可變電容靜電型超微電機的優化設計

劉曉偉，何廣平

(1 中國航天空氣動力技術研究院，北京100074;2．北方工業大學，北京100144)

0 引 言

作為典型的微機械動力元件，超微電機一直是微機電系統(以下簡稱MEMS)研究的熱點，在一定程度上已成為MEMS 發展水平的重要標志［1］。自從1987 年Trimmer 等人設計并研制出靜電型超微電機以來，相繼出現了頂驅動式、側驅動式、擺動式、中心銷式、法蘭盤式、諧波式等多種靜電型超微電機。靜電型超微電機按照運行原理不同可分為以下兩種:一種是利用介電弛豫原理，另一種是利用電容可變原理［2］。

可變電容靜電型超微電機是一類最早出現的動態MEMS 器件。由于靜電力十分微小，且通過實驗發現這種微型電機的動態性能十分有限［3］，關于靜電型超微電機的優化設計問題很早就被注意到［4］，并在近年來得到部分學者的關注［5－6］。本文給出了側面驅動可變電容靜電型超微電機的一種優化設計算法，并根據該方法對優化后的超微電機性能進行了實驗分析。

1 側面驅動可變電容靜電型超微電機數學模型

側面驅動可變電容式靜電型超微電機的結構簡圖如圖1 所示，它通過轉子與定子間的小間隙形成的電容實現轉子的驅動。當電機的定子電極數目與轉子凸極數目可以整除時，這類靜電電機通常稱為同步靜電電機;當兩者不能整除時，一般稱為步進式靜電型超微電機。這兩種靜電型超微電機的驅動原理是相同的，都通過轉子與定子之間電容變化引起的切向靜電力來驅動轉子轉動。但是要實現轉子的連續運轉，這兩類電機的控制方式是不同的。對于步進靜電型超微電機，需要仔細選擇定子電極的通電順序組合;對于同步靜電型超微電機，其轉子轉動速度與施加的電場的旋轉速度相同。

圖1 8 /6 超微電機結構簡圖

可變電容靜電型超微電機中的電能可表示:

式中:C(θ)為轉子與定子之間的電容;V 為轉子與定子之間施加的驅動電壓。根據上式，轉子轉矩可寫為:

根據圖1 所示，在微弧段dα 上，轉子和定子之間的微電容:

式中:εr為相對介電常數;ε0為真空絕對介電常數，ε0= 8．85 × 10－12C2/(N·m2);h 為定子和轉子片的厚度。R(α)和r(α)分別為定子和轉子輪廓半徑，(R，α)和(r，α)分別為定子和轉子輪廓的極坐標。

設靜電電機的定子電極數目為nS，轉子凸極的數目為nR，定子電極和轉子凸極沿圓周方向是均布的，即定子相鄰電極之間的夾角為Δφ，轉子相鄰凸極之間的夾角為Δθ，其值分別:

對于常見的規則形狀的靜電電機，其定子電極和轉子凸極輪廓在極坐標下可表示:

式中:λS∈(0 1)和λR∈(0 1)分別為定子電極和轉子凸極的占空比。為提高靜電電機的驅動力矩，一般設計

不失一般性，令θ0= 0，則:

為便于與已有研究［4－6］進行比較，這里計算定子電極數與轉子凸極數之比為8 /6 的靜電型超微電機在不同控制方式下的輸出轉矩。

表1 8 /6 靜電型超微電機的基本物理參數［5］

2 可變電容靜電型超微電機的驅動方法

這里對定子電極采用單相對稱電極順序通電的方式，如圖2 所示，其中帶陰影的定子電極為通電電壓為V 電極，其它電極則為接地電極。

圖2 8 /6 靜電超微電機電極的控制方式

對于設計參數取(rmin，λs，λr)= (30 μm，18 /45，18 /60)時，即電機轉子輪轂的半徑為30 μm，定子電極和轉子凸極的角度為18°，當電機各定子組分別施加控制電壓時，電機轉子在轉動一個凸極所占的角度過程中的輸出力矩曲線如圖3(a)所示。當通過恰當地切換電機定子4 個電極組的通電方式，可獲得如圖3(b)所示的電機輸出力矩曲線。

