氣液兩相分層流剪切應力的不確定度分析

劉夷平，王汝金，陳 超，王 經

（1.上海市計量測試技術研究院 熱工與能源計量技術研究所，上海 201203；2.合肥通用機械研究院壓縮機技術國家重點實驗室，合肥 230088；3.上海交通大學 機械與動力工程學院 工程熱物理研究所，上海 200240）

0 引 言

研究水平氣液兩相流流型轉換以及預測持液率和流動壓降，大多采用Taitel－Dukler的經典方法，他們從動量方程出發，通過適當簡化，提出了凸顯兩相流動特征的一維雙流體模型［1］。但是，該模型在不同流型區域預測持液率會出現低估或高估，而且需要額外提供本構關系式來封閉求解方程（其中重要的本構關系包括：流體－壁面相互作用和兩相流體之間的相互作用），這些本構關系大多是基于實驗的經驗公式。雖然求解過程直接而普適，但是由于方程的非線性關系，不方便對本構關系做有效的誤差分析。結果偏差必然導致研究者無法準確預測流型轉變的臨界條件和其他動力學參數。

基于水平氣液兩相分層流的實驗數據，計算了液壁、氣液間剪切應力的不確定度。根據最大不確定度原理，對影響其準確度的因素進行誤差分析。剪切應力是計算各相摩擦因子的前提，從實驗數據分析中提出有關液壁、氣液界面摩擦因子的經驗關系式。

1 求解方法和不確定度表達

1.1 兩相流動量平衡

由于無法直接測量氣液界面的剪切應力，一般的做法是從可測參數通過一維動量平衡方程間接求得。根據分層流理想化模型，如圖1所示，水平圓管內充分發展氣液兩相動量平衡可以用以下兩式表達：

Taitel和Dukler［1］對兩相流體引入摩擦因子fG和fL并采用傳統方式處理流體和壁面以及氣液界面的剪切應力：

圖1 水平管氣液分層流動的參數示意圖Fig.1 Definition of the geometrical parameters for idealized stratified pipe flow

其中χ是Locakhart和Martinelli（1949）引入的無量綱參數［2］，和兩相流率、流體性質和管徑有關。

表1中所有的無量綱幾何參數、兩相無量綱速度u＊G、u＊L都僅和θ（液相界面張角（圖1））有關，而無量綱液層高度h＊L＝0.5（1－cosθ），那么，方程（4）僅包含3個未知量：無量綱液層高度h＊L、代表體積流量的液相表觀速度uSL和氣相表觀速度uSG。無論是流型轉變預測還是求解動力學參數，一旦已知其中之二，都需要通過方程（4）求解第三個未知量。寫成無量綱形式，是為了突出方程中僅有的本構關系：fi／fG。Taitel和Dukler令fi≈fG，他們認為即使對于波狀分層流，使用這一假設所帶來的誤差也不大，從而方便求解。然而，很多文獻都指出這一假設會導致持液率和壓力梯度出現低估。事實上，對于給定的Martinelli數χ，持液率（或液層高度）隨fi／fG比值的增大而減小［3］。多年來，研究者通過大量實驗測量氣壁和氣液剪切應力，再由式（3）求得各摩擦因子的修正關系式［4－5］。根據測量不確定度理論，分析其中主要待測量——剪切應力。

表1 無量綱流動和幾何參數Table1 Non－dimensional parameters

將表1中的無量綱幾何關系代入式（1），可得界面剪切應力為：

由式（5）可知，如果確定τWG，通過測得的軸向壓力梯度和液層高度，得到界面剪切應力τi，進而由式（6）得到液壁剪切應力τWL。

1.2 剪切應力的不確定度分析

在估計導出量的標準不確定度中，需考慮各被測量的不確定分量的相關性，如果將明顯相關的分量做了不相關處理，結果是合成的標準不確定度偏小。為了不失相關性，按照最大不確定度（相關系數為1）分析：

