基于浴盆曲線故障率函數的FFOP預計方法

馬紀明， 萬蔚， 曾聲奎

1. 北京航空航天大學 中法工程師學院， 北京 100191 2. 北京航空航天大學 可靠性與系統工程學院， 北京 100191

基于浴盆曲線故障率函數的FFOP預計方法

馬紀明1，*， 萬蔚2， 曾聲奎2

1. 北京航空航天大學 中法工程師學院， 北京 100191 2. 北京航空航天大學 可靠性與系統工程學院， 北京 100191

與傳統可靠性指標中假設產品的隨機失效不可避免不同，無故障工作期(FFOP)內產品不會發生任何故障(即零故障)。首先闡述了FFOP的概念內涵、與平均故障間隔時間(MTBF)的區別和聯系，提出了一種FFOP的預計方法。該方法假設產品的故障率函數具有浴盆曲線特征、故障發生過程為泊松過程、產品具有固定的免維修工作期。然后以一種改進的Weibull分布函數描述具有浴盆曲線函數特征產品的故障率。基于泊松過程理論，給出了FFOP的預計算法、流程和仿真驗證手段。最后以某型無人機舵機為案例對研究方法的可用性進行了驗證。結果表明：FFOP與免維修工作期(MFOP)、置信度水平密切相關，及時維修的產品能夠保證較長的FFOP。在工程應用時，FFOP的確定應綜合考慮運行維護費用進行權衡。

無故障工作期； 免維修工作期； 泊松過程； 浴盆曲線； 可靠性； 舵機

無故障工作期(Failure Free Operating Period, FFOP)定義為產品不會發生任何故障(即零故障)的時間。對于符合設計要求、質量合格的產品，往往都要求其具有一定的無故障工作期，尤其是具有高可靠性/安全性需求的系統，如武器裝備、核能系統、載人航空航天器、高速列車等。作為耐久性度量指標，FFOP的長短與維修費用、保障費用緊密相關。準確預計FFOP，結合合理的維修策略，能夠實現對產品的充分使用，降低運行成本。

FFOP概念最早在美國空軍頒布的軍用規范MIL-A-87244《航空電子設備完整性大綱要求》中提出[1]，其中FFOP作為耐久性參數，對傳統的可靠性參數進行了補充，并指導設計和生產。后來美國又頒布了一系列規范和指南，都對裝備的FFOP指標有了明確的要求[2-3]。

在1996年英國國防部(Ministry of Defence, MOD)提出免維修工作期(Maintenance Free Operating Period, MFOP)的概念以后[4]，FFOP就通常與MFOP結合度量產品的耐久性。MFOP概念比FFOP嚴格，在MFOP內，產品不允許出現任何影響性能和任務的失效事件；而FFOP內不允許故障但允許維修活動，FFOP是一系列免維修工作期的集合[5-6]。文獻[6]分析了英國國防部為新一代戰機提出的MFOP概念，與平均故障間隔時間(Mean Time Between Failures, MTBF)進行了對比，并分別研究了基于任務可靠度和更新理論的MFOP預計方法，英國國防部計劃將MFOP概念應用于英國的超高可靠飛行器(Ultra Reliable Aircraft，URA)和未來攻擊飛行器(Future Offensive Aircraft，FOA)項目。

當前國內外的研究大多集中在對無故障工作期/免維修工作期(F/M-FOP)概念的闡述以及適用場合分析等方面[7-11]，證明了基于F/M-FOP維修策略的有效性。文獻[12]～文獻[14]假設產品故障為有限時間區間內的離散事件，基于統計方法估計了產品存在某固定長度MFOP的概率。文獻[15]以典型機電產品為案例，研究故障事件為齊次泊松過程情況下FFOP的評估方法，并對結果進行了合理性分析。文獻[16]和文獻[17]基于Petri網絡，使用仿真方法分析了固定MFOP系統的可靠度。以上研究集中在MFOP預計方法方面，沒有考慮維修策略對FFOP的影響。然而，為促進基于FFOP維修策略的應用，需要進一步研究FFOP的預計方法與模型。

