k次廣義對合矩陣的性質

劉興祥，劉紅娟，岳育英，白勇菊

(1.延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000;2.合陽縣 甘井中學，陜西 合陽 715300;3.吳堡縣 宋家川鎮教委 ，陜西 吳堡 728200)

k次廣義對合矩陣的性質

劉興祥1，劉紅娟2，岳育英1，白勇菊3

(1.延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000;2.合陽縣 甘井中學，陜西 合陽 715300;3.吳堡縣 宋家川鎮教委 ，陜西 吳堡 728200)

給出了n階k次廣義對合矩陣的定義，通過類比n階k次對合矩陣的性質，進而研究n階k次廣義對合矩陣所具有的一些性質，同時也給出可逆n階k次廣義對合矩陣的一些性質。

類比;矩陣;n階k次對合矩陣;n階k次廣義對合矩陣

在高等代數中，我們已經給出了對合矩陣的定義及其性質。隨著矩陣研究領域的不斷發展，我們也得到了n階k次對合矩陣的一些性質。然而，n階k次廣義對合矩陣作為對n階k次對合矩陣的一種擴展，在矩陣的研究問題中也具有很重要的作用。為此，我們利用類比的思想，將n階k次對合矩陣的定義及性質類比，得到n階k次廣義對合矩陣的定義及性質。

0 預備知識

定義1 設A是n階矩陣，若存在最小正整數k∈N －{0，1}，使得 Ak=pE(p≠0)，則稱矩陣 A為 n階k次廣義對合矩陣。當p=1時，即Ak=E，則稱A為n階k次對合矩陣。約定On，En是n階1次廣義對合矩陣。

引理1［1］設A是n階矩陣，則(AT)n=(An)T(n∈N*)。

引理2［2］設A 是 n 階矩陣，則(A－1)n=(An)－1(n∈N*)。

下面研究n階k次廣義對合矩陣的性質。

1 n階k次廣義對合矩陣的基本性質

性質1.1 n階k次廣義對合矩陣與q(q≠0)的數量乘積是n階k次廣義對合矩陣。

證明 設A是n階k次廣義對合矩陣，則存在最小正整數k∈N－{0，1}，p∈R－{0}，使得 Ak=pE，從而

(qA)k=qkAk=qkpE=(qk－1p)(qE)，令 r=qk－1p，則(qA)k=r(qE)，(r≠0)。

假設存在m∈N－{0，1}且m＜k，使得(qA)m=r＇(qE)，(r＇≠0)，于是

性質1.2 n階k次廣義對合矩陣的轉置是n階k次廣義對合矩陣。

證明 設A是n階k次廣義對合矩陣，則存在最小正整數k∈N－{0，1}，p∈R－{0}，使得 Ak=pE。由引理1知，對于上述k，p，有(AT)k=(Ak)T=(pE)T=pET。

假設存在m∈N－{0，1}且m＜k，使得(AT)m=p＇ET(p＇≠0)。將其兩邊同時取轉置，有((AT)m)T=(p＇ET)T，于是即Am=p＇E。這與最小性矛盾。從而，得知此k為使得(AT)k=pET的最小正整數。所以AT也是n階k次廣義對合矩陣。

性質1.3 n階k次廣義對合矩陣的l次對合是n階廣義對合矩陣。

證明 設A是n階k次廣義對合矩陣，則存在最小正整數k∈N －{0，1}，p∈R－{0}，使得 Ak=pE，從而

令r=pl，則(Al)k=rEl(r≠0)，由最小數原理可知，一定存在 k0∈N －{0，1}，r＇=R －{0}，使得(Al)k0=r＇El。因此Al是n階廣義對合矩陣。

性質1.4 與n階k次廣義對合矩陣相似的矩陣仍為n階k次廣義對合矩陣。

證明 設A是n階k次廣義對合矩陣，B是與A相似的n階矩陣，則存在最小正整數k∈N－{0，1}，p∈R－{0}，使得Ak=pE。又由于A與B相似，則存在n階可逆矩陣Q，使得B=Q－1AQ，則

Bk=Q－1AkQ=Q－1(pE)Q=pE.

假設存在m∈N －{0，1}且m ＜k，使得Bm=p＇E(p＇≠0)。于是

即Am=p＇E，這與最小性矛盾。從而，得知此k為使得Bk=pE的最小正整數。所以B也是n階k次廣義對合矩陣。

性質1.5 若A與B同為n階k次廣義對合矩陣且可交換，則AB是n階k次廣義對合矩陣。

證明 我們從n階k次廣義對合矩陣的定義出發，由于存在最小正整數k，使得Ak=pE，Bk=qE(k∈N －{0，1}，p，q∈R －{0})。又因為 AB=BA，所以

根據最小數原理，一定存在 k0∈N － {0，1}，r＇∈R －{0}使得(AB)k0=r＇E。再根據n階k次廣義對合矩陣的定義，可知AB是n階k次廣義對合矩陣。

2 可逆n階k次廣義對合矩陣的一些性質

性質2.1 可逆的n階k次廣義對合矩陣的逆仍是n階k次廣義對合矩陣。

證明 設A是可逆的n階k次廣義對合矩陣，則存在最小正整數 k∈N －{0，1}，p∈R －{0}，使得Ak=pE。由引理2知，對于上述 k，p，有

假設存在m∈N －{0，1}且 m ＜k，使得(A－1)m=r＇E－1，r＇≠0 將其兩邊同時取逆，得((A－1)m)－1=(r＇E－1)－1。于是

推論2.1 可逆n的k階次廣義對合矩陣的伴隨矩陣是n階k次廣義對合矩陣。

證明 設A是可逆的n階k次廣義對合矩陣。又因為AA*=A*A=|A|E，所以

由性質1.1與性質2.1，可得A*是n階k次廣義對合矩陣。

性質2.2 設A是可逆的n階k次廣義對合矩陣且 Ak=pEn(p≠0)，則 mAk+lEn(m≠0，l≠0)可逆的充要條件是mp+l≠0。

證明 因為A是可逆的n階k次廣義對合矩陣，由性質2.2得 Ak=pEn.

