金屬約束下定常非理想爆轟的理論研究＊

于 明，孫宇濤，張文宏

（北京應用物理與計算數學研究所，北京100094）

高能炸藥非理想爆轟問題，是爆轟物理學領域非常重要的研究內容，關系到對炸藥直徑效應、熄爆速度、約束效應以及驅動效率等爆轟規律的認識，特別是鈍感炸藥（insensitive high explosive，IHE）的非理想爆轟更受關注。與敏感炸藥爆轟相比，鈍感炸藥爆轟具有2個特點：（1）爆速更低；（2）化學反應區更寬，因此鈍感炸藥的非理想爆轟現象更顯著。

對炸藥非理想爆轟問題的理論研究開展很早，主要理論有2類［1］：一類是流管方法，另一類是彎曲陣面法。流管方法以F.Wecken等［2］的工作為主，假定前導波陣面是平面，波后產物流線圍成的流管截面是逐漸擴大的，發散流動被認為是一維的。彎曲陣面法以J.B.Bdzil等［3］的工作為主，假定前導波陣面形狀為已知曲面（如一定半徑的球面等），波后流動是二維的。需指出的是，J.B.Bdzil等［3］的工作是W.W.Wood等［4］的軸線一維理論成果的推廣，初步揭示了二維反應區結構的特征，但在計算聲速面時面臨較大困難。近年來，出現更多的理論方法試圖給出較精確的反應區結構特征，如W.B.Brown等［5］的最大熵增理論和S.D.Watt等［6］的流線理論等。最大熵增理論指出，對定常、自持爆轟，在流線上前導沖擊波與聲速線之間的熵增最大，由此可由變分方法確定前導波陣面后聲速線的位置。流線理論假定波后流線是發散的直線，給定爆轟速度的徑向變化關系后沿所有流線求解可以給出波陣面形狀與聲速線位置。以上這些理論方法僅考察了無約束或弱約束條件下的非理想爆轟流動，這些條件下聲速線與前導波陣面在炸藥邊緣處交于一點，而金屬約束（強約束）條件下聲速線與前導波陣面并不相交，并且這些理論方法只給出聲速線的位置，而未給出化學反應結束線的位置，而且，這些理論方法對未反應炸藥和爆轟產物均采用較簡單的多方指數狀態方程。

本文中對鋼和鋁約束條件下鈍感炸藥PBX9502的定常非理想爆轟狀態進行理論研究。理論分析可知，在惰性金屬施加的強約束條件下，爆轟流場中聲速線與前導沖擊波陣面的相對位置同金屬壓縮性相關，這一點與無約束或弱約束條件下的非理想爆轟流動顯著不同。當金屬對炸藥約束作用時，爆轟前導沖擊波折射進入金屬，爆轟沖擊邊緣角由未反應炸藥的沖擊波極曲線和金屬的沖擊波極曲線的匹配關系確定。為了更準確地分析，對未反應炸藥和爆轟產物均采用JWL形式狀態方程，對金屬采用p（r，T）形式的狀態方程［7］，炸藥化學反應模型中采用三項式Lee－Tarver反應率［8］。采用過爆轟前導沖擊波的流線偏轉角在影響域內沿高度線性變化的假設，則由斜沖擊波極曲線關系式可以求出前導沖擊波陣面的形狀。采用前導沖擊波陣面之后的流場中的流線是直線的假設，則爆轟流動控制方程由偏微分方程變為沿流線的常微分方程，沿著所有流線求解便給出聲速線與化學反應結束線的位置。理論分析同時給出約束金屬折射沖擊波后面的流體的流動狀態。

1 爆轟前導沖擊波陣面形狀的求解

金屬約束條件下高能炸藥的定常非理想爆轟流動狀態如圖1所示。如果把參考坐標放在爆轟前導沖擊波陣面OA與金屬界面的交點O點上，則該交點附近的流動被定常化。金屬與炸藥爆轟波相互作用時，爆轟受邊界側向膨脹的影響呈非理想狀態，因此炸藥－金屬界面附近的前導沖擊波陣面變彎曲，如果炸藥厚度Y足夠大，變彎曲的前導沖擊波高度被認為是L（圖中OE段），則大于L處的前導沖擊波陣面仍是平面，前導沖擊波后的聲速線為BC，化學反應結束線為BD。這時前導沖擊波前的流動被認為是速度大小為DCJ的均勻來流。爆轟波與金屬相互作用時，首先是前導沖擊波在金屬中發生折射，因此將爆轟波極曲線建立于前導沖擊波上。前導沖擊波的沖擊狀態由未反應炸藥物性決定，因此給定未反應炸藥狀態方程和波前來流速度，可以由前導沖擊波的極曲線關系得到過前導沖擊波的流動偏轉角θ。在邊界處，由于前導沖擊波后面的流動是亞聲速的，因此前導沖擊波在炸藥－金屬界面上不會產生任何反射波，這時爆轟沖擊邊緣角θe（前導沖擊波陣面與金屬界面在他們交點處的夾角）由未反應炸藥前導沖擊波極曲線與金屬折射沖擊波極曲線決定，并且這2條沖擊波極曲線有共同的初始點（初始壓力和初始流線轉折角均為0）。

