超聲波電動機特征模型的辨識建模

尤冬梅，史敬灼

(河南科技大學，河南洛陽471003)

0 引 言

超聲波電動機的數學模型是其控制系統分析、設計與性能評估的重要基礎。為提高超聲波電動機運動控制裝置的性能，研究更為合理的控制策略，必須得到適合于控制應用的超聲波電動機數學模型。

由于超聲波電動機運行機理的復雜性，基于實驗數據的辨識方法成為建立超聲波電動機控制模型的主要方法［1］。但通常認為，辨識模型只是對超聲波電動機在最小二乘意義下的近似，難以表述其全貌。即，辨識模型能夠描述超聲波電動機的主要運行特征，但不是對超聲波電動機的完整準確描述。這就使得基于辨識模型的超聲波電動機控制器設計必須適應于這一模型偏差。

吳宏鑫院士提出的特征模型［2］是一種基于實驗數據的模型，可將其歸入辨識模型的范疇。但不同的是，已有理論證明，實時修正的低階(二階或三階)特征模型是對高階實際對象的準確描述。基于特征模型，有可能得到較為簡單的控制器結構。

本文給出了超聲波電動機特征模型的辨識建模方法，提出了三種確定辨識算法參數初值的確定方法，通過誤差比較確定了適合于超聲波電動機建模與控制的參數初值和在線遞推算法，計算結果表明了所建特征模型的有效性。

1 超聲波電動機的特征模型

廣義地說，特征模型是一種辨識模型形式。因為機電能量轉換及摩擦傳遞過程的復雜性、時變性與分散性，難于通過理論分析得到能夠精確描述超聲波電動機動態運行特征的數學建模。因此，目前在超聲波電動機控制裝置的研究過程中，辨識建模方法應用越來越廣。

辨識建模方法以實驗數據為主要依據。建模的目的是獲取一個能夠逼近實驗數據所描述的動態特征的模型。對于時變對象，可以采用在線遞推的辨識算法，來獲取系數變化的辨識模型。辨識理論指出，無論是通過辨識得到的固定系數模型還是時變系數模型，都只是對實際對象的一種近似。理想情況下，這種近似是在誤差平方和意義上的最佳逼近。由于辨識模型的“近似”特征，基于該模型的控制器離線設計和在線自適應，也就都有了“近似”的性質。

那么，采用適當的辨識方法和適當的模型形式，是否有可能得到更好的對象模型?特征模型理論［2］表明，時變的低階模型與高階系統等價。即通過設計適當的低階模型形式，并采用適當的在線辨識算法獲取時變的模型系數，所得的變系數低階模型與高階系統等價。

對于線性定常系統而言，其特征模型是由特征變量和部分特征參量通過線性組合所構成的慢時變差分方程。其中，特征變量是實際系統的量測輸入和量測輸出，特征參量指的是在特征模型中能夠反映這些特征變量之間關系的參量，如階次、時變的模型系數等。該模型的參數是時變的，而不是固定的。特征模型的建立過程就是一個在線、實時的遞推辨識過程。建立系統的特征模型，就是建立一個包含在線辨識過程的低階時變模型，每一時刻的特征模型都可以完全表述該時刻的實際系統;即每一時刻的特征模型均與實際系統等價。

下面，嘗試建立超聲波電動機的特征模型。

2 超聲波電動機的固定參數模型

為建立超聲波電動機的特征模型，首先需要建立其固定參數模型。原因有三，一是為特征模型結構的選擇做準備，確定具有較小誤差平方和的模型結構;二是對比辨識方法，確定合適的辨識算法來辨識特征模型的參數初值;三是用來與所建特征模型進行模型誤差對比。

