直齒變位齒輪的參數化設計及優化

余志永，鄭清春，郭津津，李紀峰

(天津理工大學，復雜系統控制理論及應用重點實驗室，天津市 300384)

0 前言

Pro/ENGINEER(Pro/E)是由美國PTC公司開發的三維CAD/CAM/CAE系列參數化軟件，主要用于產品外觀設計、結構設計、仿真、模具設計、分析優化、NC加工等產品研發領域。

齒輪在機械行業中有廣泛的應用，但在Pro/E軟件中卻不能直接生成，需進行復雜的建模過程。同時，齒輪建模過程中，模數、齒數不同，其齒根圓與基圓的大小關系將發生變化，則相關的建模過程也略有不同。本文基于齒輪漸開線的生成原理，應用Pro/E中的Program程序，研制出同步變位直齒圓柱齒輪實體造型的自動化設計程序。程序可根據中心距、模數、齒數等參數計算出變位系數，并可進行建模過程的判斷選擇，建立齒輪的三維模型。同時，論文應用Pro/M對齒輪進行了有限元分析及優化設計。

1 基于Pro/Program的變位齒輪的建模技術

Pro/Program是一個記錄文件，記錄著模型的成型步驟等信息，其大部分內容是由Pro/E程序自動產生的，即每建立一個特征，Pro/E就會產生該特征的程序代碼，用戶則可以根據設計意圖對其進行編輯。Pro/E中Program的內容都有相同的格式，大致可分為五個部分。

(1)標題;

(2) 輸入．．．結束輸入 (INPUT．．．END INPUT);

(3)關系式．．．結束關系式 (RELATION．．．END RELATION);

(4) 添加特征．．．結束添加 (ADD FEATURE．．．END ADD);

(5)質量程序．．．結束質量程序 (MASSPROP．．．END MASSPROP) 。

其中 (1)和 (4)部分是由Pro/E自動產生，其余部分由用戶自行輸入。通過對Program的編輯，可以實現Pro/E自動控制特征的創建，生成不同的模型。

1.1 齒輪的參數化建模背景

變位齒輪的齒廓形狀與齒輪齒數、模數、變位系數和壓力角有關。根據齒輪的基圓與齒根圓的關系，齒輪的齒廓結構有兩種，如圖1a所示的基圓大于齒根圓的情況以及如圖1b所示的基圓小于齒根圓的情況。

圖1 變位齒輪齒廓的兩種情況Fig.1 Two phenomena of teeth outlines of modified gear

為了能使pro/E中建立的變位齒輪的參數化模型同時滿足上述兩種情況，本文在program中添加關系以計算齒輪的齒根圓、基圓等參數的大小，并根據齒根圓和基圓的大小判斷并選擇不同的建模程序，生成符合參數要求的齒輪模型。建立的模型可實現在后面的Pro/M分析中，能對其施加載荷進行分析。表1為建模時各參數的初始值。

表1 齒輪各參數初始值Tab.1 Initial valuesof each parameter of gear

1.2 參數化建模的步驟

(1)在Pro/E中，建立出Df＞Db的齒廓模型 (A=305 mmZ=30個，M=10 mm。先創建基圓與齒頂圓之間的部分再創建齒根圓與基圓之間的部分);

(2)編輯系統生成的Program程序，添加相關的程序語句。包括:添加輸入模塊和關系模塊并且在程序中添加if……end if語句。根據關系語句計算出來的Df和Db的值來判斷是否執行齒根圓和基圓之間部分齒形所生成的特征。如果Df＜Db則生成齒根圓和基圓之間部分齒形，否則不生成。

1.3 齒輪參數化建模結果

圖2a和圖2b分別為齒根圓小于和大于基圓的情況，其齒形分別與圖1的兩種情況吻合。說明在本模型中齒廓能根據情況顯示，對齒輪分析優化提供了強大的支持。

圖2 兩種情況的齒輪模型Fig.2 Gear models under two conditions

2 基于Pro/Mechanica的齒輪分析及優化

很多大型有限元分析軟件的建模功能都比較弱，主要是創建一些簡單的三維模型;對于復雜的零件或組件的分析，通常是先在CAD軟件中建模，再用軟件接口或者是將工作圖形通過IGES或者STEP等格式導入分析軟件。這樣導致CAE工程師要花很多的時間和精力來對這些模型進行簡化和修補，降低了工作效率?；赑ro/E基礎上的有限元分析軟件Pro/Mechanica(Pro/M)，實現了與Pro/E的無縫連接，將幾何建模和有限元的分析集成在一起。