在很多情況下，產品(系統)的F/M-FOP大多由運行過程中隨機故障事件之間的相對位置(時間、空間距離)決定，相對位置的遠近直接影響產品的FFOP。以圖1所示的時間(空間)區間[0,L]為例，假設系統是一個客戶服務系統，為一個客戶服務的免維修周期為s。如果兩個或者更多的客戶集中在s內出現，如圖1(a)所示，則系統會出現過載(故障)，此系統的FFOP為s的概率就是P{n[t,t+s]≤1}，n[t,t+s]為[t,t+s]區間內的客戶數量。類似的方法也可以用于分析交通處理系統，如圖1(b)所示，如果一個交通意外的恢復周期為s，在這段周期內出現的其他意外則會導致擁堵(故障)；如果把事件區間換作一段鋼結構(見圖1(c))或者電纜(見圖1(d))，也存在一個極限區間s，在這個區間內應力集中點或缺陷次數要低于某一確定數量，否則會出現故障。以上案例中，客戶出現與事故發生時刻、應力集中點及缺陷次數是互相獨立且具有隨機性的事件，但是它們之間的相對位置與產品(系統)的無故障工作期密切相關。

圖1 隨機事件聚集導致系統故障Fig.1 System failures due to clustering of random events

泊松過程是描述隨機事件發生的基本數學模型之一，實際生活或自然世界中的隨機事件，大多可以用泊松過程描述[18]。對于壽命服從指數分布的產品，故障率是一個常數，壽命周期內隨機故障事件可以用齊次泊松過程描述。然而，實踐證明，大多數產品的故障率隨時間變化的曲線是浴盆曲線[19]，故障率是時變函數，故障事件需要用非齊次泊松過程描述。

本文首先闡述FFOP與MFOP之間的區別與聯系，然后提出一種FFOP預計方法，預計故障率函數為浴盆曲線的產品的無故障工作期。該方法作了如下假設：① 故障事件服從泊松過程；② 故障率函數為浴盆曲線；③ FFOP內允許固定周期的計劃維修，產品修復如新；④ 一個MFOP內不允許有任何影響產品正常運行的故障事件，一個維修恢復期(Maintenance Recovery Period，MRP)只能處理一次隨機故障。

在以上假設的基礎上，給出了FFOP的預計方法、模型和預計步驟，并通過某型無人機舵機對所提方法進行了應用驗證。

1 FFOP概念與內涵

在MIL-A-87244中，FFOP被定義為故障概率達到2%的時間。圖2描述了概率密度函數(Probability Density Function, PDF)、MTBF、FFOP這3者之間的區別與聯系。

圖2 壽命分布與FFOPFig.2 Life distribution and FFOP

根據FFOP和MTBF的定義，有

(1)

(2)

式中：f(t)為故障密度函數；R(t)為可靠度函數。

對于大多數產品來說，由于不可避免的隨機失效，圖2所示時間t0通常為0，這樣就導致產品的FFOP很短。然而對于具有高可靠性/安全性需求的系統，又需要具有一定長度的FFOP。這個要求既可以通過設計手段降低產品的故障率實現，對于可修復產品，又可以通過固定周期的維護，使產品始終工作在比較“新”的狀態，進而降低隨機故障事件發生的概率來實現。

對于可修復的產品，FFOP與MFOP密切相關[10]。如果維護頻繁，并且能夠保證修復如新的話，FFOP會比維護不力的設備要長。

建立FFOP預計模型是預計FFOP的關鍵步驟。若要使產品在整個工作周期[0,L]內無故障運行，則要求在每次故障發生前進行維護并恢復到完好狀態。由于一個維修恢復期只能處理一次隨機故障，所以要求維修次數要和隨機故障的次數一致，并且在故障事件實際發生之前就已經得到維修并完全修復，即第i次和第i+1次維修之間的間隔時間si,i+1小于第i次和第i+1次實際故障間隔時間Si,i+1。若在整個壽命周期[0,L]內出現k次故障，設定免維修工作期MFOPi,i+1=si,i+1，那么存在長度為L的FFOP的概率PFFOP(故障發生前都能被完全修復以避免故障實際發生的概率)為[15]

PFFOP=P(s0，1≤S0，1∩s1，2≤S1，2∩…∩·
sk-1,k≤Sk-1,k)

(3)

式中：k為故障次數。

2 FFOP的預計模型

研究對象為故障率函數類似浴盆曲線的產品，并且故障事件具有泊松過程特性。由于壽命分布不是指數分布，故障率隨時間變化，壽命周期內隨機故障事件必須用非齊次泊松過程描述。

2.1 泊松過程

泊松過程具有以下特性：

1) 令N(t)為(0,t]中隨機事件出現的次數，則有

(4)

