非恒定溫度場合彈上性能退化型部件貯存可靠性評估

劉震宇， 馬小兵， 趙宇

北京航空航天大學 可靠性與系統工程學院， 北京 100191

非恒定溫度場合彈上性能退化型部件貯存可靠性評估

劉震宇， 馬小兵*， 趙宇

北京航空航天大學 可靠性與系統工程學院， 北京 100191

導彈在貯存期內要反復經歷運輸、存放、檢測、維修和戰備值班等過程，其環境溫度并不恒定，而是在一定范圍內發生動態變化。對性能參數有變化趨勢的彈上部件而言，有必要考慮環境溫度變化對其可靠性的影響，因此提出一種非恒定溫度剖面下的貯存可靠性評估方法。首先，分析產品實際性能退化的特點，選擇帶有非線性漂移項的Wiener過程描述產品的退化性能，推導出試驗環境下產品的壽命分布。然后，采用Gamma分布擬合貯存期間的彈內溫度分布。進而利用比例風險模型描述溫度變化對產品可靠性的影響，推導彈上性能退化型部件在非恒定溫度剖面下的無條件壽命分布，并給出模型參數的極大似然估計。算例表明本方法實際可行。

退化建模； Wiener過程； Gamma分布； 比例風險模型； 可靠性； 導彈

經過十多年的反復論證，國內對導彈貯存的認識從庫房貯存，逐漸發展到包括運輸、裝卸、洞庫貯存、檢修和戰備值班等一系列中間過程的廣義貯存。導彈從生產到作戰使用，絕大部分時間處于貯存狀態。雖然導彈貯存狀態的故障率和工作狀態相比較低，但由于貯存時間較長，貯存對導彈可靠性的影響仍不容忽視。

彈上產品一般分為5類[1]，其中一類是性能參數有變化趨勢的部件，比如橡膠類產品、含能類產品及彈上電池等。經過長時間的貯存后，這類產品的一個或多個性能參數通常會退化，當退化量超過設計規定的閾值時認為發生故障。如果能夠找到累積退化量和產品故障時間之間的定量關系，就可建立模型來預計產品的可靠性[2]。性能退化試驗通常嚴格控制試驗環境于某一水平，在假設產品正常使用過程中環境恒定不變的前提下，預測產品的可靠性。這種方法預測出的可靠性和產品外場可靠性之間有時會出現較大偏差。這種現象已經存在幾十年了，但是一直沒有得到解決，工程上仍然以試驗預測出的可靠性結果作為參考。文獻[3]～文獻[6]提出了一種解決思路，通過引入產品使用率作為輔助信息，并針對特定產品進行分析，修正了可靠性預測結果。導彈絕大部分時間處于非工作狀態，對其影響最大的是環境剖面。運輸、戰備值班使導彈暴露在室外環境，在此期間，環境溫度、濕度、振動、沖擊、霉菌等都在不同程度上影響導彈的性能[7]。對于貯存在不同地域的導彈，其戰備值班期間所經歷的環境剖面不一樣，進而導致其貯存可靠性存在差異。實驗室很難完全模擬貯存在不同地域的導彈所經歷的環境剖面，根據試驗數據得到的彈上產品可靠性僅僅反映了產品在該試驗環境下的可靠性量值，而不是貯存環境下的真實可靠性水平。只有將試驗信息和環境剖面信息相結合，才有可能準確預測導彈在非恒定貯存剖面下的可靠性。因此，在貯存可靠性評估的過程中，有必要考慮環境變化對導彈的影響。

文獻[8]指出，溫度是影響導彈某些關鍵部件貯存可靠性的最主要因素。隨著溫度的升高，復合固體推進劑熱降解加快，致使推進劑變硬、破裂[9]。溫度波動還會引起相對濕度的變化，進而產生溫濕度協同效應，影響金屬部件腐蝕速率。當金屬表面有銹層存在時，這種效應更加明顯。對導彈中的非金屬部件來說，溫度升高加速了材料的老化，導致結構可靠性降低，從而縮短了導彈的貯存壽命[10-11]。

本文主要考慮溫度對貯存可靠性的影響，將性能退化試驗數據和貯存期間的彈內溫度變化信息相結合，建立導彈在全壽命周期內的貯存可靠性模型，進而預測導彈在非恒定溫度剖面下的貯存可靠性。