圖1 金屬約束條件下高能炸藥的定常非理想爆轟流動狀態Fig.1 Steady non－ideal flow of detonation in high explosives confined by metal

為了求出爆轟前導沖擊波陣面的幾何形狀，假定前導沖擊波陣面由函數xf＝xf（yf）來描述，并用α表示波陣面與波前速度之間的夾角，則有沖擊波陣面函數斜率關系式

考慮到金屬約束時爆轟沖擊邊緣角較小，這里采用過前導沖擊波的流線偏轉角在邊界影響域內沿高度線性變化的假設，即在沖擊波陣面OE段上有如下關系式

對未反應炸藥，采用JWL形式的狀態方程，其斜沖擊波極曲線關系式為

對金屬，采用p（r，T）形式的狀態方程，有如下表達式

上述3項分別表示冷壓（冷能）、原子核熱壓（原子核熱能）和電子熱壓（電子熱能），每項具體表達式見文獻［7］，由此有其折射沖擊波極曲線關系式

式（2）中的爆轟沖擊邊緣角θe由未反應炸藥前導沖擊波極曲線（3）和金屬折射沖擊波極曲線（4）的交點決定。圖2中給出了鋼和鋁約束PBX9502炸藥時未反應炸藥與金屬的沖擊波極曲線匹配關系，實線為未反應炸藥極曲線，虛線為金屬極曲線，點“Cm”為金屬聲速點狀態。由圖中極曲線交點可知，鋼約束時θe＝4.20°，鋁約束時θe＝2.28°。

從上述思路可見，確定爆轟沖擊邊緣角以后，前導沖擊波后任意位置處的流動偏轉角θ由式（2）給出，并由式（3）迭代求出前導沖擊波后的壓力p和相對體積v－，進而可求出波陣面與波前速度之間的夾角α，最終由式（1）獲得爆轟前導沖擊波陣面的幾何形狀。

圖2 未反應炸藥與金屬的沖擊波極曲線Fig.2 Shock polar match of unreacted explosive and metals

2 爆轟化學反應區聲速線和化學反應結束線的求解

爆轟化學反應區流場可由如下計化學反應的二維可壓縮定常無粘流動方程來描述

式中：F為爆轟產物的質量分數，Rρ，（p，F）為三項式Lee－Tarver反應率［8］。

為方便求解，將方程組（5）寫成如下矢量－矩陣形式

式中：q＝［ρ，u，w，F］T，s（q）＝［0，0，0，R／u］T，且有通量矩陣H（q）如下

從偏微分數學理論可知，式（6）的通量矩陣有4個特征值：2個為實數，2個為復數，故它為雙曲－橢圓型方程。對于實數特征值，當dy／dx＝w／u時，在特征線上成立

這樣，偏微分方程（5）變成為沿特征線方向的常微分方程式（7）。

這里采用爆轟前導沖擊波陣面之后的流場中的流線是直線的假設，則對前導沖擊波陣面上的任一點以及此點處的流線偏轉角θ，有過該點的流線方程為

由定常流體力學理論知，定常流動的流線就是特征線，故可得

聯立式（7）和（9），即沿流線方向求解，可獲得任意x位置處的流動狀態。

特別地，在u2＋w2＝c2F處，且cF為保持爆轟產物質量分數不變時的凍結聲速，此處即為聲速線的位置。在F＝1處，此處即為化學反應結束線的位置。

Lee－Tarver反應模型要求對化學反應區采用溫度和壓力平衡以及體積和能量可加的混合原則。在此原則下凍結聲速的計算式推導如下。由化學反應區混合原則有

式中：下標s表示未反應炸藥，g表示氣體產物，T為溫度，Q為單位質量炸藥化學反應釋放的能量。

則凍結聲速可以寫成如下表達式

式（10）和（11）聯立起來經過迭代可以消去中間變量vs從而得到cF。

3 金屬折射沖擊波后的流動狀態

金屬采用p（r，T）形式的狀態方程時折射沖擊波后等熵聲速表達式為

由式（4）和式（12）聯立起來可以確定折射沖擊波后流動是超聲速還是亞聲速。

4 鋼和鋁約束條件下鈍感高能炸藥的結果分析

PBX9502炸藥的化學反應率參數見文獻［8］，在金屬約束條件下定常傳播的爆轟波受邊界影響的前導沖擊波高度L可由文獻［1］中相關公式估計。理論分析同高精度的二維Lagrange流體力學方法的數值模擬進行了比較。數值模擬時，炸藥厚度為2.0cm，金屬厚度為0.5cm，長度均為6.0cm；離散網格劃分為250cm－1，總網格數約為1 000 000。

