應變天平矩形截面元件扭轉應變計算準度分析

胡國風

（中國空氣動力研究與發展中心，四川 綿陽 621000）

0 引 言

在風洞測力試驗中，通過測量彈性元件表面應變來確定作用在模型上空氣動力的測力裝置稱為應變天平。圖1是典型的彈性元件橫截面形狀為矩形的桿式應變天平結構，對其在扭矩作用下的應變分析，目前大都是基于材料力學“桿件”的扭轉變形理論。材料力學中，所謂“桿件”是指長度尺寸（L）“遠大于”橫向尺寸（b、h）的構件。由于小型化應變計的成功應用和提高天平整體結構剛度的需要，矩形截面彈性元件的“長度”尺寸大都在10～20mm 范圍。因此，上述矩形截面彈性元件基于“桿件”的假設條件并不總是能夠滿足的。這就導致基于材料力學“桿件”扭轉變形理論得出的應變計算值與天平實際校準得出的應變值相比產生較大的誤差，這一誤差有時可達近80%，這一情況給天平設計者帶來了困難。因此，有必要對應變天平矩形截面元件扭轉應變計算準度進行研究。

圖1 彈性元件橫截面形狀為矩形的典型桿式應變天平Fig.1 Sting strain gauge balance with rectangular cross-section

1 分析方法

1.1 工程方法

習慣上將基于傳統的材料力學理論來設計應變天平的方法稱為工程方法。采用工程方法計算圖1所示應變天平的輸出應變時有一個重要假設條件，即將與彈性元件相連的天平體視為剛體。基于這一假設條件，在分析其扭轉應變時，為分析簡便起見，可將圖1所示的模型簡化為圖2所示的分析模型。

如圖3 所示，當矩形截面元件在扭轉力矩作用下，各橫截面變形后不再保持平面，形成翹曲。但若各橫截面翹曲程度均相同，則所有縱向纖維的長度均未改變，橫截面上將沒有正應力而只有切應力，這種情況稱為自由扭轉或純扭轉。矩形截面桿自由扭轉時，橫截面上的切應力分布如圖3所示，最大切應力發生在橫截面長邊中點處，其方向與長邊相切，4 個角點處的切應力均等于零。產生自由扭轉的條件是：等直桿兩端僅受力偶作用，桿的各橫截面可以自由翹曲。這在實際中是很少的，大多數桿件由于受到約束，例如一端固定的桿，扭轉時各橫截面翹曲的程度就不相同，因而橫截面上還有正應力，這種扭轉稱為約束扭轉。但對于矩形、橢圓形等截面實心桿來說，在約束扭轉時所產生的正應力一般數值較小，可以略去不計。

圖2 矩形截面元件扭轉應變分析模型Fig.2 Analysis model for the torsion strain of the component with rectangular cross section

圖3 矩形截面元件扭轉時的變形圖與應力圖Fig.3 Distortion and stress of the component with rectangular cross section for the rolling moment

為了測量扭轉力矩，在矩形截面長邊的中心處沿與天平x軸45°方向上粘貼應變計，根據梁在受扭轉時45°方向的主應力與最大剪應力相等的原理來測量天平受到的扭矩。具體計算公式如下：

其中：Mx為扭轉力矩，α是與矩形截面長短邊之比有關的系數，h和b為矩形截面的長短邊（h≥b），τmax為矩形截面長邊中點處的最大切應力，σi（i=1，2，3）是矩形截面長邊的3個主應力，μ和Ε為天平材料的泊松比和彈性模量，εe矩形截面長邊中點處采用工程方法計算獲得的應變值。

1.2 數值仿真方法

應變天平數值仿真的具體步驟如下：（a）利用SolidWorks2010軟件建立研究對象的三維有限元分析模型（圖2）；（b）采用SolidWorks2010軟件自帶的simulation插件進行網格劃分（圖4）；（c）給定約束條件（左端固定），利用simulation插件的“遠程載荷”功能施加扭矩載荷，進行有限元計算；（d）利用simulation插件獲得矩形截面長邊的中心處沿與天平x軸成45°方向上的應變（εf）輸出大小。

圖4 矩形截面元件扭轉應變分析模型網格Fig.4 Grids of the analysis model of the component with rectangular cross section

1.3 天平校準方法

根據應變天平的校準結果，可以反推出該天平的最大輸出應變εc，方法如下：

其中：N為天平Mx分量測量電橋的數量，KMx為天平Mx分量校準的主項系數，ΔU為天平Mx分量的滿量程輸出電壓，K為應變計的靈敏度系數（K=1.9～2.1，取K=2.0），U為Mx分量測量電橋的激勵電壓。

2 分析過程

研究目標是以扭轉應變數值仿真結果εf為基準，分析矩形截面元件的“長度”尺寸L對扭轉應變工程方法計算結果εe準度的影響。因此，實驗參數有：矩形截面的長短邊之比m=h／b和矩形截面梁的長度與長邊之比k=L／h。實驗過程如下：

（a）確定m變化序列為：1.00、1.20、1.50、1.75、2.00、2.50、3.00、4.00、5.00、10.00；

（b）選定h=30mm，根據m變化序列確定相應的b值大小；

（c）確定k變化序列為：0.33、0.5、0.67、0.83、1、2、3、4、5，那么對應的矩形截面梁長度尺寸L序列為：10、15、20、25、30、60、90、120和150mm；

