滿足多約束的主動段能量管理制導方法

徐 衡 陳萬春

(北京航空航天大學 宇航學院，北京100191)

運載火箭穿越稠密大氣過程中，氣動力與發動機推力有著強烈的耦合關系，因此主動段制導問題一直都具有很強的挑戰性［1］.針對大氣層內的主動段制導問題，文獻［1－3］通過最優控制方法建立模型，使用經典有限差分法求解兩點邊值問題，得到滿足最優指標的閉環制導規律.然而隨著近年來高超音速飛行器的不斷發展，高超音速飛行器運載任務對運載火箭制導系統提出了更高的要求，僅僅得到最優制導規律是不夠的.

對于高超音速飛行器運載任務，運載火箭制導系統需要滿足多種終端約束條件.如高超音速飛行器X-43，在主動段終端要求速度方向沿當地水平方向，即當地彈道傾角為0.對于指定射程彈道，主動段終端速度的大小必須為指定值.為滿足分離要求，主動段終端攻角需較小，且分離前需保持定軸飛行，即姿態角變化率為0.同時，在飛行過程中還需要滿足動壓、動壓攻角乘積、過載、姿態角變化率的過程約束條件.上述約束條件對于帶關機控制的液體火箭發動機來說比較容易實現，但對于目前廣泛使用的耗盡關機型固體火箭發動機來說，則需要通過能量管理來消耗多余能量，以滿足上述終端約束條件.

針對固體火箭主動段能量管理問題，各種方法都是通過控制推力與速度之間夾角來消耗多余能量的.

文獻［4］和文獻［5］提出了一種在主動段初期進行折線式能量管理機動的方法，即設計姿態角為折線式指令來消耗多余能量.然而該方法僅在主動段初期很短的時間內作用，而且離線設計姿態角指令，較為粗糙.其主動段后期制導方法以滿足位置和速度方向要求為目標，對于終端速度大小無法控制，因此不能滿足高超音速飛行器運載任務的要求.文獻［6］在真空飛行假設下提出交變姿態控制能量管理(AEM，Alternate Attitude Control Energy Management)方法.該方法是一種開環制導方法，又是在真空飛行假設下推導得到的，因此不適用于大氣層內的主動段制導問題.文獻［7］，也是在真空飛行假設下，提出一般能量管理(GEM，General Energy Management)方法.該方法是一種閉環制導方法，真空飛行假設對制導精度影響不大，然而該方法會導致終端攻角以及終端姿態角變化率過大，因此不能滿足上述終端約束條件.

本文基于控制推力和速度之間夾角來實現主動段能量管理的思路，綜合交變姿態控制能量管理AEM和一般能量管理GEM的優點和適用范圍，結合高超音速飛行器運載任務的制導約束條件，提出了樣條能量管理(SEM，Spline Energy Management)制導方法，并針對分離前定軸飛行約束條件進行了修正.以三級運載火箭為例進行仿真，通過AEM，GEM和SEM對比，驗證了樣條能量管理制導方法的可行性.

1 主動段模型及能量管理制導方法

1.1 數學模型

在速度坐標系下建立運載火箭主動段質心動力學方程如下:

其中，m為質量;v為速度;α為攻角;θ為彈道傾角;P為推力;G為重力;D為阻力;L為升力.

在發射坐標系下建立運載火箭主動段質心運動學方程如下:

其中，x為發射坐標系橫軸坐標;y為發射坐標系縱軸坐標.

1.2 能量管理制導方法基本原理

為闡述主動段能量管理制導方法的基本原理，首先在俯仰平面內引入坐標系見圖1.某一時刻的速度矢量為V，其與x軸的夾角Θ為當地彈道傾角.根據主動段結束時當地彈道傾角為0的終端約束條件，期望速度矢量VD沿x軸，其大小為指定值vD.由此可得到需用速度增益矢量為

其中，ΔV的大小為Δv，即需用速度增益.一般來說，需用速度增益比可用速度增益要小.簡單起見，在只考慮發動機推力對飛行器的加速能力時，可用速度增益VCAP可由式(6)估算:

其中，t為當前時刻;tf為主動段結束時刻;tgo為剩余飛行時間;m·為質量秒流量，取正值.

