熱膨脹引起的炸裂現象研究

劉雅君，張 珂

(1.延安大學 建筑學院，陜西 延安 716000;2.西安建筑科技大學 建筑學院，陜西 西安 710055)

熱膨脹引起的炸裂現象研究

劉雅君1，張 珂2

(1.延安大學 建筑學院，陜西 延安 716000;2.西安建筑科技大學 建筑學院，陜西 西安 710055)

玻璃杯受熱后，由于內外溫度變化不均勻而導致的炸裂現象進行理論分析，說明了產生炸裂現象的力學本質，同時對熱力管道中的熱應力也作了相應的分析。

玻璃杯;熱膨脹;軸對稱;熱力管道;熱應力

在日常生活中，人們手中的玻璃杯在迅速倒入沸水時，往往會“啪”的一聲炸裂，令人心悸，且往往產生了近似于沿豎向(杯高度方向)的裂口。類似的還有如熱力管道(特別是鑄鐵管)在突然注入高溫介質(溫度可達數百攝氏度)時，也往往產生爆裂，形成沿長度方向的裂紋。對于這類炸裂現象，定性分析表明，如將沸水迅速倒入玻璃杯內，則內外溫度變化不均勻，內表面受熱加劇，外表面冷，內表面因受熱而膨脹，但內側的膨脹又受到溫度較低的外側的約束，使完全膨脹受到妨礙，以致于在靠杯內壁的各點產生了較大壓應力，靠外壁的各點則產生了較大的拉應力。而象玻璃這一類脆性材料(從受力到斷裂，變形始終很小)，其抗拉強度比抗壓強度遠低(抗剪也低于抗壓)［1］，當所受的拉應力超過了材料的強度極限，即使外層脹破，造成炸裂。要避免的話，在倒入開水之前，先倒入少許溫水涮一下(預熱)，再倒入開水，杯子就不會炸裂，這也是人們熟知的常識了，同時也是文獻［2］中曾經提到的問題。但研究表明，熱脹與內壓產生的應力分布及破壞還是有很大區別的，以下將從理論上對壁內熱應力的分布進行分析，以說明玻璃杯等受熱炸裂現象的力學的本質。

1 理論模型和壁內的應力

實際中的玻璃杯可看成是有底的圓筒，其高度比直徑大很多(咖啡杯例外)，壁厚也在2 mm以上，參考圖1(a)可知，杯子在z方向的尺寸較大(z軸為對稱軸)，各橫截面的形狀相同，又為便于討論，近似認為玻璃為彈性體、內壁受熱和變溫沿z方向是均勻的、變溫關于z軸也對稱，從而使得壁內各點沿z方向的位移也相同(也就是線應變εz相同)，進而有平行于xoy平面的每一截面都有相同的位移和應力分布，因此，該問題也屬于軸對稱平面應變問題［3］。由于受熱和膨脹關于z軸對稱，使得壁內的應力分布也對稱于z軸。對于這樣的應力狀態軸對稱問題，若過垂直于z軸任意平面，取如圖1(b)所示的平面極坐標系，由于假設變溫T與θ無關(變溫關于z軸對稱)，只是r的函數，使得壁內各點的應力分量σ與應變分量ε也與θ無關，僅是r的函數.還由于物體的幾何形狀是軸對稱的，則玻璃杯受熱膨脹所受的約束條件也是軸對稱的，從而使得各點的位移也具有軸對稱性，即就是不管r、θ取何值，物體內各點不會有環向位移，但徑向位移不等于零，只是變溫與內壓［2］作用下情況不同的是，彈性體的線應變分量(對應的切應變仍為零)是由熱膨脹和由于熱膨脹時彈性體內各部分之間相互約束共同引起，即應變分量是兩部分疊加而成，它們和熱應力之間仍服從Hook定律，如取材料的彈性模量和泊松比分別為E和μ，線膨脹系數為α，溫升為T(℃)，則沿z方向的線應變應為+αT.若設杯的內外半徑分別為a和b，杯內壁溫度為(T)r=a=Ta，外壁溫度(T)r=b=0(Ta則代表溫升)的邊界條件，代入定常無內熱源軸對稱熱傳導方程中，可解得溫度隨 r的變化規律為再在靠外壁某點r、θ處(靠內壁的σθ為壓應力)，沿環向和徑向取一如圖1(b)所示的微元體，在不計自重的情況下，微元體各面上的徑向和環向正應力滿足下式［3］

