表貼式永磁電動機氣隙磁場及齒槽轉矩解析計算

李延升，竇滿峰，樊 鑫

(1．西北工業大學，陜西西安710129;2．第二炮兵駐西安地區軍事代表室，陜西西安710032)

0 引 言

隨著永磁材料、新型控制理論及電機理論的發展，永磁電動機在航空、航天和航海領域顯示出廣泛應用前景。永磁電動機的定子鐵心有齒槽，導致電機氣隙磁場是非理想梯形波，其中含有幅值較大的齒諧波，當電機旋轉時永磁體與有槽電樞鐵心相互作用產生齒槽轉矩，使電機振動，產生噪聲。要準確計算齒槽轉矩，應先計算永磁電動機氣隙內的磁場分布。傳統的磁路法估算氣隙磁場誤差較大，有限元分析法雖然可以保證計算精度，但其前處理過程復雜，計算時間長，尤其在設計初步階段，電機尺寸參數需多次調整時計算麻煩。

解析法可以較準確地計算氣隙磁場分布，觀察氣隙磁場與結構尺寸之間關系。文獻［1－2］忽略了電機齒槽的影響，利用解析方法求解出氣隙磁場的分布波形。文獻［3］考慮了電機的齒槽效應，采用等效磁路方法構造氣隙磁導分布函數求解氣隙磁場分布，但等效磁路法忽略了齒槽效應對氣隙磁場徑向分布的影響，使得計算結果與實際磁場分布有一定偏差。文獻［4－5］通過對齒槽槽型變換，構造出氣隙相對比磁導函數，該磁導函數只能求出電機氣隙磁場分布的徑向分量，切向分量無法計算。文獻［6－7］均采用文獻［3］中的氣隙磁導分布函數，分析計算電機的齒槽轉矩。文獻［8－10］利用基于能量法和傅里葉分解的解析法得到齒槽轉矩的表達式，通過分析氣隙磁密的傅里葉系數來獲得減小齒槽轉矩的方法。與能量法相比，麥克斯韋應力法計算得到的齒槽轉矩更接近有限元分析法［11］。

本文采用一種基于復數氣隙磁導函數計算表貼式永磁電動機空載氣隙磁場分布的解析方法。該方法以施瓦茲－克里斯托夫方程式為基礎，通過對無齒槽電機氣隙磁場的分析，構造無齒槽電機氣隙磁密的解析模型，再通過四組保角變換，構造出考慮齒槽效應的復數氣隙磁導函數，進一步獲得有齒槽電機的空載氣隙磁場解析模型;基于這個模型，利用齒壁兩側受力計算出齒槽轉矩的解析模型。通過有限元分析驗證了該解析模型的準確性，并通過對極弧系數和槽口寬度的研究，提出減小齒槽轉矩的方法。

1 氣隙磁場的解析分析

永磁電動機的氣隙磁場是影響電機性能的重要指標。用解析的方法計算氣隙磁場分布，可以觀察到氣隙磁場分布與結構尺寸之間的關系。圖1 是表貼式永磁樣機的結構剖圖，區域I 為氣隙，區域II 為永磁體，定子上的槽型為梯形槽，Rr為轉子外徑，Rm為磁鋼外徑，Rs為定子內徑。

圖1 永磁電動機的結構剖圖

1.1 定子無齒槽時氣隙磁場

解析法求解有齒槽電機的氣隙磁密需要求解無齒槽模型的氣隙磁密。為獲得無齒槽情況下表貼式永磁電動機的氣隙磁密解析方程，作如下假設:

(1)定、轉子鐵心的導磁率為無限大;

(2)忽略端部影響與定子齒槽影響;

(3)永磁體均勻充磁，充磁后每極磁鋼上磁化強度大小相等。

那么，磁場強度矢量H 和磁感應強度矢量B 在氣隙和永磁體中有以下關系:

式中:μ0為真空中磁導率;μr為磁介質的相對磁導率;M 為永磁體的磁化強度，在極坐標下磁化強度可表示:

式中:Mr和Mθ為磁化矢量的徑向和切向分量，分別進行Fourier 展開如式(3)，Fourier 系數Mrn和Mθn由磁鋼的充磁方式決定。

當電機的磁鋼徑向充磁時，式(3)中磁化強度徑向和切向分量的Fourier 系數分別:

式中:Br為永磁體剩磁;αm為極弧系數。

根據磁通連續性原理▽B = 0，區域Ⅰ中的Laplace 方程和區域II 中的準泊松方程分別:

求解區域Ⅰ、Ⅱ中的基于標量磁位的方程［1］，由磁位與磁場強度的關系，最終求得表貼式永磁電動機忽略齒槽時在區域Ⅰ中的氣隙磁場解析表達式，其徑向與切向分量分別用式(6)表示［2］。