2.1 實驗數據的篩選

辨識建模方法以實測的輸入、輸出數據為基礎。自行設計的轉速控制實驗系統［3］結構如圖1 所示，所用兩相行波超聲波電動機為Shinsei USR60 型，關于該系統結構的描述參見文獻［3］。改變圖1 中的電機轉速給定值Nref及轉速控制器控制方式，測取不同轉速、不同控制動態過程情況下的階躍響應過程數據用于建模。選擇其中10 組數據作為建模數據，這些數據涵蓋了實驗電機轉速的可調范圍0～120 r/min。除此之外，另選5 組轉速給定值分別為120 r/min、100 r/min、90 r/min、80 r/min、30 r/min的實驗數據作為驗證數據，用來驗證所建模型的有效性，也有助于選擇辨識算法。

圖1 轉速控制實驗系統結構

應指出的是，為了保證數據測量的完整性，所測階躍響應數據中包含較多的轉速穩態運行數據。從原理上講，辨識建模的過程是一個以擬合建模數據為目的的優化過程，過多的穩態運行數據可能使辨識結果背離所期望的超聲波電動機動態模型。所以在辨識之前，剔除了實測數據中過多的穩態數據。

本文所述模型以電機驅動電壓的頻率u(k)為輸入，輸出y(k)為電機轉速。

2.2 辨識方法的選擇與對比

一般地，辨識模型可表述:

A(z－1)和B(z－1)的階次na、nb，及延遲階次d，由基于實驗數據的最小二乘模型結構辨識確定。選取轉速給定值為90 r/min 的實驗數據進行模型結構的辨識，計算結果表明當na= 3、nb= 2、d = 0 時，所得模型損失函數和最終預報誤差最小。下文按此階次進行超聲波電動機模型辨識。

為了確定適合于超聲波電動機的辨識方法，分別采用最小二乘一次完成算法(LS)、遞推最小二乘法(RLS)、遞推增廣最小二乘法(RELS)、遞推極大似然法(RML)進行模型參數辨識，通過對比每種方法的誤差平方和來確定辨識方法。計算結果如表1 所示。

表1 不同辨識算法建模誤差對比

從建模數據的誤差平方和來看，LS 和RML 均取得了相對較小的值，分別為229．134 5和229．393 0。從驗證數據來看，LS 的驗證結果也與RML 相近，由于RML 相對復雜，故選用LS 來辨識特征模型參數初值。用LS 所建模型，驗證數據的模型輸出與實測數據對比如圖2 所示，可見模型輸出與實測值基本一致，最大誤差絕對值為6．577 r/min。

圖2 模型輸出與實測數據對比(Nref = 120 r/min)

3 特征模型的建立

根據上述建立固定參數模型的過程，通過比較不同模型結構時的誤差平方和，特征模型的結構可選為三階，即na= 3、nb= 2。通過對比辨識算法的辨識效果，可選擇最小二乘一次完成算法來辨識特征模型參數初值。于是，超聲波電動機的特征模型可寫成:

式中:y(k－n)、u(k－n)分別為前n 時刻的轉速和頻率控制字;a1(k)、a2(k)、a3(k)、b0(k)、b1(k)、b2(k)為時變的特征模型參數。

確定模型結構后，建立特征模型還需確定辨識算法初值和在線遞推算法。

3.1 辨識算法的參數初值

為使辨識算法可在線計算，需給定遞推算法中矩陣θ(k)、P(k)的初值θ(0)、P(0)。考慮超聲波電動機運行特性，提出下列三種矩陣θ(0)確定方法(下文簡稱這三種初值確定方法為方法1、方法2、方法3):

(1)由上述分析，通過比較幾種辨識方法所得的固定參數模型的誤差平方和，用誤差平方和最小的那個辨識方法所得模型參數作為參數初值。

(2)由于電機系統由零轉速開始運轉，θ 初值主要對控制的起始階段起作用，而這一起始階段必定是從零轉速開始的低速運行區域。所以，可將θ初值設置為低速情況下的離線辨識所得參數。

(3)對于不同的給定轉速，分別用最小二乘一次完成算法作三階的模型辨識，每個給定轉速對應一組模型參數，該參數分別作為各給定轉速辨識參數的初值，若有多組相同給定轉速的數據，其初始參數值θ(0)為該多組觀測數據組合起來最終辨識的結果。

