自由網平差的近似坐標影響研究

周 蘊

(鄭州市規劃勘測設計研究院，鄭州450052)

1.引言

經典平差中，都是以已知的起算數據為基礎，將控制網固定在已知數據上。如水準網必須至少已知網中某一點的高程，平面網至少要已知一點的坐標、一條邊的邊長和一條邊的方位角。當網中沒有必要的起算數據時，我們稱其為自由網，網中沒有起算數據時的平差方法，即自由網平差［1，2］。

邊角網中，選取的參數往往是待定點的坐標，而觀測值一般為方向值、角度值或邊長，因而觀測值和參數之間建立的關系均是非線性函數［3］。如果不給出近似坐標，觀測方程就無法線性化，誤差方程就無法列出。因此如何選取近似坐標，假定自由坐標在自由網平差中的可靠性是個不容忽視的問題。本文對自由網平差中選用不同近似坐標對平差計算結果的影響進行了詳盡的分析和研究。

2.自由網平差原理

函數模型:

隨機模型:

其中R(A)=t-d，d為秩虧數，在最小二乘原則下，求得法方程為:

式中R(N)=R(A)=t-d。由于N是奇異的，即法方程是相容方程，它可以有無數解。因此，附加一個最小范數條件:

從而得到法方程的唯一解:

(5)式中，N+為N的偽逆，上述平差方法即為秩虧自由網平差。

3.近似坐標的計算

考慮到變形監測的邊角網大多為邊角同測網，在計算近似坐標時可采用極坐標法。極坐標法的基本思路:若存在已知方位角，首先判斷該方位角的起點是否是已知點A，終點是否是所求的待定點P，如果是，搜索邊長AP即可按極坐標公式計算坐標;若沒有已知方位角或其終點不是P，則搜索與P有方向觀測的已知點A，再由A搜索另一個已知點B，且A到B有方向觀測值，于是可求出AP的方位角，再搜索AP的邊長觀測值，由極坐標公式即可計算P點的坐標。坐標計算的流程圖如圖1所示:

4.不同近似坐標得到的平差結果比較

為驗證不同近似坐標對平差結果的影響，本文采用的數據為pad2002邊角網算例(原網形如圖2)并選取如下3個參考系:

1)參考系:原點為1號點，1-3方向方位角為0

2)參考系:原點為1號點，1-4方向方位角為0

3)參考系:1 號點(31250.250，11500.410)，2號點(33256.570，10900.840)

對3個參考系，采用上述計算方法計算近似坐標并進行自由網平差，結果見表1、表2。

4.1 觀測值改正數分析

表1 邊長平差值改正數

由表1，2可知，邊長改正值相差最大為0.06 mm，方向改正值相差最大為0.02s。在誤差允許的范圍內，可以認為改正數是相同的。

4.2 三種不同近似坐標參考系迭代次數

參考系1:5

參考系2:4

參考系3:3

可見采用不同的參考系，需要迭代的次數是不完全相同的，這和坐標近似值的準確程度有關。

表2 方向平差值改正數

4.3 三種不同近似坐標參考系的控制網網圖及誤差橢圓

圖3 控制網網圖及誤差橢圓(參考系1)

從圖3、圖4、圖5三幅不同近似坐標參考系的控制網網圖及誤差橢圓圖可以明顯看出，不論是控制網的網形，還是誤差橢圓的方向和形狀，都僅僅是旋轉。從改正值和誤差橢圓的分析，可以看出控制網選用不同的近似坐標系統進行平差有相同的改正數和相同的網形及誤差橢圓。

5 結束語

本文研究了自由網平差中選用不同參考系的近似坐標，因近似坐標的準確度，對平差迭代次數有一定影響，而平差數據的觀測值的平差值，以及平差后的點位坐標并不影響。表明在變形監測數據的嚴密平差中(迭代次數足夠)，采用不同的近似坐標對平差結果的影響幾乎可以忽略。

［1］朱建軍，賀躍光，曾卓喬.變形測量的理論與方法［M］.長沙：中南大學出版社，2004.

［2］陶本藻.自由網平差與變形分析［M］.武漢：武漢測繪科技大學出版社，2001.

［3］武漢大學測繪學院測量平差學科組.測量平差基礎［M］.武漢：武漢大學出版社，2003.