彈頭侵徹明膠的運動模型＊

劉 坤，吳志林，徐萬和，莫根林

（南京理工大學機械工程學院，江蘇 南京210094）

明膠作為創傷彈道研究中一種常見的肌肉組織模擬物，具有與肌肉組織非常相似的粘彈性性質，且均勻透明，可直接觀察內部空腔變化，因此成為輕武器殺傷效能評估和創傷彈道研究的標準介質之一［1－3］。一些學者已對彈頭侵徹明膠的運動模型展開研究。B.Janzon［4］提出一種基于彈頭質心一維運動且忽略彈頭旋進的簡化運動模型；B.Kneubuehl等［5］和K.Sellier等［6］將彈頭在明膠中運動簡化為質心水平運動和繞心運動，且阻力系數CD和法向力系數CN為入射角的函數；N.Nestor［7］認為彈頭在高密度均一介質中做平面運動，可將運動簡化為質心的平動和繞質心的轉動，且阻力系數CD和升力系數CL為攻角δ的函數。可見，現有研究均認為彈頭在明膠中的攻角和偏角為同一概念，而區別這2個角度的模型未見報道。

本文中針對彈頭在明膠中的運動特點，結合明膠力學性質，并考慮攻角和偏角的區別，力求建立彈頭侵徹明膠較完善的二維運動模型（包括水平和垂直方向），為輕武器彈藥設計提供理論參考。

1 理論模型

1.1 基本假設

彈頭侵徹明膠時，發生失穩和翻滾，動能轉化為明膠變形能等。根據現有研究可知［6］，彈頭在明膠中運動過程如圖1所示，可分為以下2個階段：（1）“頸部”形成階段，基本處于穩定飛行狀態；（2）翻滾階段，即偏角迅速增大階段。

根據彈頭在明膠中運動特點，建模前引入如下假設：（1）彈頭為剛體，忽略變形與破碎；（2）忽略彈頭旋轉（陀螺效應）；（3）忽略彈頭重力；（4）忽略平面外的偏航，認為彈頭運動在包含軌跡的垂直平面內；（5）忽略科氏慣性力對彈頭運動的影響；（6）明膠為不可壓縮粘性流體。

1.2 運動模型

若彈頭侵入明膠攻角δ≠0，彈頭周圍壓力分布不對稱，對其表面的壓力分布積分得出的明膠作用力R1既不與彈軸平行也不與速度平行，且與彈軸相交于壓力中心。如圖2～3所示，若R1平移至彈頭質心處，可等效為合力R與翻滾力矩M，R又可分解為速度反向的阻力D以及與速度垂直的升力L。可見，彈頭在明膠中的運動由質心平動以及繞質心的轉動組成。阻力D及升力L的大小可表示為［8－9］

式中：ρ為明膠密度，v為彈頭速度，CD為阻力系數，CL為升力系數，A0為彈頭特征面積（取彈頭最大橫截面積，A0＝

圖2 小攻角入射時彈頭受力情況Fig.2 Force diagram of the bullet penetrating the gelatin with the small attack angle

圖3 翻滾階段彈頭受力情況Fig.3 Force diagram of the bullet tumbling phase

彈頭在明膠中運動初始階段，即形成空腔 “頸部”的階段，可看作穩定飛行階段，軌跡近似水平，速度為v≈xlx。彈頭出槍口時速度方向近似為水平，基本處于穩定狀態，如圖2所示。此時，可忽略升力對彈頭的影響，彈頭運動方程為

Type: Vietnam. Transplant collected from Son La Province, Van Ho District, Tan Xuan Municipality, Cot Moc Village, at ca. 1000 m a.s.l. 20°40′33.3″N, 104°39′0.3″E, 10 Nov 2015, L. Averyanov, CPC 7158a,b /13279 (holotype, LE, not seen).