狀態估計誤差的協方差陣P 與模型參數修正作用大小直接相關，協方差越大，說明估計值與真實值相差越大，增益向量也會越大，所產生的模型參數修正作用也越大。本文在辨識計算過程中，取P 的最初值為足夠大的正值，并將辨識計算結束時的P值取做下次辨識計算過程的初值，以增加辨識算法在少量數據情況下的收斂能力。

3.2 辨識算法的確定

在確定了初始參數的取值后，就要確定特征模型的在線遞推算法，為了選擇更為合適的在線遞推算法，分別采用RLS、RELS、RML 進行遞推計算，根據特征模型具有參數時變的特點，計算程序在遞推過程中的誤差平方和，即每一次采樣就計算一次誤差平方和。通過對比每種方法的誤差平方和來選擇合適的辨識方法。計算結果如表2 所示。

表2 各辨識方法不同確定參數初值方法的誤差平方和對比

表2 中，對于RLS、RELS、RML 這三種辨識方法，不論從建模數據還是驗證數據來看，第三種參數初值確定方法的誤差平方和都小于前兩種;再對比第三種參數初值確定方法，RELS 和RML 的誤差平方和都小于RLS 的誤差平方和，其中RML 略大于RELS。綜合考慮，特征模型的建立選擇增廣最小二乘辨識方法(RELS)作為在線遞推算法，同時選擇第三種參數初值的確定方法。

基于超聲波電動機的特征模型式(2)，選用第三種參數初值的確定方法，通過增廣最小二乘辨識算法的循環遞推計算，驗證數據的模型輸出與實測數據對比圖如圖3 所示，分別選取Nref= 120 r/min和Nref= 30 r/min 的驗證數據進行對比。與圖2 相比，圖3(a)中最大誤差絕對值僅為2．62 r/min，模型誤差有明顯改善;圖3 (b)中最大誤差絕對值0. 56 r/min，誤差也較小，模型計算輸出逼近實測數據輸出。

圖3 模型輸出與實測數據對比

圖4 為數據在辨識過程中的誤差變化情況。從圖中可以看出，誤差在零值上下浮動，并且偏離0 值不遠，即轉速誤差不大，所建特征模型的模型輸出與實測數據相當接近，特征建模能夠準確逼近對象特性。

圖4 辨識過程中的誤差變化

3.3 固定參數模型與特征模型對比

由固定參數模型與特征模型的建立過程可得表3。

表3 不同辨識算法固定參數模型與特征模型誤差平方和對比

通過對比固定參數模型與特征模型建模、驗證數據的誤差平方和可知，分別從建模數據和驗證數據來看，對于這三種辨識算法的計算結果，無論哪一種算法均是特征模型的誤差平方和小于固定參數模型的誤差平方和。

另外，由表4 的誤差對比可知，轉速為120 r/min 時，與固定參數模型輸出相比特征模型輸出誤差明顯較小;轉速為30 r/min 時，特征模型的誤差也不大。可見，特征模型輸出更逼近實測數據輸出，能夠對實際系統更完全的表述。

表4 驗證數據的模型輸出誤差對比

4 結 語

數據對比表明，與通常的辨識模型相比，特征模型能夠更好地表述超聲波電動機驅動控制系統的內在非線性特征。本文的工作為超聲波電動機的控制建模提供了一種可行方法，也為進一步運動控制策略設計提供了必要基礎。

本文所述建模方法也可用于傳統電磁電機的建模。

［1］ 張新良，譚永紅．行波型超聲電機基于輸入電壓變化的參數模型辨識［J］．系統仿真學報，2008，20(13):3492－3495．

［2］ 吳宏鑫，胡軍，謝永春．基于特征模型的智能自適應控制［M］．北京:中國科學技術出版社，2008．

［3］ 呂琳，史敬灼．基于蟻群優化的超聲波電動機系統動態模糊辨識建模［J］．微特電機，2011，39(10):58－60．