錐度量空間中一類壓縮映射不動點定理.

胡松林, 姚小杰, 胡長松

(湖北師范學院 數學與統計學院, 湖北 黃石 435002)

0 引言

在非線性分析中Banach 壓縮原理是非常有用的一個結果，在度量空間我們可以如下表示.

定理1 設(X，d) 為一個完備的度量空間，T:X→X是一個壓縮映射，即存在0 ≤r< 1 使得

d(Tx，Ty) ≤ rd(x，y) ?x,y∈X

(1)

則T在X中存在一個唯一的不動點.

定理1在解決非線性方程中有很多的應用， 它的推廣分為直接推廣和局部的推廣.近幾年Tomonari Suzuki[1～3][5～6]推廣了Banach 壓縮原理發現了一類新的壓縮條件下的不動點定理, 另外在[7]中是一些最近的公共不動點定理， 最近Misako Kikkawaa 和Tomonari Suzuki 也證明了下面一個不動點定理.

(2)

設(X,d) 為一個完備的度量空間，T定義在X上的映射滿足下述條件。

假設存在r∈ [0,1) 使得

θ(r)d(x,Tx) ≤d(x,y) ?d(Tx,Ty) ≤rd(x,y)

(3)

對任意的x,y∈X, 則T存在一個唯一個不動點.

在這篇文章中將定理2 推廣到了錐度量空間中，證明了一個新的不動點定理.

1 預備知識

錐度量空間是在參考文獻[4]中引進的，作者描述了錐度量空間中收斂與完備性，并且在錐度量空間中證明了一些壓縮映射的不動點定理.最近在[7～8]中是錐度量空間中的公共不動點定理.下面給出[4]中的一些錐度量空間的定義：

令E為實Banach空間，當且僅當滿足下列條件，E上的子集P稱為錐：

a)P是非空閉集；

b)a,b∈R;a,b≥0,由x,y∈P可以推出ax+by∈P;

c)P∩(-P) = 0.

我們在錐P中定義一個半序，用符號≤表示，x≤y指y-x∈P.x0使得x,y∈E.

0 ≤x≤y等價于‖x‖ ≤K‖y‖

滿足不等式的最小正數稱為錐P的正規常數，顯然K≥1.由[4]知道在Banach空間中非空的正規錐是存在的.關于錐度量空間的定義和數列收斂性詳細見參考文獻[4].

2 主要結論

在證明我們的主要結果時將用到下面的引理.

必有一個成立.

證 反證法，假設

則

‖d(x,Tx)‖ ≤K‖d(x,y)‖ +K‖d(y,Tx)‖<

矛盾.完成引理證明.

以下就是我們的主要結論。

定理3 由(2) 定義一個不增的函數θ.設(X,d) 為完備的錐度量空間，正規錐P的常數為K.T定義在X上的映射,假設存在r∈ [0,1) 使得

θ(r) ‖d(x,Tx)‖ ≤K‖d(x,y)‖

(4)

對任意的x,y∈X, 則T存在唯一不動點.

證 因為θ(r) ≤ 1,θ(r) ‖d(x,Tx)‖ ≤K‖d(x,Tx)‖.因此由假設條件可得對于任意的x∈X有

(5)

任取u∈X.令u0=u,un=Tnu, ?n∈N.則有un+1=Tun.通過(2)式, 我們有

下面我們來證明un是cauchy 列,由三角不等式，當n>m有

d(un,um) ≤d(un,un-1) +d(un-1,un-2) + … +d(um+1,um)

(6)

又因為P是正規的.所以

‖d(un,um)‖ ≤K‖d(un,un-.1) +d(un-1,un-2) + … +d(um+1,um)‖≤

K(‖d(un,un-1)‖ + ‖d(un-1,un-2)‖ + … + ‖d(um+1,um)‖)

由(6) 式

下證

(7)

θ(r) ‖d(un,Tun)‖ ≤ ‖d(un,Tun)‖= ‖d(un,un+1)‖≤

K‖d(un,z)‖ +K‖d(z,un+1)‖≤

‖d(x,z)‖ -K‖d(un,z)‖ ≤K‖d(un,x)‖

則由假設有

‖d(Tun,Tx)‖ ≤

因此對于?x∈X,Tx≠z有

下證z是T的不動點, 我們分以下3 種情況討論:

第一種情況， 有反證法假設Tz≠z, 如果Tz=z, 完成定理證明.

