一道高考壓軸題的平面幾何解法

● (北京師范大學(xué) 北京 100875)

一道高考壓軸題的平面幾何解法

●岳昌慶史志剛(北京師范大學(xué) 北京 100875)

有內(nèi)切圓的等腰梯形是中考命題的熱點之一，該知識點在高中階段的應(yīng)用背景一般認(rèn)為是圓臺內(nèi)切球的軸截面．雖然新課標(biāo)中仍有“旋轉(zhuǎn)體與多面體的切接問題”的相關(guān)要求，但實際上，圓臺內(nèi)切球已不再作為明確的要求了．本文給出這一知識點在拋物線中的應(yīng)用．

眾所周知，等腰梯形不一定都有內(nèi)切圓．只有滿足“內(nèi)切圓的直徑為等腰梯形上、下底邊長的等比中項”這一條件時，等腰梯形才有內(nèi)切圓．如圖1，在等腰梯形AB1C1D中有內(nèi)切圓O，但在等腰梯形ABCD中不存在內(nèi)切圓．

圖1

圖2

如圖2，設(shè)等腰梯形AMNB的上底AM=2r1，下底BN=2r2.該等腰梯形的內(nèi)切圓O(半徑為R)分別與AM，BN，AB，MN相切于點M1，N1，E，F(xiàn)，則有以下結(jié)論：

(1)高M(jìn)1N1=2R.

(2)母線MN=r1+r2.

(3)R2=r1r2.

(4)OM，ON分別是∠AMN，∠MNB的角平分線.

(5)OM⊥ON.

(6)內(nèi)切圓圓心O到母線MN的距離OF=R.

(7)記△OMM1，△MON，△ON1N的面積分別為S4，S5，S6，則S5=S4+S6.

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(9)如圖3，F(xiàn)M1⊥FN1.

(11)以MN為直徑的圓與直線M1N1相切于點O.

圖3

圖4

有內(nèi)切圓的等腰梯形在中考中仍是考查的熱點，各地好題頻現(xiàn)，不再一一列舉，僅以一題為例：

(1)求b的值．

(2)求x1x2的值．

(3)分別過點M，N作直線l：y=-1的垂線，垂足分別是M1，N1.判斷△M1FN1的形狀，并證明你的結(jié)論．

(4)對于過點F的任意直線MN，是否存在一條定直線m，使m與以MN為直徑的圓相切．若存在，請求出這條直線m的解析式；若不存在，請說明理由．

(2011年湖北省黃岡市中考數(shù)學(xué)試題)

在圖3中，將M1N1看成是拋物線的準(zhǔn)線，F(xiàn)為拋物線的焦點，則Q為該拋物線的頂點，M，N分別為拋物線上的點，根據(jù)拋物線的定義可得

MF=MM1，NF=NN1．

由平面幾何知識得

即得

例2如圖5，過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線與拋物線相交于點M，N，過M，N分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為M1，N1．

(1)求證：FM1⊥FN1；

圖5

圖6

(2009年湖北省數(shù)學(xué)高考文科試題)

評注例2可用高中平面解析幾何的方法證明，然而例2的背景是初中階段的“有內(nèi)切圓的等腰梯形”．

例3過拋物線y2=2px(p>0)的對稱軸上一點P(a，0)(a>0)的直線與拋物線相交于點M，N，過M，N分別作直線l：x=-a的垂線，垂足分別為M1，N1，

(2009年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題)

答案(2)存在，λ=4．

評注例3仍可用高中平面解析幾何的方法證明．實際上，例2是例3的一種特殊情況，即點P為焦點F，例3的背景也是是初中階段的“有內(nèi)切圓的等腰梯形”．

以下是與知識相關(guān)的練習(xí).

圖7

練習(xí)如圖7，等腰梯形ABCD的內(nèi)切圓O分別與AD，BC，AB，CD相切于點E，F(xiàn)，G，H，且AB∥CD，一圓錐曲線過點B，C，且以F為焦點，以直線GH為準(zhǔn)線，則該圓錐曲線的離心率e=______．

答案1.