（d）從m變化序列中選取m，變化k，分別采用工程方法和數值仿真方法獲得矩形截面元件的扭轉應變εe和εf；

（e）應變計算誤差分析：

（f）繪制δ～k（k=L／h）曲線。

天平材料牌號為00Ni18Co8Mo5TiAl（代號F141），其彈性模量E=1.8725×1011N／m2、抗剪模量G=6.664×1010N／m2、泊松比μ=0.4049。

3 結果及分析

εe和εf的計算誤差δ隨著k的變化規律δ～k曲線如圖5所示。由此可見：

（a）當k＞2時，無論何種截面長短邊比m，εe與εf的一致性都較好，兩者誤差在5%以內，說明基于材料力學“桿件”扭轉變形理論得出的扭轉應變計算公式（1）～（3）的計算結果滿足工程實際需要；

（b）當k≤2時，隨著應變梁長度L的縮短，εe與εf的差異越來越大，且其誤差δ隨著m的增大而增大（最大誤差可達近80%），說明基于材料力學“桿件”扭轉變形理論得出的扭轉應變計算公式（1）～（3）的計算結果不滿足工程實際需要；

（c）特別地，對于正方形截面（m=1.00），當0.67≤k≤2時，εe與εf的一致性仍然較好，兩者誤差在5%以內，說明此時基于材料力學“桿件”扭轉變形理論得出的扭轉應變計算公式（1）～（3）的計算結果仍滿足工程實際需要。

圖5 扭轉應變計算準度誤差曲線Fig.5 Error curves of the torsion strain

4 驗證算例

4.1 驗證算例一

圖6所示是中國空氣動力研究與發展中心低速所研制的一臺典型矩形截面的桿式六分量應變天平數值計算分析模型（1，332，012個節點，961，854個單元，3，994，035個自由度）。該天平有關參數如下：天平材料為F141，扭轉力矩為Mx=6000N·m，矩形截面梁長度L=25mm、長邊h=90mm、短邊b=50mm，α=0.240。該天平Mx分量測量電橋實際激勵電壓為U=17.829V，測量電橋數量為N=2，校準主項系數為KMx=172.7N·m／mV。那么：

（a）m=1.80，k=0.28；

（b）根據式（1）～（3），可得該天平扭轉應變工程計算結果為εe=832.2（με）；

（c）根據1.2節所述方法，可得該天平扭轉應變數值仿真結果為εf=473.0（με）；

（d）根據式（4）～（5）可得該天平扭轉應變校準結果為εc=487.2（με）；

（e）根據圖5所示，采用線性插值的方法，可以預知εe與εf的誤差應在-45%左右。

據此可進一步分析該天平Mx分量扭轉應變各種方法的計算誤差：

由此可見，該天平扭轉應變εe與εf的計算誤差δ大小與圖5所給分析結果相差2%左右，具有較好的一致性；εf與εc的結果具有較好的一致性。

圖6 驗證算例一分析模型Fig.6 Analysis model of the validated exampleⅠ

4.2 驗證算例二

圖7所示是中國空氣動力研究與發展中心低速所研制的一臺典型矩形截面的桿式六分量應變天平數 值 計 算 分 析 模 型（403，755 個 節 點，276，386 個 單元，1，207，329個自由度）。該天平有關參數如下：天平材料為F141，扭轉力矩為Mx=22.653N·m，矩形截面梁長度L=15mm、長邊h=17mm、短邊b=8.5mm，α=0.246。該天平Mx分量測量電橋實際激勵電壓為U=8.051V，測量電橋數量為N=1，校準主項系數為KMx=2.857Nm／mV。那么：

圖7 驗證算例二分析模型Fig.7 Analysis model of the validated exampleⅡ

（a）m=2.00，k=0.88；

（b）根據式（1）～（3），可得該天平扭轉應變工程計算結果為εe=562.5（με）；

（c）根據1.2節所述方法，可得該天平扭轉應變數值仿真結果為εf=492.0（με）；

（d）根據式（4）～（5）可得該天平扭轉應變校準結果為εc=492.4（με）；

（e）根據圖5所示，采用線性插值的方法，可以預知εe與εf的誤差應在-19%左右。

據此可進一步分析該天平Mx分量扭轉應變各種方法的計算誤差：

由此可見，該天平扭轉應變εe與εf的計算誤差δ與圖5所給分析結果相差6.5%左右，具有較好的一致性；εf與εc的結果具有很好的一致性。

5 結 論

綜上所述，可以得出以下結論：

（a）矩形截面扭轉應變數值仿真結果εf與實際校準結果εc具有較好的一致性，且其差異程度與m和k的大小無關；

（b）矩形截面扭轉應變工程計算結果εe與數值仿真結果εf（或實際校準結果εc）的差異程度與k的大小有關。具體如下：

（1）當k＞2時，無論何種截面長短邊比m，εe與εf的一致性都較好，兩者誤差在5%以內；

（2）當k≤2時，隨著應變梁長度L的縮短，εe與εf的差異越來越大，且其誤差δ隨著m的增大而增大，最大誤差可達近80%；

（3）特別地，對于正方形截面（m=1.00），當0.67≤k≤2時，εe與εf的一致性仍然較好，兩者誤差在5%以內。

［1］ 賀德馨.風洞天平［M］.北京：國防工業出版社，2001.

［2］ 李慶華.材料力學［M］.成都：西南交通大學出版社，2005.