1.2 定子有齒槽時氣隙磁場

考慮定子齒槽結構對電機氣隙磁場的影響是分析和計算齒槽轉矩的關鍵。對于有齒槽電機，進入齒槽內的磁場主要分布在槽口附近［4］，所以假設用一無限槽深的徑向開口槽代替梯形槽，如圖2 所示。槽口寬度等于實際槽口寬，θ1是槽下沿角，θ2是槽上沿角，θs是槽距角。

針對S 域下無限槽深模型，以施瓦茲－克里斯托夫方程式為基礎，通過4 種保角變換，如圖3 所示，將有齒槽情況下的定子變換為無齒槽進行分析，如圖4 所示，K 域為無齒槽時的坐標系，Z、W、T 為中間坐標系。

圖2 S 域一無限槽深模型

圖3 4 種坐標系轉換過程

圖4 K 域槽模型

四種保角變換的變換公式T1～T4 如下［12］:

在K 域下，無齒槽影響的氣隙磁密Bk復數表達式為:

那么，考慮定子有齒槽的氣隙磁密Bs和Bk的關系可通過4 組變換獲得，即:

將式(7)代入式(9)，得:

式中:λ = λa+ jλb，λ 為復數氣隙磁導函數，其實部和虛部分別對應著氣隙磁密的徑向和切向分量，其波形如圖5 所示。通過對λ 進行傅里葉分解，可得到一極下的復數氣隙磁導分布:

式中:Qs為電機槽數，N 為傅里葉級數展開相數，λan和λbn為傅里葉系數，可由圖5 計算而來。

圖5 齒槽兩側磁力矢量圖

綜合式(6)和式(8)～式(11)，計算得到有齒槽表貼式永磁電動機的氣隙磁密的徑向和切向分量解析表達式:

2 齒槽轉矩的解析分析

永磁電動機齒槽轉矩的存在是由永磁體與定子間的作用力在切向方向的分量產生的。根據麥克斯韋理論，齒槽轉矩可根據單個齒槽兩側齒壁所受的切向力求得［10］。如圖5 所示，n 為槽壁上的法向量，B 為槽表面的磁密矢量，tm為槽壁上的切向力矢量。

根據麥克斯韋應力法，單個槽壁上切向力tm可表示:

在S 域內，槽壁上受到的切向力徑向分布，對tm沿著定子表面(r = Rs)處向磁密可忽略(r→∞)處進行曲線積分，如式(14)所示。通過保角變換，將齒槽映射到W 域，齒槽表面受到的切向力效果不變。所以，計算切向力的曲面積分的積分變量ds 可換成W 域內的dw 計算，積分區間w = a 和w = b 對應著S域內齒尖位置，w = 1 對應S 域中槽無限深處，如圖5 所示。

式中:la為電機有效長度，將代入式(14)，那么切向力在W 域內的表達式可寫為:

式中:

所以，切向力Fslot就等于單個齒槽產生的齒槽轉矩。綜合式(6)、式(16)、式(17)和式(18)，計算單個齒槽的齒槽轉矩表達式:

式中:k 由式(7)計算，Bk(w)由式(6)和式(8)在氣隙半徑r = Rs時求解，此時無齒槽影響的氣隙磁密切向分量Bθ為零。根據疊加法，可以得到N 個槽時的齒槽轉矩Tc:

利用式(19)計算齒槽轉矩時，當w 取a 或b時，式(17)中分母等于零，所以a、b 必須用a + ε 和b－ε 代替，ε 是a 和b 的一個無窮小量。假定定子鐵心的磁導率為無限大，那么a 和b 處的磁密通過保角變換計算為無限大。從定子表面齒尖位置(w= a 和w = b)沿著槽壁到槽底部(w = 1)，磁密以指數方式依次遞減［12］。

3 解析模型實例驗證

為了驗證解析模型的正確性，針對已成功應用某領域的一臺高速永磁電動機，相關參數如表1 所示，根據式(6)、式(11)、式(12)、式(19)和式(20)建立永磁電動機氣隙磁通密度和齒槽轉矩的解析模型，與有限元模型對比分析。

表1 電機的主要參數

圖7 表明，本文解析法求解的氣隙磁密分布與有限元法分析的結果吻合，驗證了本文解析模型的正確性。圖8 是永磁電動機齒槽轉矩的解析法和有限元分析波形對比圖。其中，有限元法計算的齒槽轉矩幅值Tcmax為0．009 1 N·m;解析法為0．008 4 N·m，相差7．6%。可見，此解析方法計算的齒槽轉矩準確度高，滿足電機設計初期參數多次調整時對齒槽轉矩的計算需求。

4 齒槽轉矩參數分析

通過對永磁電動機齒槽轉矩的解析計算，其大小主要受槽數、極對數、極弧系數、槽口寬度、有效氣隙寬度等因素影響。針對表1 的永磁樣機，在槽數和極對數不變的情況下，利用齒槽轉矩的解析模型分析不同極弧系數和槽口寬度對電機齒槽轉矩的影響。