圖1

式(1)中的A和B是兩個積分常數，可由r=a和r=b處σr=0的邊界條件得

將A和B的值代入式(1)后可得

顯然，σr和σθ都與r有關，進一步分析表明，在a＜r＜b范圍內，σr始終為負(壓應力，邊界處σr=0)，而在靠杯內壁各點的σθ為負(壓應力)，隨著r的增加，σθ由負漸變為正，在外壁處各點有最大的拉應力.如取a=3 cm，b=3．25 cm由式(2)第二式試算知，大約在r=3．11 cm 處 σθ=0，改變 a和 b，或者使壁增厚，σθ為零處都在靠內壁一側.由于σr始終為壓應力，且內外壁處為零，顯然，玻璃杯炸裂首先不是因為σr的作用，而是與σθ有關，當然還有第三個正應力σz，關于σz的分布情況，可分以下兩種情況討論。

2 沿z方向的正應力σz

σz與軸平行(圖中未畫出)，可由端部約束條件確定，如果設圓筒兩端是封固的，則有壁內各點沿z方向的線應變 εz=0［3］，應用廣義胡克定律［σz－μ(σr+σθ)］+αTa=0，以及式(2)可解得

由式(3)可以看出，σ2只與r和溫升有關，由于泊松比 μ 都比1 小很多(一般玻璃 μ =0．22［4］)，分析試算都表明，大括號中的第一項小于1，即在兩端封固的條件下，壁內各點的σz為壓應力，內壁處σz的絕對值最大，隨r的增加σz減小。

再按照圓筒兩端自由的條件考慮，則壁內各點沿z方向的膨脹是自由的，其線應變設為εz，則應力σz=εzE+μ(σr+σθ)－αETa，似乎σz與r和溫升都有關系，但實際上仍由于端面自由時，其上合力為零，即∫baσz2πrdr=0，故仍可斷定，在這樣的邊界條件下，仍有σz=0.而玻杯是上端自由底部封固，結果應用于此雖不嚴格成立，但可以推斷，當杯的高度較大時，厚壁內各點的σr、σθ仍與z無關，而當溫升和r一定時，σz沿z應有一分布，自由端各點為零，底部σz滿足式(3)，為壓應力，絕對值最大.可見，三個應力中，只有σθ在外壁附近為拉應力，所以，玻杯炸裂首先應考慮σθ的作用。

3 玻杯炸裂的分析

仔細觀察玻璃杯破壞時產生的裂縫可以發現，在筒身部位基本為豎縫，這主要是因為玻璃的抗拉強度低，如取 a=3 cm，r=b=3．25 cm，μ =0．22，溫升 Ta=95℃，α =9 × 10－6/℃，E=7．1 × 1010N·m－2［4］，由式(2)的第二式試算知，外壁處各點的最大環向拉應力(σθ)max在44 MPa以上，而一般厚度的普通玻璃，能經受的溫度是70～100℃，其抗拉強度在30 MPa到40 MPa之間(好一些的和鋼化玻璃較大)。可見，玻璃杯(還有熱力管破壞)炸裂，實質上是外側環向最大拉應力達到了極限引起的從外到內的拉裂破壞。與內壓力產生的破壞情況比較［2］，雖都由拉應力引起，都產生了可見的豎向裂縫，但后者則是:σθ始終為拉，內壁處拉應力最大，裂縫是從內側發展而來。