1 基于非線性漂移Wiener過程的性能退化模型

圖1記錄了某彈上部件關鍵性能參數隨時間的相對變化量，在監測過程中發現：①5個樣品的性能退化曲線之間有一定距離，不完全重疊；②退化曲線不平滑；③退化曲線呈冪函數形狀；④退化量不嚴格單調遞增。

圖1 某類彈上部件性能退化曲線Fig.1 Performance degradation curves of missile component

圖中各個樣品的退化曲線不重合，并且粗糙不平，說明產品在退化過程中存在不確定性，這種不確定性可能是測量誤差造成的，也可能是產品自身的性質。因此，產品退化過程可看做是一個隨機過程。

Wiener過程是一種常用隨機過程，尤其適合于描述具有非單調特性的數據，被廣泛應用于性能退化建模。產品退化失效不同于突發失效，其退化過程是一個逐漸發展、累積損傷的過程。經過分析，該彈上部件的性能參數退化量可以看成非線性趨勢項和隨機波動項兩部分的疊加。Nikulin等[12]在Wiener過程的基礎上加上一個線性漂移項，用來描述具有線性趨勢的退化過程。Whitmore和Schenkelberg[13]針對具有非線性退化趨勢的產品，對Wiener過程進行時間尺度變換，以適應退化軌跡為非線性曲線的場合。但是該方法在進行時間尺度變換的同時，也改變了Wiener過程的方差(Wiener過程的方差是關于時間的函數)，因此違背了Wiener過程的機理。本文考慮在Wiener過程的基礎上增加非線性漂移項，在不改變時間尺度的前提下分析該彈上部件性能參數的退化過程。

1.1 退化增量建模

產品在時刻t的性能退化量可表示為

Y(t)=y0+σB(t)+μm(t)

(1)

式中：y0為產品在初始時刻(t=0)的性能參數值；μ為漂移系數；σ為擴散系數(σ>0)；m(t)為一維可導的確定非線性函數；B(t)為標準Wiener過程。

假設觀測到n個產品的退化軌跡為Yi(t)(i=1,2,…,n)，以及第i個產品在tij(i=1,2,…,n;j=1,2,…,mi，mi為樣本i的檢測次數)時刻的測量值為Yi(tij)。對于任意0≤s

Y(t)-Y(s)=σB(t-s)+μ(m(t)-m(s))

(2)

記Yij=Yi(tij)為第i個產品在tij處的測量值；Δtij=tij-ti,j-1為兩次檢測點的時間間隔；Δm(tij)=m(tij)-m(ti,j-1)為兩次檢測間的函數差值；Δyij=yij-yi,j-1為退化增量。則式(2)可簡寫為

Yij-Yi,j-1=σB(Δtij)+μΔm(tij)

(3)

Wiener過程具有獨立增量性，屬于正態過程。它在任意非重疊時間間隔Δt上變化的概率分布相互獨立。其在Δtij時間內的退化增量Yij-Yi,j-1～N(μΔm(tij)),σ2Δtij)，概率密度函數(PDF)為

(4)

式中：φ(·)為標準正態分布的概率密度函數。

1.2 非線性漂移Wiener過程的首達時分布

當產品的性能參數退化到設計規定閾值時，認為產品失效。產品壽命等價于產品性能退化量首次越過閾值的時間(首達時)。因此，Wiener過程的首達時分布就是產品的壽命分布。給定閾值c，當帶有漂移項的Wiener過程Y(t)首次越過閾值c時，產品失效。產品壽命定義為

Tc=inf{t:Y(t)>c}

定理當z>0時，非線性漂移Wiener過程首達時的概率密度函數為

(5)

式中：z=c-y0。

由可靠度函數和概率密度函數的關系可知

(6)

2 非恒定溫度剖面下的貯存可靠性模型

2.1 貯存期間的彈內溫度變化情況

洞庫內基本處于恒溫恒濕的狀態，彈內溫度波動范圍不大，且呈對稱狀，如圖2(a)所示。但導彈貯存不局限于洞庫貯存，而是包括了一系列中間過程。有時導彈會暴露在洞庫外進行戰備值班，洞庫外的環境和地域有關。如果把這些因素都考慮進去，貯存期間的彈內溫度分布就不再完全對稱。對于部署在東北的導彈，洞庫外溫度可能