界面剪切應力的不確定度為：

各敏感系數為：

洋蔥的霜霉病主要危害其葉片。在病害發生初期會由外葉開始，并呈現由下向上的發展趨勢，在發病過程中逐漸向內葉蔓延。發病較輕的時候洋蔥會出現蒼白綠長橢圓形或者長條形的病斑，隨著病斑的擴大，葉身將逐漸枯折，在發病較為嚴重的時候甚至會癡線干枯或者腐爛的情況，對于幼苗有很大的危害。

類似地，液壁剪切應力的不確定度為：

各敏感系數為：

本文數據取自Kowalski的實驗［6］，他使用熱膜風速儀測量了氣壁剪切應力和雷諾剪切應力，并使用動量平衡法間接測量了氣液界面剪切應力，該方法和步驟簡述如下：

（1）實驗可測量包括兩相表觀速度uSL和uSG，平均液層高度hL，壓力梯度dP／dx和氣壁剪切應力τWG，共5個；

（2）表1中所有量都可以通過實驗測量值hL得到，特別是液相和氣相的實際速度uL和uG也可求得；

（3）從式（5）和（6）得到τi和τWL，由式（3）計算兩個摩擦因子fi和fL。

至此，獲得剪切應力和摩擦因子的實驗數據，用于不確定度分析。

（1）軸向壓力梯度的不確定度

實驗使用Miraiam U型管壓力計，NIST認為，作為一種操作簡單的標準測量器具，準確度僅僅取決于液柱高，其測量不確定度為最小分度的1／2。該壓力計的分辨率為0.05mm水柱，所以測量不確定度為0.49Pa，兩段取壓口相距2m，所以軸向壓力梯度的測量不確定度為0.25Pa／m。

（2）氣壁剪切應力的不確定度

Kowalski使用熱膜風速儀沿周向從管頂（0°）到氣液界面（130°）附近，每隔30°多次測量氣壁剪切應力，由于液面波動的影響，最大分散性發生在氣液界面處，如圖2所示，其中當處于最小平均氣壁剪切應力τWG＝0.037Pa（uSL＝0.05m／s，uSG＝1.97m／s）時，誤差條范圍±0.025τWG。取0.05τWG作為氣壁剪切應力的不確定度。

圖2 沿管壁周向測得的氣壁剪切應力Fig.2 Gas wall shear stress profile along the circumferential wall（uSL＝0.05m／s，uSG＝1.97m／s，τWG＝0.037Pa）

（3）液層高度的不確定度

Kowalski使用電導探針測量波動液面，做積分平均取得平均液層高度。根據Kordyban的假設［7］，液層類似于正弦波上下波動，如圖3所示，均方根波高hRMSL表達為式（16），可以認為液層在波峰幅度（Peak amplitude）范圍內隨機波動，故無量綱液層高度的不確定度u（h＊L）由式（17）計算。

圖3 液層波動時序示意圖Fig.3 Instantaneous liquid height profile

2 結果和討論

表2分別列出測量數據和結果。

表2 測量數據（左欄）和結果（右欄）Table2 Measurement data（left）and results（right）

氣液界面剪切應力的相對不確定度和各個不確定度分量如圖4（a）所示，τi最小時（0.047Pa）相對不確定度最大，約為22%，隨著氣速增加，界面剪切應力增大，而τi的相對不確定度逐漸減小至9.13%。當兩流體之間相對速度（因而τi）較低時，即便使用高準確度的壓力計，壓力梯度分量仍然是界面剪切應力誤差的主要來源（占61.5%），而隨著氣速增加，其對不確定度的貢獻減弱。值得注意的是，液層高度不確定度隨著τi由小增大，在高τi區域貢獻了最大部分的不確定度，最高占整個不確定度的66%～68%。這表明，液層高度和壓力梯度測量數據是影響氣液界面剪切應力的主要誤差源。而氣壁剪切應力τWG一般占有最少的不確定度份額，很少成為不確定度的最大貢獻者（僅有4點，其所占的份額僅有40%～45%）。Andritsos［8］和Kowalski等人的實驗數據已經說明，使用單向管流的Blasius方程及其平衡水力直徑關系計算的氣壁摩擦因子和實驗結果很吻合，只是在高氣相Reynolds數區域（環狀流，界面波和液滴變形較為顯著的區域），Blasius關系式給出的預測結果出現一些低估。這和分析相符，即以氣壁剪切應力（摩擦因子）作為本構關系的出發點，利用動量平衡關系進行求解不會帶來很大的誤差。