He wrote a book called Between a Rock and a Hard Place.（他寫了一本名叫《進退兩難》的書。）

2.習作板塊設計。習作板塊的設計多種多樣，符合小學生的心理。據統計，人教版小學語文教材習作板塊有圖像的占31.2%（包括學習伙伴等圖像），有例文的占6.2%，而既沒有圖像又沒有例文的占56.2%。在教學中，習作教學這一專項是一大難題，出現師難教、生難寫尷尬局面。習作板塊的編排需要進一步完善，圖片、例文、資料等可以增多一些，才能真正激發學生習作的興趣。

式中：l為彈頭長度，CM為翻滾力矩系數。CM＝CM0sinδ，其中CM0為常數，不同彈丸取值不同［6］。

翻滾力矩M 可表示為［8］

彈頭侵入明膠后，有與明膠分離的現象，導致壓力中心前移，偏角增大，模型中偏角變化體現為彈頭繞其赤道軸的翻滾。此時，彈頭迎膠面與背膠面間形成壓力差；同時，因彈頭被粘性流體包裹，表面存在阻礙其翻滾的摩擦力，上述兩者的合力矩阻礙彈頭翻滾運動，稱為偏航阻尼力矩［8］

蘭博基尼Huracán Performante的駕駛艙布局和其每一處細節都意在為駕駛者打造出無與倫比的極致體驗。從腳墊到開關，蘭博基尼標志性的六邊形造型無處不在，卻絲毫沒有違和感。它的座椅如磐石般堅硬，方向盤由高摩擦力的材質包裹，電子液晶儀表的顯示效果一流，撥動右側的換擋撥片，踩下油門，我似乎進入了另一個世界。

1.2.1 “頸部”階段運動模型

根據空氣動力學原理，阻力系數CD為攻角δ的偶函數，阻力方向與δ的正負無關；升力方向與攻角δ的正負有關，所以升力系數CL是攻角δ的奇函數，在δ＝0°，90°時不存在升力，CD、CL可表示為［6－7］

1.2.2 翻滾階段運動模型

若彈頭偏角大于10°，認為“頸部”階段結束［7］，根據牛頓第二定律和動量矩定理，運動由質心平動和繞質心的轉動組成。

“頸部”階段結束后，彈頭速度方向發生變化，不再近似為水平，如圖3所示。因此，彈頭質心在平移運動中，阻力D和升力L在x、y方向上均存在分量，運動方程可表示為

式中：CD0為零攻角時阻力系數，C1為常數，CL0為常數，δ為攻角。

式中：CM為翻轉力距系數；Czz為偏航阻尼力矩系數導數。繞彈頭質心旋轉運動可以表示為

為了實現對3DGIS數字城市中海量精細化數字城市模型數據庫的組織與管理的高效性以及場景調度的實時性，作者在天津市三維數字城市系統開發中設計了一種基于四叉樹場景管理、模型分塊、多細節層次(LOD)的分頁數據庫的調度策略，該系統達到了瀏覽交互的實時性和高效性，且有很好的視覺效果。

式中：Ib為彈頭赤道轉動慣量，T為彈頭所受合力矩。

以彈頭入靶時刻為計時起點，出靶時刻為計時終點。入靶速度為625.5m／s，初始攻角為1.5°，初始偏角為1.5°，彈頭侵徹明膠運動過程如圖5所示。

分析繞彈頭質心旋轉運動，根據動量矩定理，彈頭圍繞質心旋轉運動方程為

式中：v2＝x2＋y2。

結合式（6）、（7）、（10），彈頭在明膠中運動方程可描述為

2 實驗驗證與結果分析

2.1 實驗方法

為驗證運動模型合理性，進行步槍彈侵徹明膠靶標實驗。實驗采用7.62和5.8mm彈道槍作為平臺，發射7.62和5.8mm普通彈各1發，共射擊2發。彈丸具體參數如表1所示；明膠靶標（尺寸為300mm×300mm×300mm）含明膠10%，實驗溫度為4℃。采用3臺高速攝像機進行拍攝，水平方向放置2臺（其中1臺用于拍攝明膠空腔），豎直方向放置1臺（與水平方向高速攝像機配合測量攻角）。

夏日的夜晚，明凈的月亮掛在天空，皎潔的月光灑在荷塘里，池面平靜得如明鏡一般，滿塘月色。朵朵荷花挺立在水中央，池塘邊傳來陣陣蟲鳴，蟋蟀愉快地叫著，蟈蟈歡快地開著“演唱會”，青蛙也隨著美妙的樂曲聲在水面荷葉上一蹦一跳，展現出優美的舞姿，打破了水面的平靜。