假設Tkz≠z，?k≥ 2.如果Tkz=z, 由‖d(z,Tz)‖ =d(Tkz,Tk+1z) ≤rk‖d(z,Tz)‖矛盾.特別有TTTz≠z,TT≠z.因此有TTTz≠z,TT≠z和Tz=Tz≠z.利用(5)(7) 式, 可得

(8)

θ(r)d(TTz,TTTz) ≤d(TTz,z)

(9)

如果不成立即有K‖d(TTz,z)‖ < ‖d(TTz,TTTz)‖, 利用(5) 式有

‖d(Tz,z)‖ ≤K‖d(Tz,TTz)‖ +K‖d(TTz,z)‖<

K‖d(Tz,TTz)‖ + ‖d(TTz,TTTz)‖≤

所以矛盾.因此(9) 式成立.因此由條件假設有

(10)

利用同樣的方法我們有

(11)

利用(8),(11), 有

‖d(Tz,z)‖≤K‖d(Tz,TTTTz)‖ +K‖d(TTTTz,z)‖≤

即矛盾， 所以Tz=z.

θ(r)d(Tk+1z,Tk+2z) ≤d(Tk+1z,z) ?k∈N

(12)

利用用歸納假設法, 當k=1.如果(12) 式不成立, 由(5)式有

d(z,Tz) ≤d(z,TTz) +d(TTz,Tz)<

θ(r)d(TTz,TTTz) +d(TTz,Tz)≤

(θ(r)r2+r)d(z,Tz) ≤d(z,Tz)

矛盾，所以(12) 成立, 因此(10) 成立.假設k≤L成立, 由條件假設有,

d(Tk+2z,Tz) ≤rd(z,Tz) ?k≤L

下面我們證明k=L+1也成立.如果(12) 式不成立, 由(7) 式有,

‖d(z,Tz)‖ ≤K‖d(z,TTz)‖ +K‖d(TTz,Tz)‖<

θ(r) ‖d(TTz,TTTz)‖ +K‖d(TTz,Tz)‖≤

矛盾，所以(12) 成立, 因為(10)式成立，利用歸納法假設k≤L成立,

證明k=L+1成立，如果不成立由(5)

‖d(z,Tz)‖ ≤K‖d(z,TL+2z)‖ +K‖d(TL+2z,Tz)‖ <

θ(r)d(TL+2z,TL+3z) +Kd(TL+2z,Tz)‖ ≤

(13)

利用(8)(13) 有

d(Tz,z) ≤K‖d(Tz,Tk+1z) ‖+K‖d(Tk+1z,z) ≤

所以

矛盾，所以Tz=z.

‖d(z,Tz)‖ ≤K‖d(z,TTz)‖ +K‖d(TTz,Tz)‖≤r‖d(z,Tz)‖

所以Tz=z.

因此在三種情況下z都是T的不動點.

下面證明不動點是唯一的.假設y是T的不動點.因為θ(r) ‖d(z,Tz)‖=0≤K‖d(z,y)‖由條件假設有

‖d(z,y)‖=‖d(Tz,Ty)‖≤

因此z=y.完成定理證明.

參考文獻:

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[2]Suzuki T.Characterizations of fixed points of nonexpansive mappings[J]． J Math Sci, 2005,1723～1735.

[3]Suzuki T.A new type of fixed point theorem in metric spaces[J]．Nonlinear Analysis,2009,doi:10.1016/j.na.2009.04.017.

[4]Huang L G, Zhang X.Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings[J]． J Math Anal Appl,2007,332 (2) :1468～1476.

[5]Suzuki T.Generalized distance and existence theorems in complete metric spaces[J]． J Math Anal Appl,2001,253:440～458.

[6]Suzuki T.Contractive mappings are Kannan mappings, and Kannan mappings are contractive mappings in some sense[J]．Commentationes Mathematica，Prace Matematyczne, 2005,45(1):45～58.

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[8]Rezapour Sh, Hamlbarani R.Some notes on the paper "Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings"[J]．J Math Anal Appl,2008,345:719～724.