需求信息共享供應鏈系統穩定域內的優化

王 晶 楊 歡 韓偉偉

(北京航空航天大學 經濟管理學院，北京100191)

供應鏈管理水平對企業的競爭能力有重要影響，因此，供應鏈系統的優化設計是企業供應鏈管理的核心內容之一.通過供應鏈系統的優化設計，可以改善企業的物流活動，降低企業的生產經營成本，進而提高企業的整體供應鏈績效水平.供應鏈的穩定運行是保證供應鏈整體優化和長期競爭優勢的必要條件.從這個意義上看，供應鏈的穩定性［1－2］是供應鏈的重要績效指標.國內外關于供應鏈及其優化的研究成果很多［3］，涉及的供應鏈種類繁多，優化方法各異，但絕大部分采用遺傳算法.供應鏈優化建模標準也有不同，以供應鏈價值最大化、交貨費用最小化和供應鏈成本最小化等作為優化目標的研究較為普遍.文獻［4］用控制論的方法研究供應鏈系統優化問題，對庫存控制系統通過遺傳算法進行了優化，定義了5個優化指標:庫存恢復能力、噪聲帶寬、生產穩定性、在制品信息滯后穩定性和選擇性，取這些指標的加權平均值作為優化目標.文獻［5］研究了供應商管理庫存(VMI，Vendor Managed Inventory)供應鏈系統動態響應特性的優化，優化目標為分銷商與系統的庫存恢復能力和噪聲帶寬的加權平均值.

本文針對需求信息共享的二級供應鏈系統，研究在其穩定域內進行系統優化的問題.首先通過考察系統參數對系統穩定性的影響，確定系統的穩定域;然后利用多目標算法NSGA－Ⅱ考察系統穩定性指標在系統穩定域內的最優解的分布情況;最后分析系統參數對系統最優狀態下的各種穩定性指標的影響，研究最優參數的不同取值對提高系統整體穩定性的決策意義.

1 需求信息共享的供應鏈系統模型

文獻［6］利用系統動力學方法提出了APIOBPCS(Automatic Pipeline Inventory and Order Based Production Control System)模型，在此基礎上，文獻［7－8］建立了需求信息共享(DIS，Demand Information Sharing)二級供應鏈系統模型(DIS－APIOBPCS)，模型中包含制造商和分銷商.該系統模型的框圖如圖1所示.

圖1 需求信息共享二級供應鏈系統模型

本文針對這種需求信息共享二級供應鏈系統，研究在其穩定域內進行系統穩定性指標的優化問題，使用的供應鏈系統變量如下.

需求預測:

期初庫存:

期初在制品:

到貨量:

據文獻［9］可知 DIS－APIOBPCS系統中，制造商的訂貨量的傳遞函數為

其中

式中，Ta為需求預測數據的平滑期數，Ta=(1－α)/α，其中α為使用指數平滑法進行需求預測時的平滑系數，Ta越小，需求預測在影響生產率的因素中權重越大;Tp為提前期參數;Ti為庫存調節參數，描述庫存偏差對生產率調節，Ti越小庫存信息在影響生產率的因素中權重越大;Tw為在制品調節參數，描述在制品偏差對生產率調節，Tw越小，在制品信息在影響生產率的因素中權重越大.

假設在二級供應鏈中，制造商使用固定的平滑系數進行需求預測，而且系統的生產提前期也是固定的，則在保持Ta和Tp不變的情況下(Ta=5，Tp=1)，通過仿真實驗［9］，可以確定該系統的穩定性區域如圖2所示.在穩定域內中任意取4個特定的點A，B，C，D，針對這4種系統參數組合，對系統輸入單位階躍需求信號，分別得到系統訂貨量的響應曲線如圖3所示.由圖3可知，雖然A，B，C，D 4點代表的參數組合都在系統的穩定域內，但系統參數的不同組合所對應的系統的穩定性明顯不同.若取A點的參數值，系統雖然最終會恢復穩定狀態，但要經過一個劇烈的振蕩過程;而若取D點的參數值，則對于需求變動，系統會平穩快速地達到穩定狀態.以往有關供應鏈系統穩定性的研究主要關注確定系統的穩定域，而對于系統在穩定域內表現的需求響應特性卻沒有深入討論.本文的目的是在明確了系統的穩定域之后，分析穩定域內各種參數組合對系統需求響應的影響，以實現對系統參數的優化，達到提高系統的穩定性和系統運行績效的目的.