圖2 不同地域的彈內溫度分布Fig.2 Temperature distribution inside the missile at different regions

低于-20 ℃，這時候圖2(a)中代表低溫的曲線左側要繼續向左延伸，變成類似圖2(b)所示的左偏曲線。對于部署在西南的導彈，室外溫度可能高于40 ℃，考慮到密封箱的散熱問題，彈內溫度會比室溫更高，能達到70 ℃，這時候圖2(a)所示曲線的右側高溫部分更多一些，變成類似圖2(c)所示的右偏曲線。

三參數Gamma分布具有單峰且右偏的性質[16]，很適合描述圖2(c)中的右偏溫度分布。對溫度變量取負數，進行平移變換后也可以描述圖2(b)所示的左偏溫度分布。因此，本文使用三參數Gamma分布來描述貯存期間的彈內溫度分布。記溫度為x，其概率密度函數為

(7)

式中：λ、η、b分別為形狀參數、尺度參數和位置參數。

2.2 貯存可靠性建模

在不同溫度下，彈上部件的可靠性不一樣。可利用比例風險模型來刻畫溫度對產品可靠性的影響。

設試驗溫度xc為基準溫度。由Cox模型[17]可知，在任意溫度x下，產品失效率為

λ(t|x)=λc(t)eβ (x-xc)

(8)

式中：λc(t)為基準失效率函數；β為相關參數。

考慮到貯存環境的影響，對式(5)中的fc(t)進行修正，得到關于溫度的條件概率密度函數為

(9)

式中：對x積分得到貯存壽命的無條件概率密度函數為

(10)

(11)

3 模型的參數估計

3.1 Wiener過程參數求解

根據式(4)得到極大似然函數為

(12)

其對數似然函數為

(13)

(14)

(15)

3.2 溫度分布參數求解

將貯存期間收集到的溫度數據代入式(16)中的極大似然函數，得

(16)

4 數值算例

選取5個同類彈上部件進行了約400 h的性能退化試驗，產品初始退化量y0=0，試驗溫度xc=25 ℃。圖1記錄了某關鍵性能參數隨時間的相對變化量。設計規定變化量達到0.1 h產品失效，即閾值c=0.1。假設貯存期間彈內溫度分布有兩種情形，分別記為情形1(Scenario 1)和情形2(Scenario 2)。這兩種情形下的分布參數分別為(η1=6,λ1=0.2,b1=0)和(η2=6,λ2=0.3,b2=0)，兩種情形下的概率密度曲線如圖3所示。通過仿真方法分別得到兩種情形下的溫度數據，現對該彈上產品的貯存可靠性進行評估。

圖3 貯存期間彈內溫度的概率密度函數Fig.3 PDF for temperature inside the missile during storage

1) 求解退化增量分布參數

2) 求解溫度分布參數

將兩種情形下的仿真數據分別代入式(16)進行處理，求解得到Gamma分布參數的極大似然估計，結果見表1。

3) 結果分析

表1 MLE仿真結果Table 1 MLE simulation result

圖4 概率密度曲線Fig.4 Probability density curves

從圖4中可以看出3條曲線形狀差別不大，恒定溫度時失效概率密度曲線的峰值處于中間位置，情形1中的曲線峰值略高于恒定溫度時的峰值，情形2中的曲線峰值略低于恒定溫度時的峰值。和圖3中的溫度分布曲線進行對比分析可以看出，雖然圖3里情形1中的溫度在25 ℃上下波動，但是曲線右側的高溫部分過多，導致失效概率略大于恒定25 ℃時的失效概率。情形2下的溫度大部分低于25 ℃，因而降低了失效概率。

情形1中的可靠度曲線位于恒定溫度情況下的可靠度曲線下方，情形2中的可靠度曲線位于恒定溫度情況下的可靠度曲線上方。產生這種現象的原因和前文類似，在此不再贅述。

圖5 可靠度曲線Fig.5 Reliability curves

5 結 論

彈上部件在非恒定溫度剖面下的可靠性水平和恒定溫度場合的可靠性水平之間有明顯區別。傳統方法僅僅分析試驗數據，忽略了導彈服役期間的動態溫度剖面信息，得到的可靠度僅僅反映了彈上部件在恒定溫度下的可靠性，并不能代表彈上部件在貯存期內的可靠性水平。論文通過引入溫度剖面信息，對結果進行了修正。