圖9(a)是槽口寬度為2 mm，不同極弧系數αm時齒槽轉矩對比，當極弧系數αm= 0．9 時，齒槽轉矩隨角度的變化先正后負;當αm= 0．85 和αm= 0．8時，齒槽轉矩隨角度的變化先負后正。可見，極弧系數在0．85 和0．9 之間存在一個臨界點，當αm=0. 858 時，通過解析法計算的齒槽轉矩最小，與有限元計算的結果相同，如表2 所示。圖9(b)為極弧系數為0. 85，不同槽口寬度b0時齒槽轉矩對比，當槽口寬度b0越小，齒槽轉矩越小，但b0過小時，加工電機時定子繞組下線困難。圖9(c)是不同αm和b0，有限元法計算的齒槽轉矩。表2 是不同極弧系數和槽口寬度，解析法和有限元法計算齒槽轉矩幅值的對比。

表2 表明，極弧系數和槽口寬度變化時，解析法和有限元法計算的Tcmax變化趨勢相同。與樣機所選極弧系數0．85 和槽口寬度2 mm 相比，當αm=0. 858 時，解析法計算的Tcmax減小75%，有限元計算的Tcmax減小88%;當b0= 1mm 時，解析法計算的Tcmax減小57%，有限元計算的Tcmax減小78%。所以，有限元方法驗證了解析法分析極弧系數和槽口寬度對齒槽轉矩影響的正確性。

表2 不同極弧系數和槽口寬度時Tcmax對比

綜上所述，利用解析法計算齒槽轉矩時，通過分析電機參數對齒槽轉矩的影響，合理選擇相關參數可有效減小齒槽轉矩。

5 結 論

本文采用一種基于復數氣隙磁導函數的解析方法計算表貼式永磁電動機氣隙磁場分布和齒槽轉矩，利用此方法分析極弧系數和槽口寬度對齒槽轉矩的影響，結果表明:

(1)本文解析法計算氣隙磁場分布曲線與有限元法分析結果吻合，齒槽轉矩幅值相差7．6%，驗證了解析模型的正確性;

(2)針對本文仿真的4 極24 槽電機，當極弧系數等于0．858 時，齒槽轉矩最小，與樣機選取的0. 85 相比，齒槽轉矩減小75%;考慮到電機加工時繞組下線，選取槽口寬度1 mm，齒槽轉矩減小57%;

(3)該解析模型可反映電機結構參數變化與所求氣隙磁場及齒槽轉矩的對應關系，在電機設計前期可作為參考依據。

［1］ Zhu Z Q，Howe D，Bolte E，et al．Ackermann．Instantaneous magnetic field distribution in brushless permanent magnet dc motors，Part I:Open－circuit field［J］．IEEE Transactions on Magnetics，1993，29(1):124－135．

［2］ Zhu Z Q，Howe D，Chan C C．Improved analytical model for predicting the magnetic field distribution in brushless permanent magnet machines［J］．IEEE Transactions on Magnetics，2002，38(1):229－238．

［3］ Zhu Z Q，Howe D．Instantaneous magnetic field distribution in brushless permanent magnet DC motors，Part III:Effect of stator slotting［J］．IEEE Transactions on Magnetics，1993，29(1):143－151．

［4］ 王興華，勵慶孚，王曙鴻．永磁無刷直流電機磁阻轉矩的解析計算方法［J］．中國電機工程學報，2002，22(10):104－108．

［5］ 王興華，勵慶孚，王曙鴻．永磁無刷直流電機空載氣隙磁場和繞組反電勢的解析計算［J］．中國電機工程學報，2003，23(3):126－130．

［6］ Kumar Y P，Bauer P．Improved Analytical model of a permanent magnet brushless DC motor［J］．IEEE Transactions on Magnetics，2008，44(10):2299－2309．

［7］ Proca A B，Keyhani A．Analytical model for permanent magnet motors with surface mounted magnets［J］．IEEE Transactions on Energy Conversion，2003，18(3):386－391．

［8］ Lin D，Zhou P，Cendes Z J．Analytical prediction of cogging torque in spoke type permanent magnet motors［C］/ /International Conference on Electrical Machines，2008:1－5．

［9］ 楊玉波，王秀和，丁婷婷，等．極弧系數組合優化的永磁電機齒槽轉矩削弱方法［J］．中國電機工程學報，2007，27 (6):7 －11．

［10］ Li Zhu，Jiang S Z，Zhu Z Q，et al．Comparison of alternate analytical Models for predicting cogging torque in surface mounted permanent magnet machines［C］/ /IEEE Vehicle Power and Propulsion Conference，2008:2－6．

［11］ Zarko D，Ban D．Analytical calculation of magnetic field distribution in the slotted air gap of a surface permanent－magnet motor using complex relative air－gap permeance［J］．IEEE Transaction on Magnetics，2006，42(7):1828－1837．

［12］ 范堅堅，吳建華．計及齒槽極間隔Halbach 型磁鋼的PMSM氣隙磁場解析分析［J］．中國電機工程學報，2010，30 (12):98－105．