圖2 二級供應鏈系統穩定域

圖3 A，B，C，D點的階躍需求響應曲線

2 DIS供應鏈系統的最優化分析

本文對DIS－APIOBPCS模型階躍需求響應特性進行系統優化分析，綜合考察系統的庫存響應、訂單響應和牛鞭效應這3個系統響應特性，將其作為系統優化的目標.參考文獻［4］就APIOBPCS庫存優化的研究和文獻［5］對供應商管理庫存系統動態特性能的優化研究，根據對供應鏈系統穩定運行的要求，本文采用以下3種穩定性特性值作為系統優化指標.

ITAE(Integral of Time Absolute Error):庫存階躍響應誤差的絕對值時間積分，是估計階躍響應中實際庫存量相對于目標庫存量偏差的最直接的度量指標，用于衡量系統庫存量恢復到穩態值的能力.

訂單最大超調量(ORATE maximum deviation):訂單響應曲線中最大超出量與穩態值之比，反映了系統響應過渡階段的平穩性.

Wn:噪聲帶寬，是對供應鏈系統牛鞭效應的定量描述，是衡量Ta，Tw，Ti對需求信息平滑效果的指標，在確定訂貨量時，能過濾高頻率的隨機需求信息.本文采用Astrom在《隨機控制理論導論》中提出的方法計算Wn，通過供應鏈系統訂貨量的傳遞函數中分子與分母關于z的系數向量計算Wn.

供應鏈中不同的系統參數組合會對上述3種穩定性指標產生不同的影響，本文使用多目標優化算法NSGA－Ⅱ考察供應鏈系統的優化指標，確定系統的最優參數組合，達到使系統在各個穩定性指標上均處于最優化狀態的目的.多目標優化方法能克服通過加權將多個優化目標轉化為單一優化目標的弊端，這些算法采用Pareto最優等概念把各子目標之間的折中和此消彼長的過程自然地融合到算法流程中，不必人為先驗地確定各子目標之間的權重關系，可以同時兼顧多個目標的優化，提高分析和求解問題的能力.

多目標優化算法NSGA－Ⅱ是帶精英策略的非支配排序遺傳算法，是Deb等人在NSGA的基礎上加入快速非支配排序算法、引入精英策略、采用擁擠度和擁擠度比較算子，使Pareto最優解前沿中的個體能均勻地擴展到整個Pareto域，保證了種群的多樣性［5］.NSGA－II算法的基本思想為:首先，隨機產生一定規模的初始種群，非支配排序后通過遺傳算法的選擇、交叉、變異3個基本操作得到第1代子代種群;然后，從第2代開始，將父代種群與子代種群合并，進行快速非支配排序，同時對每個非支配層中的個體進行擁擠度計算，根據非支配關系以及個體的擁擠度選取合適的個體組成新的父代種群;最后，通過遺傳算法的基本操作產生新的子代種群;依此類推，直到滿足優化程序結束的條件.本文應用NSGA－Ⅱ算法對供應鏈系統穩定性的3個指標ITAE、訂單最大超調量、Wn進行優化，設置優化搜索中種群代數為400代，種群規模為200個，最終確定使系統在這3個穩定性指標下處于Pareto最優的系統參數組合.

