極限概念教學芻議

李 偉

(集美大學理學院,福建 廈門 361021)

極限概念教學芻議

李 偉

(集美大學理學院,福建 廈門 361021)

極限是描述變量變化過程中的變化趨勢的重要概念。極限概念的嚴格精確的“ε”語言，是抽象的、純量化的精確定義，初學者難以理解。而極限的方法是微積分的基本思想方法。因此，只有突破極限概念教學這一難點，才能使后續內容的教學得以順利進行。教學實踐中，通過引入學生熟知的實例，注重師生的互動，引導學生抓住概念的核心，剖析概念的層次，揭示概念的本質屬性，在對比中把握不同概念的共性與個性，從而使學生真正理解和掌握極限概念。

極限；概念；本質屬性；教學實踐；共性與個性

極限是高等數學中的一個重要概念。連續、導數、積分、級數收斂等一系列重要概念都是以極限概念為基礎建立起來的，極限理論是整個高等數學理論的基礎。因此，要學習高等數學，極限概念便是第一課。在教學實踐中，教學對象對于極限定義及其理論真正理解并不容易。盡管在中學學生已經接觸過極限概念，但那里所學的極限是用“無限靠近”、“趨向”等語言描述的。極限的嚴格精確的“ε”語言，既是打開高等數學寶庫的金鑰匙，又是阻攔學生進入高等數學大門的攔路虎［1］。這種純量化的精確定義，往往使學生感到抽象，難以理解。因此，只有突破極限概念教學這一難點，才能使后續內容的教學得以順利進行。在教學實踐中，可以實例、模型等進行引入，從具體到抽象，從近似到精確，使學生對極限概念由感性認識上升到理性認識，從而達到提高課堂教學質量的目的?集美大學教學質量工程資助項目 (C16207)。。

1 通過直觀實例，建立極限概念

圖1 y=曲線

2 揭示概念的本質屬性，理解極限概念

數學概念是現實世界空間形式和數量關系及其特征在思維中的反映。教學中只有引導學生緊緊抓住概念的核心，剖析概念的層次，通過對極限定義的仔細推敲，揭示極限概念的本質屬性，才能讓學生真正理解極限概念［3］。

1)抓住概念的核心 如何讓學生理解“變量在變化過程中無限趨近于一個常數A”的涵義，將是極限概念教學的核心。變量y在變化過程中無限趨近于一個常數A可以分成3個部分：①對給定的任意小正數ε的條件下；②變量y在變化過程中存在那么一個時刻N或δ；③在那個時刻以后，都有|f(x)-A|<ε成立。

圖2 f(x)=的圖形

3 分析概念的共性與個性，掌握極限概念

數學概念之間，通常有著緊密的聯系，前面的概念往往是建立后面概念的基礎。同一教學內容的數學概念之間既有共同之處，又有不同的特點，只有分清它們的共性與個性，概念才會鮮明地樹立起來，從而讓學生掌握所學的知識［5］。

1)在分析共性與個性中使概念鮮明地樹立起來 數列極限的ε-N定義，函數極限的ε-X定義，函數極限的ε-δ定義，其共性即都是變量的極限，它們的意義及定義的方法基本相同。另一方面，它們又存在著各自的個性。數列極限是研究整變量函數的極限，其圖像是一些跳躍的點；而函數極限是研究連續變量函數的極限，其圖像是一條曲線。因此，它們各有不同的特點。

2)在對比中把容易混淆的概念區別開來 數列極限、函數極限的幾何解釋［6］，能幫助理解概念。但對初學者而言，容易混淆不清。因此，把幾種極限概念的幾何解釋匯集在一起加以對比(見圖3)，就能較好地把這些概念區分開來。通過圖像上的對比，可清楚地看到：數列極限的ε-N定義中，是尋找N，當n>N時，使得f(n)的值都落入區域D=(A-ε,A+ε)。函數極限的ε-X定義中，是尋找X，當|x|>X時，使得f(x)的值都落入區域D1與D2。函數極限的ε-δ定義中，是尋找δ，當0<|x-x0|<δ時，使得f(x)的值都落入區域D。在上述區域內，分別都有|f(n)-A|<ε成立或|f(x)-A|<ε成立。

圖3

4 結 語

在極限概念教與學的過程中，通過從學生熟知的實例引入，注重與學生的互動，注重激發他們的學習興趣。由淺入深，循序漸進，引導學生逐步準確理解極限概念的本質屬性，分析、把握極限概念的共性與個性，由此達到了使學生真正理解和掌握極限概念的目的，從而提高了高等數學的課堂教學質量。

［1］陳昌平，黃建弘，鄒一心.數學教育比較與研究［M］.上海：華東師范大學出版社，1995.

［2］上海交通大學，集美大學.高等數學［M］.北京：科學出版社，2010.

［3］涂榮豹.數學教學認識論［M］.南京：南京師范大學出版社，2003.

［4］同濟大學數學教研室.高等數學［M］.北京：高等教育出版社，1996.

［5］曹一鳴.數學教學論［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［6］華東師范大學數學系.數學分析［M］.北京：人民教育出版社，1980.

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.07.054

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A

1673-1409(2012)07-N160-03

2012-04-18

李偉(1962-)，男，1985年大學畢業，副教授，現主要從事函數論和數學方面的教學與研究工作。

［編輯］ 洪云飛