式中：λ為故障率/故障強度函數。

2) 隨機事件之間的間隔時間T互相獨立并且服從指數分布特征，即

P(T>t)=e-λ t

(5)

假設隨機事件是故障事件，在t時刻，隨機故障事件導致的系統不可靠度為

F(t)=P(T

(6)

2.2 浴盆曲線的故障率函數

已有的研究成果表明，基于浴盆曲線的故障密度函數有如下形式[20]：

f(t)=γβ(t/α)β-1exp((t/α)β+
γα(1-exp((t/α)β)))

(7)

對應的可靠度函數為

R(t)=exp(γα(1-exp((t/α)β)))

(8)

故障率函數為

λ(t)=γβ(t/α)β-1exp((t/α)β)

(9)

式中：α、β、γ均為分布函數中的參數。繪制故障率函數曲線，如圖3所示。

圖3 故障率函數曲線Fig.3 Plot of failure rate function

從圖3可以看出，產品的故障率明顯呈浴盆曲線特性，可以描述分布特征為浴盆曲線的產品故障率。

2.3 FFOP的預計步驟

研究具有浴盆曲線故障率函數的產品，與指數分布不同，其故障率為非常值，且導致故障發生為非齊次泊松過程，對比文獻[15]中PFFOP的計算公式，可以得到

(10)

式中：r為允許的維護次數。在進行FFOP預計之前，需要根據式(7)～式(9)確定產品的λ(t)。

FFOP的預計步驟如圖4所示。

圖4 FFOP預計步驟Fig.4 Prediction steps of FFOP

按照圖4所示的流程，對維護次數遞增，得到滿足式(11)的最大維護次數r。

(11)

FFOP的估計區間為

FFOP?[rs,(r+1)s]

(12)

對于大多數工程應用，式(12)所描述的FFOP區間已經足夠。更精確的預計結果可以通過在區間內多點取值，由式(11)反復校驗的方式獲取。

3 案 例

案例研究以某無人機舵機為對象。舵機是無人機飛行操縱系統的關鍵設備，其發生故障會導致飛行任務中斷，是影響無人機FFOP的關鍵設備。基于壽命試驗數據，對其進行FFOP評定，可以幫助實現無人機的壽命評估，為制定維修策略提供依據。表1為15臺樣本的壽命試驗結果，表中：ti為故障前時間(Time to Failure, TTF)；F(ti)為累計分布函數(Cumulative Distribution Function, CDF)。

表1 舵機失效壽命數據(N=15)Table 1 Failure life data of actuators (N=15)

根據同類產品的歷史數據，得知其故障率服從浴盆曲線特征。用式(7)描述該無人機舵機的故障分布函數。

采用極大似然法估計分布參數[20]，構造的似然函數為

(13)

式中，：n為舵機個數(全壽命試驗)，0

由于故障產品的樣本較少，采用近似中位秩公式計算其CDF[21]。通過求解式(14)～式(16)，得到分布函數中的參數α、β、γ。

(14)

(15)

(16)

把表1的數據代入式(14)～式(16)，利用數值分析工具，解得α=110,β=0.62,γ=1.34,代入式(8)和式(9)，可得：

(17)

(18)

根據式(2)對MTBF的定義，利用數值解法得到該無人機舵機的MTBF為406 h。

考慮無人機舵機的工作要求，設定MFOP為25 h，根據圖4所示FFOP的計算流程，將式(17)代入到式(11)，得到不同維護次數對應的PFFOP和FFOP，具體參數見表2。

表2不同置信度對應的FFOPs(MFOP=25h)

Table2FFOPsunderdifferentconfidencelevels(MFOP=25h)

rPFFOPFFOP/h109646258209640283309437308409233333509016358608779

對于不同的MFOP，同樣要求置信度為90%，可以得到該舵機允許的最大維護次數和FFOP如表3所示。

表3 FFOP、MFOP和最大維護次數Table 3 FFOP, MFOP and maximum maintenance times

由表3可知，若每隔30 h維修一次，則在3次維修內仍能保證無故障工作的概率為90%；若每隔40 h維修一次，則只能在兩次維修內保證無故障工作的概率為90%；若維修間隔增大到50 h，則舵機在維修之前無故障工作的概率就已經降低到90%以下。這是因為舵機的故障率隨著時間增大而增大，導致其可維護次數急劇減少，無故障工作周期隨之減小。并且，當MFOP增大到一定期限后，舵機就不再有無故障工作周期。