在4個主要系統參數中，需求預測參數Ta對供應鏈系統的穩定域沒有影響，系統穩定性只由Tp，Ti，Tw決定［9］.所以如果設定提前期參數 Tp，則系統的穩定域就被固定了.本文將考察在不同提前期參數設定下系統穩定性指標的優化問題.

2.1 Tp=1時系統穩定性指標的最優化

在提前期參數Tp=1時，系統的穩定性條件［9］為

設定Tp=1，Ta=5，通過仿真分析得到的在穩定域內供應鏈系統的3個穩定性指標達到Pareto最優的分布圖，如圖4所示，可以看到這些點在空間中的分布具有較強的規律性.

圖4 Tp=1時系統穩定性指標訂單最大超調量、ITAE、Wn最優時三維分布圖

圖5顯示了供應鏈系統的3個穩定性指標處于Pareto最優時的系統參數取值情況，即Pareto最優解在穩定區域內的分布.

圖5 Tp=1時DIS－APIOBPCS系統穩定區域內最優點

從圖5也可以看出供應鏈系統穩定性指標的Pareto最優解在穩定域內的分布具有較強的規律性，使系統達到Pareto最優的系統參數并非均勻的分布在穩定域內，而是被限制在一定的取值范圍內.其中Ti的取值范圍集中分布在0～10及90～100之間;Tw的取值范圍集中分布在0～5及15～30之間.

由于多目標優化問題的Pareto最優解是一個集合，如圖5所示，所以穩定域內的最優點均可保證系統的3個穩定性指標處于Pareto最優狀態.Pareto最優解集合中的每個點代表不同的穩定性指標組合，企業可以根據自己的實際情況選擇合適的穩定性指標值.下面將進一步考察供應鏈系統在Pareto最優狀態下，即系統參數在Pareto最優解范圍內的變動對3個穩定性指標的影響.

圖6所示為需求預測參數Ta對需求信息共享供應鏈在Pareto最優狀態下的3個穩定性指標的影響.可以看出，Ta的取值與ITAE成正相關關系，當Ta取100時ITAE達到其最大值;而Wn和訂單超調量卻隨著參數Ta取值變大，由最大值迅速下降并被限定在一個有限值的范圍內.因此供應鏈系統穩定性指標可以分為2組，Wn和訂單超調量及ITAE.這2組指標對于Ta表現出完全相反的行為模式.此時企業需要權衡Wn、訂單超調量與ITAE之間的利弊關系，若企業希望避開ITAE的不利影響，需要取較小的Ta值以提高供應鏈運行的穩定性.反之，如果企業希望避免Wn與訂單超調量過大，則需要取比較大的 Ta值.當 Ta值在10～90范圍內時，3個指標值都處于較小的范圍，如果企業認為較小的取值即可滿足需求，可以在10～90范圍內選擇需求預測參數Ta.

圖6 Tp=1時Ta對最優條件下ITAE、訂單超調量、噪聲帶寬3個性能的影響

圖7為庫存調節參數Ti對需求信息共享供應鏈在Pareto最優狀態下的3個穩定性指標的影響.與圖6的情況類似，Ti取值與ITAE成正相關關系，而與Wn和訂單超調量成負相關關系.當Ti取值在臨近100的區域內時，Wn與訂單超調量取得最小值而ITAE卻達到最大值.但是與圖6不同的是，根據圖5可知，Ti的取值在Pareto最優狀態下有規律的分布在0～10及90～100之間，不像Ta可以在1～100內連續取值使3個性能指標都達到較小的值.所以通過Ti調節系統的穩定性時，在Pareto最優狀態的范圍內需要進行權衡，如果企業希望得到最小的Wn與訂單超調量的值，就不得不以更大的ITAE值為代價.另一方面，如果企業希望得到更小的ITAE值，就不得不在Wn與訂單超調量上做出妥協.因此，企業應認真地分析各穩定性指標的重要性，在此基礎上選擇合適的Ti的取值，以使供應鏈系統的穩定性指標達到企業的要求.