則有(mp+l)En可逆的充要條件是mp+l≠0，即mAk－1+lEn可逆的充要條件是 mp+l≠0。

性質2.3 若A是實數域上正交的n階k次廣義對合矩陣，則 AT=Ak－1或 AT= － Ak－1。

證明 因為A是正交矩陣，所以

從而A可逆，逆矩陣為AT，并且|A|2=1，即|A|=±1。又A為實數域上的n階k次廣義對合矩陣，所以存在最小正整數 k∈N －{0，1}，p∈R －{0}，使得

將上式兩邊同時取行列式，得|A|k=pn，求得p=1或p=－1.

若p=1，即Ak=E，則 A的逆矩陣表示為 Ak－1，即AT=Ak－1.

若p=－1，即Ak=－E，則A的逆矩陣表示為－Ak－1，即 AT= － Ak－1.

故AT=Ak－1或 AT= －Ak－1.

特別地，n階2次廣義對合的正交矩陣是對稱矩陣或反對稱矩陣。證明時取k=2，則AT=A或AT=－A，即A為對稱矩陣或反對稱矩陣。

3 有關n階k次廣義對合矩陣的其他性質

性質3.1 n階k次廣義對合矩陣的特征值λ滿足λk=ι形如的方程(其中ι為某一非零常數)。

證明 設A是n階k次廣義對合矩陣，則存在最小正整數k∈N －{0，1}，p∈R－{0}，使得 Ak=pE.

設λ是A的任意一個特征值，α是A的屬于特征值λ的特征向量，則α≠0且Aα=λα，從而

Akα =Ak－1Aα =Ak－1λα = … = λkα，又因為1是單位矩陣的特征值，于是，

λkα =pEα =pα.

又 α≠0，所以 λk=p.

即其特征值滿足形如λk=ι的方程。

推論3.1 非奇異的n階k次廣義對合矩陣的特征值λ滿足形如λk=ι的方程(其中ι為某一非零常數)。

證明 根據性質3.1，n階k次廣義對合矩陣的特征值λ滿足λk=p。又根據非奇異矩陣的性質可知，非奇異的n階k次廣義對合矩陣的特征值λ一定滿足形如λk=ι的方程。

性質3.2 設A，B同為n階k次廣義對合矩陣Ak=pE，Bk=pE(k∈N －{0，1}，p≠0)且 A，B 可交換，同時AB=O，則A+B為n階k次廣義對合矩陣。

證明 因為A，B可交換且AB=O，所以AB=BA=O。

又因為 Ak=pE，Bk=pE(k∈N － {0，1}p≠0)，而(A+B)k

由最小數原理可知，一定存在k∈N－{0，1}，p＇∈R － {0}，并且記 p＇=2p，使得(A+B)k=p＇E。因此，根據定義可知，A+B是n階k次廣義對合矩陣。

4 小結

本文通過對n階k次對合矩陣進行類比研究，我們首先從n階k次廣義對合矩陣的逆矩陣、轉置矩陣、伴隨矩陣出發，得到了相關性質;與此同時，也得到了有關其特征值及其可逆矩陣的一些性質;最后，我們也得出了有關n階k次廣義對合矩陣的一些其它性質。由此可看出，我們已經得出了有關n階k次廣義對合矩陣的很多性質，對今后的矩陣研究有一定的幫助。

［1］北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數［M］.北京:高等教育出社，2003.

［2］張緒緒，劉青，劉紅娟.可逆n階k次冪等矩陣的性質［J］.延安大學學報(自然科學版)，2011，30(4):9 －11.

［3］徐剛，于永波.對合矩陣探討［J］.高師理科學刊(自然科學版)，2008，4(3):104 －108.

［4］葉克仁.對合矩陣［J］.麗水師專學報(自然科學版)，1991，12(1):10 －15.

［5］Roger A.Horn，Charles R.Johnson.Matrix Analysis［M］.China:Machine Press，2005.

［6］朱敏.一類常見矩陣的性質［J］.巢湖學院學報(自然科學版)，2002，4(3):6 －7.

Properties of Generalized Involutory Matrix of the Power of k

LIU Xing－xiang1，LIU Hong－juan2，YUE Yu－ying1，BAI Yong－ju3
(1.College of Mathematics and Computer Science，Yan an 716000，China;2.Heyang Gan Jing Middle School，Heyang 715300，China;3.Wubao County the Song jiachuan town Board of Educatiojn，Wubao 728200，China)

The definition of n×n generalized involutory matrix of the power k is given.By the analog of properties of n×n involutory matrix of the power k，then we study some properties of n×n generalized involutory matrix of the power k.At the same time，we also give some properties of n×n invertible generalized involutory matrix of the power k.

analogy;n×n matrix;involutory matrix of the power k;n×n generalized involutory matrix of the power k

O151

A

1004-602X(2012)02-0033-01

2012-04-12

劉興祥(1964—)，男，陜西合陽人，延安大學副教授。

10.3969/J.ISSN.1004－602X.2012.02.033

［責任編輯 賀小林］