圖1 能量管理基本原理圖

得到ΔV和VCAP后，主動段能量管理制導方法的基本原理是設計如圖1虛線所示的VCAP曲線，使其通過ΔV的起點和終點，并且曲線長度為VCAP，進而控制發動機推力矢量P與曲線相切，即通過俯仰角φ控制當地俯仰角Φ，使速度矢量V跟蹤該曲線最終達到期望速度矢量VD.

1.3 樣條能量管理SEM

在Zarchan提出的一般能量管理GEM中，VCAP曲線被設計成圓弧形狀，但會產生較大的終端攻角，不能滿足終端約束條件.為滿足終端攻角較小的約束條件，VCAP曲線可以設計成樣條曲線形狀，如圖2所示，因此將這種方法稱為樣條能量管理SEM.

圖2 樣條能量管理SEM

在圖2中，可用速度增益VCAP被分為由發動機推力產生的可用速度增益VTCAP和由重力產生的可用速度增益VGCAP.在進行能量管理的高度，相比發動機推力和重力，空氣動力對可用速度增益的貢獻可以忽略不計.因此，可用速度增益VCAP可以表示為

考慮當地水平方向相對初始水平方向的轉動效應，VGCAP可以表示如下:

其中，fM為3.986005×1014;r為火箭質心到地心的距離;β·為射程角變化率.由于重力始終與當地水平方向垂直，因此VGCAP曲線為垂直于x軸的直線，曲線長度為VGCAP，如圖2所示.

VTCAP可以由式(6)得到:

由圖2可知，VTCAP曲線為樣條曲線，則其表達式為三次多項式:

其中 A，B，C，D 為 f(x)的待定系數.將式(10)左右兩端對x求導可以得到:

為確定f(x)的待定系數，考慮如下條件.如圖 2 所示，VTCAP曲線的起點為(vcos Θ，vsin Θ)，終點為(vD，VGCAP)，曲線長度為VTCAP，連接起點和終點的矢量為ΔV′，其大小為Δv′.由終端約束條件可知，終端攻角αf要趨近于0，αf可以表示為

其中終端當地彈道傾角Θf為0，則終端當地俯仰角Θf要趨近于0.由式(9)可知，VTCAP為發動機推力全部用于加速而產生的可用速度增益，則發動機推力矢量P顯然與VTCAP曲線相切，即

因此，f′(x)在終端處要求為0.由此可以得到求解f(x)4個待定系數的4個條件方程如下:

得到VTCAP曲線f(x)后，建立指令俯仰角模型見圖3.為保證速度矢量V跟蹤VTCAP曲線，在給定的當地水平速度下，將當地鉛垂速度與f(x)的偏差ΔvV，以及當地俯仰角Φ與f′(x)反正切的偏差ΔΦ作為反饋控制偏差量，則由圖3可得

其中KV和KP為偏差量比例系數.為保證飛行過程中俯仰角變化率幅值小于10(°)/s的約束條件，將φ·限幅后進行積分得到指令俯仰角φ，使速度矢量V跟蹤VTCAP曲線，最終達到期望速度矢量VD.在仿真過程中，VTCAP曲線實時更新.為保證式(14)有解，如圖2所示，要求 VTCAP始終比 Δv′大，因此當 VTCAP接近 Δv′時，VTCAP曲線停止更新，并生成新的樣條曲線將速度矢量直接導向期望速度矢量，而不是導向點(vD，VGCAP).

圖3 指令俯仰角模型

1.4 分離前定軸飛行修正

為了滿足終端分離前定軸飛行的約束條件，在終端分離前tS內，將樣條曲線設計成沿橫軸的直線，如圖4所示，同時考慮重力在終端分離前tS內對速度的影響，將終端分離前tS時刻的期望速度設定為(vDS，VGCAPS).圖4中VGCAPS為tS內重力產生的可用速度增益，VTCAPS為tS內發動機推力產生的可用速度增益，VTCAPR為終端分離前tS之前發動機推力產生的可用速度增益，顯然

其中，vDS為終端分離前tS時刻的當地水平期望速度，由圖4可知

如圖4所示，在終端分離前tS之前，忽略終端分離前tS之前重力產生的可用速度增益，以(vDS，VGCAPS)為終點對VTCAPR曲線進行樣條能量管理，終端分離前tS內，將VTCAPS曲線設計成沿橫軸的直線以滿足終端分離前定軸飛行的約束條件，同時滿足終端速度為指定值，終端當地彈道傾角為0，終端攻角較小的終端約束條件.