圖7 Tp=1時Ti對最優條件下ITAE、訂單超調量、噪聲帶寬3個性能的影響

圖8為在制品調節參數Tw對需求信息共享供應鏈在Pareto最優狀態下的3個穩定性指標的影響.

可以直觀地發現，與圖6和圖7不同，Tw取值與ITAE成負相關關系，而與Wn和訂單超調量成正相關關系.但是與圖7相似的是，Tw的取值也有極強的規律性，為了達到Pareto最優狀態，Tw的取值被限定在0～5及15～30之間.因此，ITAE同樣又是和Wn與訂單超調量表現出相反的行為模式.若企業希望避開ITAE的不利影響，可在一個很大的范圍內選取較大的Tw值使ITAE最小.如果使Tw的取值很小，就能得到最小的Wn與訂單超調量的值，從而提高供應鏈的穩定性.

圖8 Tp=1時Tw對最優條件下ITAE、訂單超調量、噪聲帶寬3個性能的影響

2.2 Tp=2時系統穩定性指標的最優化

提前期參數Tp=2時，系統的穩定性條件［9］為

在設定提前期Tp=2情況下進行仿真實驗，圖9、圖10分別顯示了穩定域內供應鏈系統的3個穩定性指標達到Pareto最優的分布圖和穩定域內Pareto最優解的分布圖.可以看到，與Tp=1(圖4)的情況相比，系統3個穩定性指標的最優取值范圍都擴大了，其中噪聲帶寬Wn的取值范圍從0～4擴大到0～20，擴大倍數比其他2個指標都要大.

圖9 Tp=2時系統穩定性指標訂單最大超調量、ITAE、Wn最優時三維分布圖

圖10 Tp=2時DIS－APIOBPCS系統穩定區域內最優點

圖11為需求預測參數Ta對需求信息共享供應鏈在Pareto最優狀態下的3個穩定性指標的影響.與圖6的情況類似，2組穩定性指標ITAE和Wn與訂單超調量對于Ta仍然表現出完全相反的行為模式.當Ta取值較大時，Wn和訂單超調量的值都會被限定在較小的取值范圍內，而ITAE的值則相對較大.另一方面，當Ta取值較小時，ITAE的值會變小.由于ITAE隨Ta取值不同變化更為劇烈，若企業希望避開ITAE的不利影響，仍然可以使Ta取值更小從而限制ITAE取值.反之，如果企業不希望使Wn與訂單超調量過大，則可以取比較大的Ta值以提高供應鏈運行的穩定性和績效.

圖12為庫存調節參數Ti對需求信息共享供應鏈在Pareto最優狀態下的3個穩定性指標的影響.由于與圖7的情況類似，此處不再贅述.

圖13為在制品調節參數Tw對需求信息共享供應鏈在Pareto最優狀態下的3個穩定性指標的影響.與Tp=1情況下的圖8相比，Tw對3個穩定性指標的影響呈現相似的情況，不同之處在于Tw的最優取值范圍變小，僅在1.18～1.92的范圍內，對比圖5(Tw的取值在0～5和15～30范圍)和圖10(Tw的取值在1～2范圍內)亦可得出相同的結論.由于ITAE的一系列最小值都出現于Tw取值較大的一個連續的區域內，因而在這個范圍內選取合適的Tw的值可以獲得較小的ITAE值.同時，要使Wn與訂單超調量的取值不是太大，就要限定Tw在取值較小的一個區間內.根據對圖13的分析，可以看出，雖然Tw的取值范圍很小，但是企業仍然可以根據系統性能指標的重要性選取對自身最優的Tw的值，從而獲得最優性能.