在筍期結束后1周內，可對林地覆蓋物進行清理運出，具體視天氣情況而定。清理時先將礱糠、竹葉依次取出堆好，留作下半年再次覆蓋。有機肥下層的竹葉及其腐爛物留在林地中，用鋤頭將上浮竹鞭清理干凈，然后施入有機肥進行翻耕，機器翻耕或人工翻耕均可。

表1 彈丸參數Table 1 Parameters of bullet

實驗原理及場景如圖4所示，天幕靶置于距離靶標2m處測量入靶速度，靶標沿彈道方向置于綜合靶架上，光幕和氣體燈置于距離明膠側1m處（氣體燈置于光幕后），高速攝影相機置于距離明膠另一側1.5m處，確保高速攝影相機鏡頭軸線與彈道在同一平面內，且與彈道方向垂直。

圖4 實驗裝置示意圖Fig.4 Schematic of experimental device

2.2 算例及模型實驗

2.2.1 7.62mm 普通彈

隨著生態文明納入中國特色社會主義事業“五位一體”總體布局以及長江經濟帶等一系列重大戰略的實施，國家對生態環境與經濟社會的協調發展提出了更高的要求。

綜上彈頭所受合力矩T為

?Niessen，C．，Weseler，D．＆ Kostova，P．，“When and why do individuals craft their jobs?The role of individual motivation and work characteristics for job crafting”，Human Relations，2016，9(6)，pp．1287 ～1313．

他呆在學校搞畢業創作，內容是一個坐在鋼琴前的女人，表情呆滯，形象有些變形，脖子很粗，略帶馬蒂斯、畢加索的畫風，色調灰暗，題目卻叫《我們的生活比蜜甜》。

圖5 7.62mm普通彈侵徹明膠過程Fig.5 Process of 7.62mm bullet penetrating the gelatin

圖6所示為x方向侵徹位移與時間關系曲線，由圖6可知，彈頭在靶標中運動的理論時間為654μs，實測時間為666.6μs。圖7所示為y方向偏移與侵徹位移關系曲線，由圖7可知，y方向位移理論最大值為12mm，實測值為20mm，則誤差值為8mm。圖8所示為速度與侵徹位移關系曲線，由圖8可知，“頸部”階段結束時速度理論值為523.755m／s，實測值為553.669m／s，且“頸部”階段速度衰減較慢；出靶速度理論值為270.463m／s，實測值為306.644m／s，速度偏差為36.181m／s，相對誤差為12%；圖9所示為偏角與侵徹位移關系曲線，由圖9可知，“頸部”階段結束時，侵徹位移理論值為0.137m，實測值為0.147m；出靶偏角理論值為181°，實測值為195°。

圖6 x方向侵徹位移時間關系曲線Fig.6 Relation between penetration depth in xdirectionand time

圖7 y方向偏移與侵徹位移關系曲線Fig.7 Relation between drift in y direction and penetration depth

圖8 速度與侵徹位移關系曲線Fig.8 Relation between velocity and penetration depth

圖9 偏角與侵徹位移關系曲線Fig.9 Relation between yaw angle and penetration depth

圖10所示為偏角隨侵徹位移、時間變化曲線，圖11所示為角速度、角加速度隨時間變化曲線。由圖10～11可知，侵徹位移為0.289m，偏角為154°時，角速度達到最大值11.66rad／ms；侵徹位移為0.235m，偏角為57°時，角加速度達到最大值40.99rad／ms2。

圖10 偏角隨侵徹位移和時間變化曲線Fig.10 Yaw angle varied with penetration depth and time

圖11 角速度和角加速度隨侵徹位移變化曲線Fig.11 Angular velocity and angular acceleration varied with penetration depth