圖2

再看與杯底連接處，其豎縫未能延伸到底部，而與底部連接的是一斜裂縫，關于斜裂縫的形成是另有原因，即需要考慮σθ與σz的共同作用。如在式(2)第二式和式(3)中分別令a=3 cm，b=3．25 cm，μ=0．22計算知，在杯底部 r=b處的 σθ=0．628TaE，σz= － 0．862αTaE;r=a 處，σθ=－0．651αTaE，σz= － 1．144αTaE(σr=0). 再在靠杯底部內壁和外壁處，過任意點沿水平和豎直取微元體，其受力分別如圖2(a)和(b)，對應兩點應力狀態的莫爾應力圓為圖(c)和(d)(σθ，σz和σr=0都是主應力［1］)，由圖 2可見，過這兩點與 σz作用面(水平面)成±45°的兩正交的斜截面(與圓上的e、f點相對應)上，有一負一正大小相等的最大切應力τmax(其值是圓的半徑)，而正應力都為壓應力(e、f點的橫坐標)，所以，沿這兩個斜截面只能是剪壞。又由于外壁處切應力大于內壁處切應，故底部斜裂縫的形成是切應力引起的剪切破壞，且斜裂縫也是從外到內逐漸發展，然實際上因材質不均勻等因素，破裂角也不嚴格為45°。

4 熱力管道中的應力

關于熱力管道，雖傳輸流體的溫度很高，但因所產生的壁內應力與管內外溫差有關，象鋼管的導熱系數大，只要流體不是突然流入，在短時間內管內外溫度可趨于均勻，這樣環向和徑向熱應力的作用就不是主要的.主要是管道都與設備連接，若設備溫度變化，在管端產生位移，使管道縱向(長度方向)的膨脹不自由，由此產生的沿縱向的熱應力則是巨大的，在工程上解決該問題的方法是采用溫度補償器［5］，進行熱應力的減釋.突出問題是高溫高壓介質對管壁的內壓力(如火力發電機組的主蒸汽管道承受高溫氣體的內壓)，由此在壁內產生的環向和徑向應力類似于文獻［2］中討論的，在σθ作用下容易形成通長裂縫，所以，熱力管道都選用高抗拉強度的碳素無縫鋼管。

綜上所述，玻璃杯炸裂現象的實質是由于內外溫度變化不均勻，在壁內產生了較大的環向拉應力引起的拉裂破壞;而在底部，由于σθ與σz的共同作用，使得斜截面產生了最大的切應力，從而引起剪切破壞.而對于承受較大內壓的熱力管道容易在環向拉應力作用下形成通長裂縫，必須選用抗拉強度高的鋼材。

［1］袁海慶.材料力學［M］.武漢:武漢理工大學出版社，1987.8.

［2］劉雅君，薛琳娜，由壓力引起的破裂問題研究［J］.大學物理，2011，30(4).19 －21.

［3］吳家龍 .彈性力學［M］.上海:同濟大學出版社，1987.8.351－372.

［4］楊述武等 .物理實驗［M］.北京:高等教育出版，1987.2.262.

［5］曾福良.熱力管道的熱膨脹及其補償［J］.中小企業管理，2010.01.96－97.

Analyse about the Problem of Burst for Heat Expand

LIU Ya－jun1，ZHANG KE2
(1.School of Architecture，Yan an University ，Yan an 716000，China;2.College of Architecture Xi’an University of Architecture ＆ Technology，Xi an 710055，China)

The cup glass is heated and burst is analyzed，and explain burst reason of temperature change not evenly，and explain stress in heating power pipe.

cup glass;heat expand;axis of symmetry;hot stress

O343

A

1004-602X(2012)02-0047-03

2012-04-12

劉雅君(1954—)，女，陜西黃陵人，延安大學教授。

10.3969/J.ISSN.1004－602X.2012.02.047

［責任編輯 朱聯營］