圖11 Tp=2時Ta對最優條件下ITAE、訂單超調量、噪聲帶寬3個性能的影響

圖12 Tp=2時Ti對最優條件下ITAE、訂單超調量、噪聲帶寬3個性能的影響

圖13 Tp=2時Tw對最優條件下ITAE、訂單超調量、噪聲帶寬3個性能的影響

2.3 Tp=3時系統穩定性指標的最優化

提前期參數Tp=3時，系統的穩定性條件［9］為

Tp=3情況，穩定域內供應鏈系統的3個穩定性指標達到Pareto最優的分布圖和穩定域內Pareto最優解的分布圖如圖14、圖15所示.與Tp=2情況相比，Wn和訂單超調量的取值范圍縮小了，但是ITAE的取值范圍擴大了.然而與Tp=1情況相比，Tp=3時3個穩定性指標的取值范圍都擴大了.比較圖5、圖1與圖15，可以發現，Tp=1與Tp=3兩種情況下最優解在穩定域內的分布大致相同，但是Tp=2時參數Tw的取值范圍就比前面的兩種情況要小.

圖16為需求預測參數Ta對需求信息共享供應鏈在Pareto最優狀態下的3個穩定性指標的影響.

圖17為庫存調節參數Ti對需求信息共享供應鏈在Pareto最優狀態下的3個穩定性指標的影響.對比圖16與圖6和圖11，圖17與圖7和圖12，可以發現，Ta和Ti對系統的3個穩定性指標的影響極為類似，只是在取值上有差異，此處不再贅述.

圖14 Tp=3時系統穩定性指標訂單最大超調量、ITAE、Wn最優時三維分布圖

圖15 Tp=3時DIS－APIOBPCS系統穩定區域內最優點

圖16 Tp=3時Ta對最優條件下ITAE、訂單超調量、噪聲帶寬3個性能的影響

圖17 Tp=3時Ti對最優條件下ITAE、訂單超調量、噪聲帶寬3個性能的影響

圖18 Tp=3時Tw對最優條件下ITAE、訂單超調量、噪聲帶寬3個性能的影響

圖18為在制品調節參數Tw對需求信息共享供應鏈在Pareto最優狀態下的3個穩定性指標的影響.比較圖18和圖8可以發現當Tp=3時Tw的取值范圍與Tp=1時的取值范圍相近，與Tp=2時取值范圍有很大不同.圖18b與圖8b和圖13b類似，當Tw的取值較大時，ITAE的值相對較小.因此如果企業忽略Wn與訂單超調量的影響，而只看重ITAE這個指標，與前面的分析類似，在一個很大的范圍內選取合適的Tw的值能使ITAE的取值最小.然而圖18a和圖18c卻表現出與Tp=1，Tp=2兩種情況極為不同的影響，Wn與訂單超調量不再與Tw成正相關關系，沒有明顯的規律性.

3 進一步分析

由于上述分析是在供應鏈系統的3個穩定性指標達到Pareto最優的條件下進行的，為了保證調節某一系統參數時穩定性指標的Pareto最優，系統參數的Pareto最優解組合也發生相應變化.為了得到系統參數對穩定性指標的更一般的影響，本文做了進一步分析.這里分析僅考察單一系統參數變化對3個穩定性指標的影響，并不保證穩定性指標處于Pareto最優范圍內.

設定 Tp=1，Ta=5，Tw=12，令 Ti從 1.1 變化到100，通過仿真實驗，得到Ti對3個性能指標的影響，如圖19和圖20所示.圖19表明，ITAE隨著Ti增大而迅速增大;圖20顯示了Ti與Wn及訂單超調量呈負相關關系.改變參數Tp，Ta，Tw的取值發現Ti與ITAE，Wn及訂單超調量的關系仍與圖19和圖20顯示的特征類似，如圖21所示.所以通過參數Ti調節系統的穩定性指標時，Wn和訂單超調量2個穩定性指標與ITAE表現出相反的行為模式.這與前面分析Ti對Pareto最優條件下3個穩定性指標的影響時得到的結論是一致的，即ITAE和Wn與訂單超調量2組指標對于Ti表現出完全相反的行為模式，所以在實際應用中企業需要認真分析各穩定性指標的重要性，調節好Ti的取值以使供應鏈系統的穩定性達到企業的要求.