圖4 氣液界面剪切應力和液壁剪切應力的不確定度分布圖Fig.4 The uncertainty distribution of gas－liquid interface and liquid wall shear stresses

液壁剪切應力的不確定度分布（圖4（b））顯現出明顯的差異，最大的不確定度是氣液界面剪切應力貢獻的，盡管液層高度和壓力梯度通過τi間接影響τWL的不確定度，但是液壁剪切應力最終的誤差卻和他們沒有直接關系。如圖5所示，Kowalski給出的液壁摩擦因子和持液率及液相雷諾數關系式fL＝f（εL，ReL），和實驗數據不太吻合，在對數坐標中，數據并沒有呈現出明顯的線性關系，這說明液壁摩擦因子和液相無量綱特征參數之間不是一個類似于Blasius方程的指數型關系。

圖5 液壁摩擦因子fL和持液率－液相雷諾數的關系Fig.5 The function between liquid wall friction factor fLand liquid phase holdup－Reynolds

圖6 液壁摩擦因子隨氣相表觀速度發生的轉捩Fig.6 The function between liquid wall friction factor and gas superficial velocity at the transition of flow regime

對于給定的液相表觀速度，液層高度隨氣速增加而降低，Kowalski關系式描述的液壁摩擦因子隨氣速緩慢上升，事實上，氣液界面從光滑轉變為漣漪波時，液壁摩擦因子出現突增（圖6），這意味著氣液剪切應力增加了液流的湍流耗散，當氣速繼續增加，出現大振幅波，平均液層高度降低，液流的湍流耗散減弱，液壁摩擦因子減少，Kowalski的關系式沒有考慮到氣相速度通過氣液剪切應力對液相部分帶來的影響，因而和實驗數據偏離較大。根據Andritsos和Kowalski等人的分析，氣液界面摩擦因子和平均液層高度、氣相雷諾數、液相雷諾數有關聯，而分析表明液壁剪切應力的不確定度主要是由氣液界面剪切應力所貢獻，那么液相摩擦因子必須結合氣液界面摩擦因子才能和各相流動特征參數建立關聯。通過非線性回歸，得到如下關系式。圖7表明計算結果和實驗數據吻合，偏差在±12%以內。

圖7 式（18）計算的摩擦因子比值和實驗數據的比較Fig.7 Friction factor ratio obtained by Eq.（18）in comparison with the measurement data

3 結 論

氣液分層流中各相剪切應力是兩相流動方程本構關系的直接來源，利用不確定度對各個影響分量作了分析。結果表明：液層高度和壓力梯度的測量是氣液界面剪切應力誤差的主要來源，使用單相管流關系式計算的氣壁剪切應力對最終的結果影響不大，而液壁剪切應力受氣液界面剪切應力的影響較大，并且液壁摩擦因子很難用單相管流的指數型關系式來描述，所以將液壁和氣液摩擦因子結合起來建立一個有效的關聯，結果表明該關系式的計算結果和實驗數據比較吻合。

［1］ TAITEL Y，DUKLER A E.A model for predicting flow regime transitions in horizontal and near horizontal gasliquid flow［J］.AIChE J.，1976，22（1）：47－55.

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［3］ 劉夷平，張華，王淑華.一種改進的方法預測水平氣液兩相流的持液率［J］.工程熱物理學報，2008，29（8）：1131－1134.

［4］ HURLBURT E T，HANRATTY T J.Prediction of the transition from stratified to slug and plug flow for long pipes［J］.Int.J.Multiphase Flow，2002，28（5）：707－729.

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［7］ KORDYBAN E.Interfacial shear in two－phase wavy flow in closed horizontal channels［J］.J.Fluids Engineering，1974，96（2）：97－102.

［8］ ANDRITSOS N.Effects of pipe diameter and liquid viscosity on horizontal stratified flow［D］.Ph.D.thesis.Urbana：University of Illinois，1986.