2.2.2 5.8mm 普通彈

以彈頭入靶時刻為計時起點，出靶時刻為計時終點；入靶速度為862.6m／s，初始攻角為1°，初始偏角為1.4°，彈頭侵徹明膠運動過程如圖12所示。

圖12 5.8mm普通彈侵徹明膠過程Fig.12 Process of 5.8mm bullet penetrating the gelatin

圖13所示為x方向侵徹位移時間關系曲線，由圖13可知，彈頭在靶標中運動的理論時間為500μs，實測時間為524μs。圖14所示為y方向偏移侵徹位移關系曲線，由圖14可知，y方向位移理論最大值為16mm，實測值為25mm，則偏差值為9mm。圖15所示為速度與侵徹位移關系曲線，由圖15可知，“頸部”階段結束時速度理論值為745.018m／s，實測值為753.518m／s，且“頸部”階段速度衰減較慢；出靶速度理論值為358.122m／s，實測值為320.864m／s，速度偏差為37.258m／s，相對誤差為11.7%。圖16所示為偏角侵徹位移關系曲線，由圖16可知，“頸部”階段結束時，侵徹位移理論值為0.12m，實測值為0.11m；出靶偏角理論值為235°，實測值為248°。

圖13 x方向侵徹位移時間關系曲線Fig.13 Relation between penetration depth in xdirection and time

圖14 y方向偏移與侵徹位移關系曲線Fig.14 Relation between drift in y direction and penetration depth

圖15 速度與侵徹位移關系曲線Fig.15 Relation between velocity and penetration depth

圖16 偏角與侵徹位移關系曲線Fig.16 Relation between yaw angle and penetration depth

圖17所示為偏角隨侵徹位移、時間變化曲線，圖18所示為角速度、角加速度隨時間變化曲線。由圖17、18可知，侵徹位移為0.261m，偏角142°時，角速度達到最大值18.49rad／ms；侵徹位移為0.217m，偏角為57°時，角加速度達到最大值111.7rad／ms2。

圖17 偏角隨侵徹位移和時間變化曲線Fig.17 Yaw angle varied with penetration depth and time

圖18 角速度和角加速度隨侵徹位移變化曲線Fig.18 Angular velocity and angular acceleration varied with penetration depth

根據創傷彈道學理論可知，肌體致傷的決定性因素包括彈頭初速及其在肌體中的翻滾能力。由圖9、16和圖5、12可知，5.8mm普通彈比7.62mm普通彈翻滾力矩更大，“頸部”長度較短，速度衰減較快，傳遞能量較大，形成空腔較大，致傷效果較好。

3 結 論

在實驗基礎上，建立包括水平和垂直方向彈頭侵徹明膠的二維運動模型，以7.62mm普通彈和5.8mm普通彈為殺傷元，根據龍格－庫塔法原理對運動模型進行數值計算，得出2種彈丸侵徹位移、y方向位移、速度、偏角、角速度及角加速度的變化規律；運動模型的理論值與實測值一致性較好，能夠準確的描述彈頭侵徹明膠的運動過程，可為彈藥設計和戰傷救治提供理論參考。

［1］劉蔭秋，王正國，馬玉媛.創傷彈道學［M］.北京：人民軍醫出版社，1991.

［2］高乃同.自動武器彈藥學［M］.北京：國防工業出版社，1990.

［3］Nicholas N C，Welsch J R.Ballistic gelatin［R］.Institute for Non－Lethal Defense Technologies Report，2004.

［4］Janzon B.Caculations of the behaviour of small calibre，spin stabilized projectiles penetrating a dense medium［R］.Forskningsanstalt，Huvudafd，FOA Rapport，20041－M2，1975.

［5］Kneubuehl B，Sellier K.Wound ballistics：A new understanding of the behavior of a bullet in a dense medium［C］∥Preceedings of the 13th International Symposium of Ballistics.Stockholm，1992.

［6］Sellier K，Kneubuehl B.Wound balllistics and the scientific background［M］.USA：Elsevier Science，1994.

［7］Nestor N.Theoretical study of the motion of a rigid gyro－stabilized projectile into homogeneous dense media［C］∥Preceedings of the 24th International Symposium of Ballistics.New Orleans，2008.

［8］王中原，周衛平.外彈道設計理論與方法［M］.北京：科學出版社，2004.

［9］Molitz H，Strobel R.External Balllistics［M］.Berlin：Springer－Verlag，1963.