圖3 單相驅動條件下且電機結構參數未優化時的輸出力矩曲線

3 可變電容靜電型超微電機的優化設計

選擇優化設計變量:

式中:rmin為轉子輪轂的半徑，為保證轉子的強度，一般要求rmin≥r0;λs為定子電極的占空比;λr為轉子凸極的占空比。電機的重要性能指標是其輸出力矩的均值和力矩的波動大小。輸出力矩均值可表示:

力矩的波動系數表示:

在優化電機的結構參數中，定義優化指標:

式中:z1用于電機輸出力矩優化，z2用于輸出力矩波動優化，z 則用于對輸出力矩的大小和力矩波動系數同時進行優化。式(14)中，λ 為加權系數，可用于將z1和z2的數值調整到同一量級，避免大量值把小量值淹沒。基于式(12)～式(14)給出的指標函數，可建立優化問題的數學模型:

對于表1 中給出的電機基本參數，采用同時優化平均力矩和力矩波動系數的指標式(14)。由于式(2)和式(8)給出的電容和輸出力矩公式難以得到解析表示，在以往的研究中多采用有限元分析方法［5－6］。為了避免有限元分析方法嵌入優化過程中的巨大計算量，這里采用數值積分的方法求電機轉子處于任意位置時的電機電容值，然后采用差分商的方法根據式(2)求電機輸出力矩。為了避免利用差分商對微分進行近似時導致獲得的電機力矩不連續，采用遞推濾波方法對求得的電機力矩進行濾波處理(可利用MATLAB 中的filtfilt 濾波函數)。

4 實驗結果

采用該算法對設計參數進行優化后，其取值變為(rmin，λs，λr)=(21．34 μm，0．60，0．47)對應的輸出力矩如圖4 所示。

圖4 單相驅動條件下且電機結構參數優化后的輸出力矩曲線

為直觀比較優化前后電機結構的變化，電機結構比較圖如圖5 所示。可以看出，相對較寬的定子電極和轉子凸極，以及較大的轉子凸極槽深，有利于改善電機輸出力矩的大小和動態特征，但是在結構約束條件下，這些參數存在最優值，并不是越大越好。

圖5 參數優化前后電機結構的比較

圖6 優化前后電機輸出力矩的比較

5 結 語

針對可變電容靜電型超微電機靜電力十分微小，且動態性能非常有限的問題，本文闡述了側面驅動式可變電容靜電型超微電機的數學模型，在對定子電極采用單相對稱電極順序通電的驅動方式的基礎上，提出了一種靜電型超微電機的優化設計方法。實驗結果表明，優化后電機的輸出力矩有所增大，而且波動明顯減小，有利于改善電機輸出功率的穩定性。

［1］ 張文明，孟光．靜電微電機微轉子接觸動力學特性分析［J］．力學學報，2005，37(6):756－763．

［2］ 戴福彥，張衛平，陳文元，等．MEMS 微電機綜述［J］．微電機，2009，42(8):61－64．

［3］ Zhang W M，Meng G，Chen D．Stability，nonlinearity and reliability of electrostatically actuated MEMS devices［J］．Sensors，2007，7:760－796．

［4］ Johansson T B，Van Dessel M，Belmans R，et al．Technique for finding the optimum geometry of electrostatic micromotors［J］．IEEE Transactions on Industry Applications，1994，30(4):912 －919．

［5］ Ketabi A，Navardi M J．Optimization of variable－capacitance micromotor using genetic algorithm［J］．Journal of Microelectromechanical Systems，2011，20(2):497－504．

［6］ Behjat V，Vahedi A．Study the influence of geometric parameters on the torque of electrostatic micromotors［J］．Electrical Engineering，2006，89:61－65．