只有維修間隔縮短到10 h，舵機的FFOP才能夠達到MTBF的水平(406 h)。但隨著MFOP的增大，維護(容許故障)次數逐漸減少，同時FFOP與MTBF的差異也逐漸明顯。

4 結 論

基于浴盆曲線故障率函數的FFOP預計方法，能夠預計失效過程為泊松過程，并且故障率函數服從浴盆曲線特征情況下的產品無故障工作期。將FFOP作為設備耐久性參數之一，可以為產品的壽命評估和維護策略制定提供依據。

2) 縮短MFOP是延長FFOP的重要途徑。然而維護頻率的提高通常導致產品的運行維護費用增加，在工程應用中，應綜合考慮維護費用進行權衡，合理確定MFOP和FFOP。

通過某無人機舵機的應用，驗證了所提方法的可行性，可推廣應用到對可靠性要求較高的產品的FFOP預計過程中。但是提出的FFOP預計方法仍然是基于概率和統計理論的，要求研究對象具有某種固定壽命分布，故障事件服從泊松過程的特征。對于故障率函數未知、故障事件統計特征不確定的場合，本文提出的方法并不可行。需要在深入研究產品的失效機理，掌握其失效的動態演化過程前提下進行FFOP的預計。

[1] MIL-A-87244A Avionic/electronic integrity program requirements(AVIP). USAF, 1986: 10-18.

[2] MIL-HDBK-87244 Avionic/electronic integrity. USAF, 1995: 6-55.

[3] DOD. Guide for achieving reliability, availability, and maintainability. Washington: USA DOD, 2005: 31-35.

[4] Hockley C J. Appleton D P. Setting the requirements for the Royal Air Force’s next generation aircraft. Proceedings of Annual Reliability and Maintainability Symposium, 1997: 44-48.

[5] Brown M A, Hockley C J. Cost of specifying maintenance/failure free operating periods for Royal Air Force aircraft. Proceedings of Annual Reliability and Maintainability Symposium, 2001: 425-432.

[6] Kumar U D, Knezevic J, Crocker J. Maintenance free operating period: an alternative measure to MTBF and failure rate for specifying reliability. Reliability Engineering and System Safety, 1999, 64(1): 127-131.

[7] Todinov M T. Reliability and risk models: setting reliability requirements. England: John Wiley & Sons, 2005: 69-237.

[8] Cini P F, Griffith P. Designing for MFOP: towards the autonomous aircraft. Journal of Quality in Maintenance Engineering, 1999, 5(4): 295-306.

[9] Dietl C, Rakowsky U K. An operating strategy for high-availability multi-station transfer lines. International Journal of Automation and Computing, 2006, 3(2): 125-130.

[10] Sun J, Yu J F. Research on concept and application of airplane MFOP. Aviation Maintenance and Engineering, 2010(2): 33-36. (in Chinese)

孫蛟, 虞健飛. 飛機MFOP概念與應用研究. 航空維修與工程, 2010(2): 33-36.

[11] Jiang L, Wei A J. A method for maintenance scheduling in manufacturing systems based on TPM and MFOP. Applied Mechanics and Materials, 2011, 44(47): 404-408.

[12] Warrington L, Jeffery A, Davis J N. The use of a discrete event simulation to model the achievement of maintenance free operating time for aerospace systems. Proceedings of Annual Reliability and Maintainability Symposium, 2001: 170-175.

[13] Warrington L, Jeffery A, Davis J N. Modeling of maintenance, within discrete event simulation. Proceedings of Annual Reliability and Maintainability Symposium, 2002: 260-265.

[14] Todinov M T. Reliability governed by the relative locations of random variables following a homogeneous Poisson process in a finite domain. IEEE Transactions on Reliability, 2004, 53(2): 226-237.

[15] Ma J M,Wu W W. Research on FFOP prediction approach of a pulsegenerator based on homogeneous Poisson process. Proceedings of International Conference on Reliability, Maintainability and Safety, 2011: 334-338.

[16] Chew S P, Dunnett S J, Andrews J D. Phased mission modeling of system with maintenance-free operating periods using simulated Petri nets. Reliability Engineering and System Safety, 2008, 93(7): 980-994.

[17] Chew S P. System reliability modeling for phased with maintenance free operating periods. Lough borough: Lough-borough University, 2010.

