關(guān)于高職數(shù)學(xué)函數(shù)連續(xù)性的教學(xué)

于潔

（山東藥品食品職業(yè)學(xué)院 山東 威海 264210）

關(guān)于高職數(shù)學(xué)函數(shù)連續(xù)性的教學(xué)

于潔

（山東藥品食品職業(yè)學(xué)院 山東 威海 264210）

高職數(shù)學(xué)；函數(shù)連續(xù)性；連續(xù)本質(zhì)；研究方法

究其原因有以下幾點；一是學(xué)生抽象概括能力欠缺。從客觀世界的現(xiàn)實中抽象概括出數(shù)學(xué)概念，對接受過高中教育的人而言，應(yīng)該初步具備了這種能力。但目前高職學(xué)生這方面能力普遍較差。二是學(xué)生對極限思想和方法的不適應(yīng)。由于高等數(shù)學(xué)是建構(gòu)在極限理論的基礎(chǔ)上、以極限為基本工具研究函數(shù)的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，因此，研究問題的思維方式總體上由“靜態(tài)”變成了“動態(tài)”。而函數(shù)的連續(xù)性是運用極限理論定義的第一個概念，學(xué)生對于運用極限思想刻畫函數(shù)的這種動態(tài)特性，需要一個適應(yīng)過程。三是教材的簡化。現(xiàn)在選用的高職高專《高等數(shù)學(xué)》規(guī)劃教材，在“必需、夠用”原則的指導(dǎo)下，降低了理論難度、簡化了知識內(nèi)容。多數(shù)教材的“函數(shù)連續(xù)性”一節(jié)直接給出函數(shù)在點連續(xù)的定義，缺少必要的例證加以輔助。學(xué)生很難通過閱讀教材理解函數(shù)連續(xù)的概念。針對上述原因，教師在教學(xué)時應(yīng)著重抓住以下幾點，幫助學(xué)生建立起函數(shù)連續(xù)性的概念。

函數(shù)連續(xù)性的本質(zhì)特征

要理解函數(shù)連續(xù)的概念，首先要抓住連續(xù)的本質(zhì)特征。自然界中植物的生長、河水的流動、溫度的變化等等現(xiàn)象，都是連續(xù)變化著的，把這種現(xiàn)象進(jìn)行抽象，反映在函數(shù)關(guān)系上就是函數(shù)的連續(xù)性。如果只是這樣概括，學(xué)生對連續(xù)本質(zhì)特征的把握是不到位的。此時可再從以下現(xiàn)象分析：兩個人幾天不見，再次見面時并沒有感覺到彼此的變化，難道這幾天倆人真是都沒有變化嗎？顯然不是。人從出生到衰亡，時時刻刻都處在連續(xù)變化之中，盡管這種變化很微小，不宜察覺，但它是不間斷的。如果我們從函數(shù)的角度分析，上述現(xiàn)象就相當(dāng)于函數(shù)的自變量在某一區(qū)間段上連續(xù)變化時，因變量也隨之連續(xù)變化，即使自變量的變化很微小，因變量也會隨之有微小的變化。經(jīng)過的這樣分析，學(xué)生就能較好地把握函數(shù)連續(xù)性的本質(zhì)特征了。

函數(shù)連續(xù)性的研究方法

用什么方法確定函數(shù)在一點上的連續(xù)呢？函數(shù)在一點上的連續(xù)是一個局部概念，反映了函數(shù)在一點處兩個變量增量間的變化關(guān)系，即當(dāng)函數(shù)的自變量有一微小變化時，因變量也隨之有一微小變化。如果利用初等數(shù)學(xué)的方法刻畫這種關(guān)系，顯然是行不通的，只有借助于極限工具進(jìn)行深入的分析研究。通過教師適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)生便會知道要想解決函數(shù)在一點上的連續(xù)的問題必須運用極限的思想方法。