在計算過程中發現，即使溫度分布參數變動很小，產品可靠度曲線仍會發生明顯變化。因此需仔細統計貯存期間的溫度變化數據，以真實地反映溫度變化對彈上部件可靠性的影響。

對于高可靠、長壽命的彈上部件而言，其關鍵性能參數可能在短時間內變化不明顯，這會嚴重影響隨后的統計推斷，導致評估結果不夠準確。對于這類彈上部件，可采用加速退化試驗方法，通過提高產品承受的環境應力水平，加快產品的退化速率。

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StorageReliabilityAssessmentforMissileComponentwithDegradationFailureModeinaTemperatureVaryingEnvironment

LIUZhenyu,MAXiaobing*,ZHAOYu

SchoolofReliabilityandSystemsEngineering,BeihangUniversity,Beijing100191,China

Amissilewillexperiencetransportation,storage,detection,maintenanceandreadinessrepeatedlyinitsstorageperiod,duringwhichtheenvironmentaltemperatureisnotconstant,butdynamicallychangingwithinacertainrange.Forsomemissilecomponentswithperformancechange,itisnecessarytoconsidertheinfluenceofvaryingenvironmentonitsstoragereliability.Therefore,thispaperpresentsastoragereliabilityassessmentmethodforastorageenvironmentwheretemperatureisvarying.Firstly,byanalyzingthecharacteristicsofmissilecomponents,thedegradationprocessismodeledasaWienerprocesswithnonlineardrift.Basedonthemodel,thelifedistributionundertestenvironmentisproposed.Then,Gammadistributionischosentofitthetemperaturedistribution.Onthisbasis,aproportionalhazardsmodelisusedtodescribetheimpactofvaryingtemperaturesontheproductstoragereliability,thusderivingtheunconditionalprobabilitydensityfunctionofitsstoragelife.Finally,modelparametersareassessedusingthemaximumlikelihoodmethod.Anexampleisgiventoillustratetheeffectivenessofthemethod.

degradationmodeling;Wienerprocess;Gammadistribution;proportionalhazardsmodel;reliability;missiles

2011-12-15；Revised2012-02-08；Accepted2012-02-13；Publishedonline2012-08-211407

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20120821.1407.011.html

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(61104133,11001005)

.Tel.：010-82339103E-mailmaxiaobing@buaa.edu.cn

2011-12-15;退修日期2012-02-08;錄用日期2012-02-13; < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2012-08-211407

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20120821.1407.011.html

國家自然科學基金(61104133,11001005)

.Tel.：010-82339103E-mailmaxiaobing@buaa.edu.cn

LiuZY,MaXB,ZhaoY.Storagereliabilityassessmentformissilecomponentwithdegradationfailuremodeinatemperaturevaryingenvironment.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2012,33(9):1671-1678. 劉震宇，馬小兵，趙宇．非恒定溫度場彈上性能退化型部件貯存可靠性評估方法．航空學報,2012,33(9):1671-1678.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

1000-6893(2012)09-1671-08

V416.5； TB114.3

A

劉震宇男， 博士研究生。主要研究方向： 可靠性統計。

Tel: 010-82316074-90

E-mail: lzy@dse.buaa.edu.cn

馬小兵男， 博士， 副教授。主要研究方向： 可靠性驗證與綜合評估。

Tel: 010-82339103

E-mail: maxiaobing@buaa.edu.cn

趙宇男， 博士， 教授， 博士生導師。主要研究方向： 可靠性評估、 可靠性信息管理與數據處理。

Tel: 010-82316436

E-mail: zhaoyu@buaa.edu.cn

附錄A:

P{Tc≤t}=P{Mt≥c}

(A1)

而

P{Mt≥c}=P{Mt≥c,Yt≥c}+
P{Mt≥c,Yt

(A2)

根據文獻[18]中的引理3可知：

(A3)

所以，非線性漂移Wiener過程的首達時分布函數為

(A4)

(A5)