本文分析中的材料、邊界條件及優化目標和變量是根據項目的要求進行設置。當模數為10 mm時，在最大應力小于170 MPa以及最大應變小于0.03 mm的情況下要求總質量最小。

2.1 創建材料、約束、載荷

在Pro/E中切換到Pro/M模塊:

(1)設置材料為steel(參數修改部分略);

(2)設置約束。本文中設置軸孔面完全約束

(3)設置載荷。齒輪分析時，其載荷為線載荷，添加載荷的直線為齒廓面與齒頂圓面的交線。載荷方向線為在齒輪寬度的中間平面上做過添加載荷直線做一條直線，并使這直線垂直于齒廓，大小為1 000 N。

(4)網格的劃分。本文進行網格劃分時，網格要選擇控制線。其控制線的選擇及劃分的網格如圖3所示。

圖3 網格控制線及網格Fig.3 Grid control line and grid

2.2 靜態分析

靜態分析可對模型的應力、應變等靜態特性進行分析，也叫做設計驗證。本文分別對模型的應力和應變進行分析，并進行優化。圖4所示為模型所受的應力和變形。系統在監控窗口顯示出齒輪的質量，當前的總質量21.59757 kg。

圖4 初始條件下模型的應力和應變圖Fig.4 Stress and strain of model under initial condition

圖4 a、圖4b分別為模型所受的應力和應變云圖。其中最大應力為134.6 MPa;最大變形為0.001957 mm。滿足設計要求，但有一定的裕度，因此對齒輪的結構及參數進行分析優化，確定質量為最小的情況下的優化參數。

2.3 敏感度分析

通過靈敏度分析，可在眾多設計參數中確定應力、應變等隨一些參數變化而變化情況和趨勢。敏感度分析能更完整地了解變更造型對模型的影響。圖5為模型敏感度分析的結果。

圖5 敏感度分析結果Fig.5 Result of sensitivity analysis

圖5a為最大應力隨齒數變化的曲線，當齒數為31時最大應力最大，當齒數為30時最大應力最小;圖5b為最大應變隨齒數變化的情況，其中當齒數為31時模型的最大應變最大;圖5c為質量隨齒數變化的情況當齒數為30時質量最大。

2.4 優化及分析

優化設計就是指由用戶指定研究目標、約束條件和設計參數等，然后在參數的指定范圍內求出可滿足研究目標的最佳目標。本文中優化分析的目標是使得齒輪的質量最小，約束條件是最大應力小于170 MPa，最大應變小于0.03 mm，參數為齒數Z3和K1、K2、K3其設置見表2。

表2 參數設置Tab.2 Parameter setting

運用Pro/M優化分析產生最優結果其優化后的結果與優化前參數對比見表3。

表3 優化結果和初始值的對比Tab.3 Contrast between optimization results and initial values

由表3可知最優化的結果出現在當K1=15 mm、K2=20 mm、K3=25 mm、Z3=28 mm時。此時的總質量為11.605 kg，最大應力為146.9 MPa，最大應變為0.002012 mm。優化設計后的齒輪較優化前的齒輪重量減少了46%。

3 結論

本文基于Pro/Program對直齒變位齒輪進行參數化建模，可根據相關參數的變化，自動建立出相應的模型。

文中運用Pro/M對齒輪模型進行了靜態分析，得出應力分布及應變的力學特性;論文利用Pro/M的敏感度分析功能，研究了齒數對最大應力、最大應變及總體質量的影響;應用優化功能，優化了齒輪的結構參數。

通過對直齒變位齒輪的Pro/Program的程序開發，使得設計人員在利用Pro/M進行優化分析時，能夠更快速精確的獲得齒輪的優化模型。

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