函數(shù)連續(xù)性的定義

一個數(shù)學(xué)概念的形成過程，是人們對客觀現(xiàn)象進(jìn)行探索歸納、抽象概括的過程。教學(xué)上如果對這一過程進(jìn)行情境再現(xiàn)，不僅可以使學(xué)生了解概念的形成背景，而且對學(xué)生理解掌握概念的本質(zhì)及其應(yīng)用大有益處。若只是“填鴨式”傳授，把概念直接灌輸給學(xué)生，效果可想而知，也失去了通過數(shù)學(xué)教學(xué)過程對學(xué)生進(jìn)行觀察分析、抽象概括能力培養(yǎng)的作用。

講授“函數(shù)連續(xù)性”一節(jié)時，可以先借助多媒體給學(xué)生播放植物的生長、河水的流動、汽車在高速路上奔跑等連續(xù)現(xiàn)象，再播放一棵大樹被攔腰截斷、一條大壩截住河水流動、一座斷裂的橋梁造成車輛停滯不前等不連續(xù)現(xiàn)象，與學(xué)生一起分析探索上述現(xiàn)象引出函數(shù)連續(xù)尤其是在一點上的連續(xù)的問題，并形成定義。

通常，關(guān)于函數(shù)y=f（x）在點x0連續(xù)的定義有兩種形式：

若先講定義2可以列舉以下實例：

圖1

圖2

圖3

三例過后進(jìn)行小結(jié)，得出函數(shù)y=f（x）在點x0處若遇到下列三種情況之一就會不連續(xù)：（1）沒有定義；（2）有定義、極限不存在；（3）有定義、極限存在、但極限值與函數(shù)值不相等。這時善于思考的學(xué)生就會產(chǎn)生下列想法：“當(dāng)函數(shù)y=f（x）在點x0處同時滿足了有定義、極限存在、極限值與函數(shù)值相等三個條件時，情況會是怎樣呢？”這時教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察連續(xù)函數(shù)曲線在一點上的狀況。

例4：考察函數(shù)y=x2在點x=2處的連續(xù)情況。

圖4

圖5

圖6

圖7

函數(shù)連續(xù)性的整體概念

一般的，知道了怎樣判定函數(shù)在一點上連續(xù)后，應(yīng)給出函數(shù)在開區(qū)間（a，b）上連續(xù)的概念，即在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)的函數(shù)y=f（x），必須在開區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點都連續(xù)。根據(jù)上述要求，在探討函數(shù)y=sinx在（-∞，+∞）上連續(xù)的問題時，要說明y=sinx在（-∞，+∞）內(nèi)的“每一點”都連續(xù)，顯然逐點驗證是不可能的，如果能夠?qū)ふ业娇梢浴按怼泵恳稽c的“點”，通過證明函數(shù)在此點連續(xù)，進(jìn)而就可說明函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)。

經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，只要在區(qū)間（-∞，+∞）上設(shè)出任意一點，用“任一點”代替“每一點”加以證明即可使問題得到解決，這也正是數(shù)學(xué)簡約美之所在。如果考察函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)性，不僅要求它在區(qū)間（a，b）上連續(xù)，而且還要滿足在區(qū)間的左端點a處右連續(xù)，右端點b處左連續(xù)。至此，關(guān)于函數(shù)連續(xù)性的概念就完整了，學(xué)生就會達(dá)成這樣的共識：函數(shù)的連續(xù)是動態(tài)變化的，是通過函數(shù)在其定義區(qū)間上的每個點上的連續(xù)實現(xiàn)的。連續(xù)函數(shù)的圖形呈現(xiàn)為一條連綿不斷的曲線。

[1]曹之江.談數(shù)學(xué)及其優(yōu)教（名師談數(shù)學(xué)）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]羅韻蓉.淺談函數(shù)的連續(xù)性與間斷點的教學(xué)體會[J].科學(xué)咨詢，2009，（4）.

[3]張景中.數(shù)學(xué)與哲學(xué)[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2008.

[4]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[5]盛祥耀.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2008.

于潔（1963—），女，山東寧津人，山東藥品食品職業(yè)學(xué)院副教授，研究方向為高等數(shù)學(xué)教育與素質(zhì)教育。

（本文責(zé)任編輯：謝良才）

□有話職說

走正直誠實的生活道路，必定會有一個問心無愧的歸宿。

——高爾基

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