圖4 滿足分離前定軸飛行的樣條能量管理

2 SEM制導方法仿真結果

本文以三級運載火箭為例研究運載火箭主動段制導問題.首先根據主動段數學模型，優化得到符合過程約束和終端約束的主動段最大終端速度彈道.運載火箭第1，2級按照最大終端速度彈道飛行，第3級采用樣條能量管理SEM制導方法飛行，以滿足各項終端約束條件.

設定期望速度為6000 m/s，在第3級開始階段，終端分離前tS之前，通過實時更新計算得出VTCAP曲線，速度曲線則跟蹤VTCAP曲線，如圖5所示.在圖6 中，當 VTCAP接近 Δv′時，VTCAP曲線停止更新，并生成一條新的樣條曲線將速度矢量直接導向終端分離前tS時刻的期望速度，如圖5所示.樣條曲線系數更新變化如圖7所示，12.6 s后樣條曲線系數均為常值，即VTCAP曲線停止更新，新的樣條曲線系數不再變化.終端分離前tS內，VTCAP曲線為沿當地水平速度方向的直線，如圖5所示，樣條曲線系數均為0，如圖7所示.

圖5 樣條能量管理(SEM)仿真結果

圖6 第3級速度增益曲線

圖7 歸一化樣條曲線系數

仿真結果同時還滿足動壓、動壓攻角乘積、橫向過載以及俯仰角變化率的過程約束條件，見圖8.主動段指令俯仰角和彈道見圖9、圖10.最終，如圖11～圖14所示，終端速度為6000.0 m/s，終端當地彈道傾角為0.029 287(°)，終端攻角為3.1712(°)，終端分離前5 s俯仰角變化率為0，滿足各項終端約束條件。

圖8 過程約束變量曲線

圖9 第3級指令俯仰角曲線

圖10 主動段彈道

圖11 第3級速度曲線

圖12 第3級當地彈道傾角曲線

圖13 第3級攻角曲線

圖14 第3級俯仰角變化率曲線

3 AEM，GEM和SEM對比分析

針對與主動段終端約束相關的速度、當地彈道傾角、攻角以及俯仰角變化率，對 AEM，GEM和SEM進行對比，如圖11～圖14所示.由圖11可以看出，GEM和SEM的速度曲線最終都能達到期望速度值，而AEM是基于真空飛行假設的開環制導方法，真空飛行假設引入的誤差不能在閉環內修正，導致AEM速度曲線偏離期望速度.同樣的，在圖12中GEM和SEM的當地彈道傾角曲線最終都收斂到0，而AEM的終端當地彈道傾角與0還有一定的偏差.GEM方法雖然滿足速度和當地彈道傾角的終端約束，但在圖13中可以看出，GEM的終端攻角非常大，且如圖14所示，GEM的終端分離前俯仰角變化率也非常大.通過對比分析可以看出，閉環方法GEM和SEM相比開環方法AEM在制導精度上有明顯的優勢，SEM相比GEM在滿足制導精度的同時還能夠較好的滿足終端攻角約束條件以及俯仰角變化率約束條件.因此，樣條能量管理SEM能夠滿足主動段各項約束條件，為運載火箭主動段制導提供了一種新的方法.

4 結論

1)提出了一種新的樣條能量管理SEM運載火箭主動段制導方法，并針對分離前定軸飛行約束條件進行了修正.通過三級運載火箭仿真結果，驗證了該方法的可行性.

2)通過AEM，GEM和SEM的對比分析，明確了樣條能量管理SEM制導方法的優越性，為高超音速飛行器運載任務主動段制導提供了一種新的方法.

3)研究過程中主要考慮了主動段制導的終端約束條件，對于過程約束條件僅考慮了動壓、動壓攻角乘積、橫向過載以及俯仰角變化率的約束，其他過程約束對樣條能量管理SEM制導方法的限制和影響有待進一步研究以完善該方法。

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