shí)(L=0)，系統(tǒng)中的電子－電子相互作用為0，與一維諧振子能級(jí)分布相同，可以寫(xiě)成:En=hω(n+1/2)，n=0，1，2，…。隨著相互作用強(qiáng)度的增加，密度分布由單個(gè)峰被劈裂成雙峰，當(dāng)相互作用比較大時(shí)被完全劈裂成兩個(gè)獨(dú)立的峰(見(jiàn)圖2)。此時(shí)，兩個(gè)能級(jí)之間的能級(jí)差隨著相互作用強(qiáng)度的增加而逐步減小(見(jiàn)圖3)，由計(jì)算得出，當(dāng)L=4aB時(shí)，ΔE=0.00098。我們有理由可以相信，當(dāng)L→∞時(shí)，ΔE→0，此時(shí)可以將這個(gè)兩體系統(tǒng)看成兩個(gè)完全相互獨(dú)立粒子，那么它們的能量應(yīng)該完全相同的。

現(xiàn)在我們已經(jīng)知道相對(duì)坐標(biāo)下的波函數(shù)，結(jié)合公式(5)，我們可以得出兩粒子總的波函數(shù)ψGS(z1，z2)。兩粒子總的基態(tài)密度分布可以由以下公式得出:

因此，我們可以精確的得到一維電子氣中在諧振勢(shì)中兩粒子的密度分布(圖4)。

圖4 在b=0.1aB時(shí)，不同相互作用對(duì)應(yīng)的一維電子氣在諧振勢(shì)中兩粒子基態(tài)密度分布

3 結(jié)論

本文利用分離變量法研究了一維電子氣在諧振勢(shì)中兩粒子問(wèn)題。研究結(jié)果表明:隨著電子－電子相互作用強(qiáng)度的增大，兩粒子的密度分布由單峰結(jié)構(gòu)逐步被劈裂成完全的雙峰結(jié)構(gòu)，而兩粒子的能級(jí)差卻隨著相互作用強(qiáng)度的增大而減小，并且可以得出，當(dāng)L→∞時(shí)，ΔE→0。

［1］H.Temkin，G.J.Dolan，M.B.Panish，andS.N.G.ChuLow-temperature photoluminescence from InGaAs/InP quantum wires and boxes［J］.Appl.Phys.Lett.，1987，50(413):5977 －5982.

［2］B.Paredes et al.Tonks-Girardeau gas of ultracold atoms in an optical lattice［J］.Nature，2004，429(277):1290 －1295.

［3］O.M.Auslaender et al.Spin-Change Separation and Localization in One Dimension［J］.Science，2005，308(88):9561 －9566.

［4］H.Moritz et al.Confinement Induced Molecules in a 1D Fermi Gas［J］.Phys.Rev.Lett.，2005(94):10401 －10404.

［5］T.Giamarchi，Quantum Physics in One Dimension［M］.(Oxford University Press，2004).

［6］曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)(卷Ⅰ)［M］.4版.北京:科學(xué)出版社，2007.

［7］M.Casula et al.Ground state properties of the one-dimension Coulomb gas using the lattice reguarized diffusion Monte Carlo method［J］.Phys.Rev.B.，2006(74):4542 －4546.

Exact Solution to Two-particle of One-dimensional Electron Gas in Harmonic Trap

ZHU Ling-jun，QI Fei

(College of Physics and Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua 321004，China)

By using the method of separation of variables，this paper discusses two-particle of one-dimensional electron gas in harmonic trap，showing that，with the increase of electron-electron interaction strength，the density profile of two-particle changes from single peak structure to double peak structure step by step，while the energy difference decreases，until to zero.

one-dimensional electron gas;harmonic trap;density profile

TB383

A

1009－3907(2012)04－0429－03

2012-02-13

朱伶俊(1987-)，男，浙江武義人，碩士研究生，主要從事冷原子物理方面的研究;

祁飛(1985-)，男，新疆奎屯人，碩士，主要從事凝聚態(tài)物理的研究。

責(zé)任編輯:程艷艷