[18] Athanasios P, Unnikrishna P S. Probability, random variables and stochastic processes. Bao Z, Feng D Z, Shui L P, translated. Xi’an: Xi’an Jiaotong University Press, 2004: 364-372. (in Chinese)

Athanasios P, Unnikrishna P S. 概率、隨機變量與隨機過程. 保錚, 馮大政, 水鵬朗, 譯. 西安: 西安交通大學出版社, 2004: 364-372.

[19] Zeng S K. Reliability design and analysis. Beijing: National Defense Industrial Press, 2011: 14-30. (in Chinese)

曾聲奎. 可靠性設計與分析. 北京: 國防工業出版社, 2011: 14-30.

[20] Xie M, Tang Y, Goh T N. A modified Weibull extension with bathtub shaped failure rate function. Reliability Engineering and System Safety, 2002, 76(3): 279-285.

[21] He G F, Xu H B. Collection and analysis of reliability data. Beijing: National Defense Industrial Press, 1995: 25-44. (in Chinese)

賀國芳, 許海寶. 可靠性數據的收集與分析. 北京:國防工業出版社, 1995: 25-44.

FFOPPredictionMethodBasedonBathtub-shapedFailureRateFunction

MAJiming1, *,WANWei2,ZENGShengkui2

1.Sino-FrenchEngineerSchool,BeihangUniversity,Beijing100191,China2.SchoolofReliabilityandSystemsEngineering,BeihangUniversity,Beijing100191,China

Failurefreeoperatingperiod(FFOP)isdefinedasaperiodduringwhichnofailuresresultinginalossofsystemfunctionalityoccur.First,theconceptofFFOPandthedifferencebetweenFFOPandmeantimebetweenfailures(MTBF)areintroduced.Threehypothesesareheldasthepreconditionsofthepresentedmethodology.First,thefaulteventisaPossionprocess.Second,thefailureratefunctionisshapedlikeabathtubcurve.Third,constantintervalscheduledmaintenanceispermittedduringwhichtheproductmustmaintaintrouble-freefunction.AmodifiedWeibulldistributionfunctionisusedtomodelthebathtub-shapedfailureratefunction.Furthermore,basedontheprobabilityandstochasticprocessestheory,FFOPpredictionalgorithmandprocedurearedeveloped,whoseaccuracyisverifiedthroughsimulation.Finally,anactuatorisselectedasthesamplecasetovalidatethefeasibilityoftheproposedmethod.TheresultshowstheFFOPiscorrelatedwithmaintenancefreeoperatingperiod(MFOP)andthepredefinedconfidencecoefficient.ShorterMFOPwilldeliverbothhighermaintenanceandoperatingcostsandlongerFFOP.Inengineeringpractice,atradeoffbetweenFFOPandmaintenanceandoperationcostshouldbeconsidered.

failurefreeoperatingperiod;maintenancefreeoperatingperiod;Possionprocess;bathtubcurve;reliability;actuators

2011-11-30；Revised2012-02-21；Accepted2012-03-08；Publishedonline2012-03-201100

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20120320.1100.005.html

NationalDefencePre-researchFoundation(9140A19021010HK0101)

.Tel.：010-82339761E-mailjiming.ma@buaa.edu.cn

2011-11-30;退修日期2012-02-21;錄用日期2012-03-08; < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2012-03-201100

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20120320.1100.005.html

國防預研基金(9140A19021010HK0101)

.Tel.：010-82339761E-mailjiming.ma@buaa.edu.cn

MaJM,WanW,ZengSK.FFOPpredictionmethodbasedonbathtub-shapedfailureratefunction.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2012,33(9):1664-1670. 馬紀明， 萬蔚， 曾聲奎．基于浴盆曲線故障率函數的FFOP預計方法. 航空學報,2012,33(9):1664-1670.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

1000-6893(2012)09-1664-07

V37； TB114.3

A

馬紀明男，博士，講師。主要研究方向：機電系統的可靠性設計分析，控制系統診斷，工業科學與技術。

Tel: 010-82339761

E-mail: jiming.ma@buaa.edu.cn

萬蔚男，碩士研究生。主要研究方向：機電系統的可靠性設計與故障診斷。

Tel:010-82338403

E-mail: wanwei817@163.com

曾聲奎男，博士，教授，博士生導師。主要研究方向：系統科學與工程，復雜系統的可靠性設計分析。

Tel: 010-82314731

E-mail: zengshengkui@buaa.edu.cn