數學軟件Mathematica在微積分教學中的應用*

禹 實，賈屹峰，王志高

(中國勞動關系學院，北京 100048)

數學軟件Mathematica在微積分教學中的應用*

禹 實，賈屹峰，王志高

(中國勞動關系學院，北京 100048)

在大學文科《微積分》的教學中利用符號計算軟件Mathematica的計算功能和繪制函數圖形的功能，增強數學教學的直觀性，激發學生的興趣，提高學習成績。

Mathematica;符號計算;微積分;畫圖

一、引 言

近年來，大學文科各專業普遍開設了數學課程作為必修課，對提高學生的數學水平和數學能力起到了一定作用。大學文科數學課基本上是理工類高等數學課的壓縮和簡化，一方面試圖把大量的基礎的高等數學知識介紹給學生;另一方面又受課時較少的限制必須精簡內容，于是普遍采取了重結論不重證明，重計算不重推理，重知識不重思想的講授方法。這種教學需要更好的數學基礎，但是，因為文理分科，大部分文科學生數學基礎也相對薄弱，甚至有些學生是因為數學成績差才放棄理工科，轉而學習文科。他們對數學的抽象性感到困惑，對枯燥的理論感到厭煩，而繁雜的計算、推導和證明更是感到痛苦，甚至使得某些學生產生厭惡感，從而放棄數學的學習。

隨著計算機在教學中的應用，各種符號計算軟件普遍用于大學數學的輔助教學。但是目前符號計算軟件在教學方面的應用主要是針對理工科學生，對文科學生目前比較少，而符號計算軟件對文科學生學習數學更有幫助。通過符號計算軟件，增強直觀性，達到對抽象問題的理解;通過在計算機上進行數學建模和數學實驗，使得學生感到數學不僅僅是枯燥的理論;大量的繁雜的計算、推導和證明都可以利用符號計算軟件讓學生在計算機上完成，學生不必花費大量的時間用于數學中的“非本質”性問題，從而把更多的時間用于加強“本質”性問題的學習。另外利用符號計算還可以拓廣學生的知識面，激發學生學習數學的興趣。在實踐教學中，我們利用Mathematica符號計算軟件輔助微積分教學。

二、Mathematica符號計算軟件簡介

Mathematica符號計算軟件是 Wolfram Research公司開發的一個專門進行數學計算的軟件。它的主要功能包括三個方面:符號演算，數值計算和圖形。Mathematica擁有強大的數學計算功能，支持比較復雜的符號計算和數值計算。能夠基本可以完成現在大學數學 (包括高等數學，微積分，線性代數，概率論等)的所有計算，許多的大學數學題目都可利用Mathmatica在計算上完成。Mathematica具有強大的畫圖功能，可以非常方便地作出各種方式表示的一元和二元函數的圖形，并且根據需要自由地選擇畫圖的范圍和精確度。通過對這些圖形的觀察，使得學生對一些數學問題有更加直接的認識。Mathematica還是一個交互式的計算系統，具有非常好的界面，輸入輸出都非常方便。另外，Mathematica中的命令都是數學中相應名詞的英語單詞，容易記憶，并且提供了非常好的幫助功能。

三、Mathematica在微積分中的應用

文科微積分主要內容包括極限理論、函數的連續性、微分、不定積分、定積分、多元函數微分、重積分。下面我們簡要介紹Mathematica在這幾方面教學中的應用。

1.極限與函數連續性

極限是微積分的基礎，也是教學的難點，特別是極限的ε－N與ε－δ定義比較抽象，學生理解比較困難。在教學中，可以利用Mathematica先畫出數列或者是函數的圖象，給學生一個直觀的印象。例如:可以利用命令

對于函數，利用Limit不但可以求出函數在無窮大或某一點的極限，而且還可以求函數的左極限和右極限，從而判斷函數的連續性。例如:用Limit可以直接求出的極限是。比較復雜，需要用羅比達法則計算的極限也都可以由Limit直接求出，例如求的極限:

如果函數在某一點的極限等于該點的函數值，則函數在這一點連續，因此，可以直接利用Limit求極限和函數在該點的值比較是否相等確定函數的連續性。對于間斷點，仍然可以利用Limit判斷是哪一類間斷點，

則左右極限不相等，故是跳躍間斷點。

類似，還可以判斷其他的間斷點類型。

2.導數與微分

導數始終貫穿著整個微積分的學習，在微積分中起著舉足輕重的作用，簡單的低階導數容易計算，復雜函數或者高階導數，特別是二元函數的高階導數計算就比較復雜了。二元函數本身就比較復雜，圖象是三維的，需要有比較好的空間想象力。利用Mathematica中畫圖函數Plot3D能夠比較精確地畫出二元函數的三維圖象，這樣對二元函數的理解更為直觀。

圖4，圖5是用Plot3D畫出的兩個二元函數f(x，y)=x2－y2，x2+y2+z2=1 的圖象。

Mathematica給出了計算導數的命令D，利用該命令，可以計算函數的任意階導數和隱函數的導數，并且可以完成一些簡單的推理和證明。

計算導數的命令與解方程的命令Solve或者Root結合，可以計算一元函數和二元函數的極值以及條件極值。

Mathematica中用Dt計算微分，該命令比較簡單，這里不詳細說明。

3.不定積分和定積分

積分是微積分學習的一個難點，一方面不定積分的公式比較多，計算過程中有很多的技巧;另一方面重積分的積分區域的確定比較難。

Mathematica中用Integrate計算不定積分和定積分。

例4求∫tan2xdx

利用Integrate計算得到的不定積分與正確結果相差一個常數C。在不定積分的基礎上，可以進一步計算定積分。

Integrate仍然可以計算重積分，但是積分區域的確定比較困難。這里我們利用Mathematica的繪圖功能，畫出圖象，根據圖象確定積分區域。

例5計算∫D∫xydxdy，其中D是由y=x2，y=x確定的區域。

則從上圖可以看出，x∈ [0，1]，y∈ [x2，x]，則

利用繪圖功能，可以進一步確定更復雜的積分區域。

四、結束語

微積分是大學文科學生的一個難點，將符號計算軟件引入微積分教學中，增強直觀性，再進一步理解抽象的內容，可以激發學生的學習興趣，提高學習成績，培養學生應用數學解決實際問題的能力。但是應避免學生對計算機的依賴。

[1]陽明盛，林建華.Mathematica基礎及數學軟件 [M].大連:大連理工大學出版社，2006.

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[6]趙樹嫄.微積分 [M].北京:中國人民大學出版社，2007.

The Application of Mathematic Software“Mathematica”in Calculus Teaching

Yu Shi，Jia Yifeng，Wang Zhigao
(China Institute of Industrial Relations，Beijing 100048，China)

In calculus teaching，we can strengthen intuitiveness of mathematics，motivate student’s desire of learning and improve student’s grades through applying the function of calculation and drawing functional digraph of Mathematica，the symbolic computation software．

Mathematica;symbolic computation;calculus;drawing

G642

A

1673－2375(2012)01－0115－04

2011－11－02

禹實 (1956—)，女，北京人，大學，中國勞動關系學院高職學院教授;賈屹峰 (1972—)，男，陜西西安人，博士，中國勞動關系學院基礎部講師;王志高 (1983—)，男，山東聊城人，碩士，中國勞動關系學院基礎部講師。

中國勞動關系學院教改課題《計算機代數系統與文科大學教學改革》(JG0917)資助項目;中國勞動關系學院院級課題《孤立子中的符號計算研究》(10YYA034)資助項目。

[責任編輯:寸 言]