圖19 Ta=5時Ti與ITAE關系圖

圖20 Ta=5時Ti與噪聲帶寬及訂單超調量關系圖

圖21 Ti與ITAE關系圖

而且通過實驗可以發現，需求預測參數Ta與庫存調節參數Ti對 ITAE的影響很大，且都與ITAE呈現正相關關系(圖21).而在制品調節參數Tw對ITAE的影響很小(圖22)，這也可以解釋為何Pareto最優解中Tw的取值范圍比Ta和Ti的取值范圍都要小很多.Pareto最優解一般出現在Ta和Ti的取值為0～100的范圍內;而 Tw在不同情況下取值范圍和影響有所不同，而且比Ta和Ti的取值范圍都要小很多，最多在0～40的范圍內.通過取定點仿真實驗(圖2)發現Tw和Wn與訂單超調量之間的關系沒有明顯的規律性.在前面分析Tw對最優條件下3個穩定性指標的影響時(圖8，圖13，圖18)，圖中顯示的 Tw和 Wn與訂單超調量之間的關系也沒有表現出明顯規律性.

圖22 Tw與ITAE關系圖

4 結論

本文以需求信息共享的供應鏈訂貨系統DIS－APIOBPCS為研究對象，分析模型中涉及到的需求預測參數Ta、庫存調節參數Ti、在制品調節參數Tw對系統穩定性的影響，其目的是確定使系統達到全面穩定狀態的最優參數組合及不同最優參數組合對系統穩定性指標的影響.本文對供應鏈系統不同提前期參數Tp取值的情況分別進行了分析.針對反映供應鏈系統穩定性的3個重要指標對需求信息共享的供應鏈系統進行優化.由于這是一個多目標優化問題，所以選擇了最適合的優化方法NSGA－Ⅱ作為優化工具.本文的思想是在需求信息共享的供應鏈系統穩定域內對系統進行優化.一方面使系統參數在一定的約束范圍內;另一方面是要驗證穩定域內的點在系統穩定性特性上并非勻質的假設.對供應鏈系統輸入階躍需求信號，通過仿真實驗搜索系統參數滿足3個系統穩定性指標達到Pareto最優條件的Pareto最優解，并得到了穩定域內最優解的分布情況，然后分析了不同系統參數組合對系統最優狀態下的穩定性的影響.可以發現在系統Pareto最優狀態下，在系統參數變化的影響下，噪聲帶寬和訂單超調量2個穩定性指標與ITAE表現出相反的特征.Pareto最優解一般出現Ta和Ti的取值在0～100的范圍內;而Tw在不同情況下取值范圍和影響有所不同，而且比Ta和Ti的取值范圍都要小很多，最多在0～40的范圍內.由于3個供應鏈系統穩定性指標達到Pareto最優的取值是一個集合，而且系統參數在穩定域范圍內的Pareto最優解均能保證供應鏈系統達到最優，但是并非Pareto最優集合中的每一組供應鏈系統穩定性指標值都符合企業的實際情況，不具有普適性，因此企業必須對Pareto最優集合中這3個穩定性指標進行權衡.在3個供應鏈系統穩定值指標中ITAE隨3個參數取值不同變化更為劇烈，因此如果企業希望規避ITAE的不利影響，可以通過適當選擇參數Ta，Ti，Tw的取值控制 ITAE 取值.通過分析 Ta和Ti對最優狀態下3個穩定性指標的影響可以發現，當Ta和Ti取值比較小時，噪聲帶寬和訂單超調量的值都很大，隨著Ta和Ti取值變大這2個指標的值就會被限定在一個較小值范圍內.如果企業希望獲得較小的噪聲帶寬和訂單超調量的值，而忽略ITAE的影響，那么就不應取較大的Ta和Ti值.

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