圖3中給出了獲得的鋼和鋁約束下物質界面附近的爆轟前導沖擊波陣面形狀以及聲速線和化學反應結束線的位置，其中實線為理論計算結果，虛線為數值模擬結果。從比較結果可以看出，在2種金屬約束條件下理論結果同數值結果符合得較好。爆轟前導沖擊波陣面形狀符合得好，說明采用的流線偏轉角是線性變化的假設是合理的。聲速線和化學反應結束線符合得好，說明采用前導沖擊波陣面之后的流場中的流線是直線的假設是合理的。

從圖中結果也可以看出，在金屬界面附近，在流動達到聲速以后經過一定距離化學反應才結束，這正是非理想爆轟的特點。在金屬約束條件下，爆轟化學反應區流場中聲速線與前導沖擊波陣面不相交，這一點與無約束或弱約束條件下的非理想爆轟流動顯著不同。

從圖中結果還可以看出，由于鋼的聲阻抗（3.658g／（cm2·ms））較大而難于壓縮，因此鋼折射沖擊波后面的流動是超聲速；相反地，鋁的聲阻抗（1.495g／（cm2·ms））較小而易于壓縮，因此鋁折射沖擊波后面的流動是亞聲速。這與圖2中極曲線理論結果一致，圖2（a）中2曲線交點位于金屬聲速點下方，故流動為超聲速；圖2（b）中2曲線交點位于金屬聲速點上方，故流動為亞聲速。可見約束金屬可壓縮性的不同導致折射沖擊波后流動狀態不同。

圖3 金屬約束條件下非理想爆轟流動特征狀態Fig.3 Characteristic flow states of non－ideal detonation under metal confinement

5 結 論

本文中提出了一種研究高能炸藥定常非理想爆轟的理論方法。該方法采用了過爆轟前導沖擊波的流線偏轉角在影響域內沿高度線性變化以及前導沖擊波陣面之后的流線是直線這2點假設，并對未反應炸藥和爆轟產物采用JWL形式狀態方程，對金屬采用p（ρ，T）形式的狀態方程。本理論方法可以解析地求出炸藥前導沖擊波陣面的形狀，以及給出前導沖擊波后聲速線與化學反應結束線的位置，同時給出約束金屬內的流動狀態：當金屬聲阻抗較大時，金屬折射沖擊波后面的流動通常為超聲速，反之則為亞聲速。從本理論方法獲得的爆轟化學反應區結構特征和約束金屬內的流動特征這些典型結果看，與高精度Lagrange流體力學數值方法的模擬結果符合良好，說明本文的理論方法具有良好的合理性和適用性。同時，本理論方法的花費遠小于高精度Lagrange流體力學數值方法，說明本文的理論方法具有良好的高效性。

［1］孫承緯，衛玉章，周之奎.應用爆轟物理［M］.北京：國防工業出版社，2000.

［2］Wecken F.Non－ideal detonation with constant lateral expansion［C］∥Proceedings of the 4th International Symposium on Detonation.Silver Spring，Maryland，1965：107－116.

［3］Bdzil J B，Stewart D S.Modeling two－dimensional detonations with detonation shock dynamics［J］.Physics of Fluids A：Fluid Dynamics，1989，1（7）：1261－1267.

［4］Wood W W，Kirkwood J G.Diameter effect in condensed explosives：The relation between velocity and radius of curvature of the detonation wave［J］.Journal of Chemical Physics，1954，22（11）：1920－1924.

［5］Brown W B.Thermodynamics theory of non－ideal detonation and failure［C］∥Proceedings of the 12th International Symposium on Detonation.San Diego，California，2002：718－723.

［6］Watt S D，Sharpe G J.A streamline approach to steady non－ideal detonation theory［C］∥Proceedings of the 14th International Symposium on Detonation.Coeur d′Alene，Idaho，2010.

［7］經福謙.實驗物態方程導引［M］.2版.北京：科學出版社，1999.

［8］Tarver C M，McGuire E M.Reactive flow modeling of the interaction of TATB detonation waves with inert materials［C］∥Proceedings of the 12th International Symposium on Detonation.San Diego，California，2002：641－649.