隨機電磁渦旋光束傳輸過程中斯托克斯參量和偏振度的變化

楊先才，丁攀峰，王燕飛

（華僑大學 信息科學與工程學院，福建 廈門 361021）

隨機電磁渦旋光束傳輸過程中斯托克斯參量和偏振度的變化

楊先才，丁攀峰，王燕飛

（華僑大學 信息科學與工程學院，福建 廈門 361021）

基于交叉譜密度矩陣理論及其傳輸規律，推導隨機電磁渦旋光束在自由空間中傳輸時的廣義斯托克斯參量和偏振度的公式，分析相干長度對廣義斯托克斯參量和偏振度的影響.研究結果表明：相干長度越長，即相干度越高，光束的渦旋特性越容易保持；隨著相干長度的增加，斯托克斯參量和偏振度增加的比較緩慢；當相干長度遠大于光斑尺寸時，廣義斯托克斯參量和偏振度基本保持不變.

電磁渦旋光束；廣義斯托克斯參量；偏振度；交叉譜密度；相干長度；自由空間

部分相干高斯－謝爾模型光束在相干理論研究中起著非常重要的作用［1-3］.1992年，Allen等［4］提出了渦旋光束，其所攜帶的軌道角動量可以傳遞給微粒，還可以實現對微米、亞微米微粒的俘獲、平移，因而在粒子囚禁與操控等方面具有很重要的用途［5］.另外，渦旋光束在信息編碼上也有較大的應用前景，利用渦旋光束的軌角動量可對信息進行編碼與傳輸［6］.研究表明，偏振度在自由空間中傳輸時會發生變化.1852年，Stokes提出了以他名字命名的4個斯托克斯參量，每個參量都是位置的函數［7］.Wolf等［7-8］提出了隨機光束的相干和偏振的統一理論.其重要的工具就是交叉譜密度矩陣，而矩陣中的每個矩陣元都是取決于空間中可以測量的一對位置點［8］.不同于斯托克斯參量，矩陣元嚴格遵守傳播規律，可用來研究光束在傳輸過程中的偏振變化.此外，Korotkova推導了隨機電磁光束在自由空間中的傳播守恒定律［9］.本文利用統一理論和交叉譜密度傳輸理論，闡述并驗證了隨機電磁渦旋光束在自由空間中傳輸時廣義斯托克斯參量和偏振度的行為特性.

1 理論分析與隨機電磁光束公式推導

假設在源平面z＝0處，一束隨機電磁渦旋光束旁軸在近似條件下沿著z軸正方向傳輸.在z＝0平面內，光束的二階相干特性用2×2交叉譜密度矩陣［10］表述為

其矩陣元為

式（2）中：r1，r2為光源平面的二維位置矢量；ω為光束角頻率；E（r，ω）為光源頻率為ω的平面光束在r處的電場分量；＊表示空間－頻率域內的復共軛；〈〉表示空間－頻率域內的系綜平均.

討論的光源光束是取一特定的波長作為研究對象，故與角頻率ω有關的方程不再顯示ω.

根據廣義的惠更斯－菲涅耳原理，光束在自由空間中傳輸一段距離（z＞0）后，光場的交叉譜密度函數［11］可以表示為

式（3）中：k＝2π／λ，λ為入射光的波長；ρ1，ρ2為目標平面的二維位置矢量；z為播距離.

假設在源平面處，隨機電磁渦旋光束的電場矢量是帶有渦旋項的拉蓋爾-高斯模型［12］，即有

式（4）中：Ei，0和σi，0分別為源平面上光束的場輻射和光斑大小；r是位置矢量r的模；βi為光束的初相位；mi為渦旋光束的拓撲電荷數，為研究的方便取mi＝1.

通過以上的假設和推導，將式（4）代入式（2）中，可以得到在源平面處交叉譜密度矩陣元，即

式（5）中：φ1，φ2和δi，j是方位角；δi，j是相干長度.Ei，0，Bi，j，σj，0與δi，j位置無關，但是與角頻率ω 有關，與此同時，其中的一些量滿足文獻［13］中公式.把式（5）代入式（3），并且利用如下公式［14-15］，即

經過一系列的復雜的計算，可以得到目標平面處部分相干渦旋光束的交叉譜密度矩陣元.即

令ρ1＝ρ2＝ρ，θ1＝θ2＝θ，可以得到在目標平面上斯托克斯參量（包括光強）的表達式為

以及偏振度的表達式為

由式（8），（9）便可以計算在目標平面上的光強分布、斯托克斯參量和偏振度.

下面利用數學工具MathCAD進行數值模擬計算，研究相干長度對計算結果的影響.同時，利用試驗條件下的結果和數值模擬的結果進行比較，檢驗二者的吻合程度.驗證的實驗裝置圖如圖1所示.

從圖1可知，由He－Ne激光器發射的高斯光束經過旋轉的毛玻璃后形成部分相干光束，當光束經過螺旋相位板時，便可以獲得部分相干渦旋光束，最后由電荷耦合元件（CCD）獲得實驗圖像.

圖1 實驗裝置Fig.1 Experiment setup

2 斯托克斯參量和偏振度的數值計算

利用數學工具 MathCAD并結合式（8），（9），對目標平面上的光強，斯托克斯參量和偏振度做數值計算.計算時，光斑大小固定取σx，0＝σy，0＝σ＝1mm，入射光波波長固定取λ＝632.8nm，而x和y方向上的電場強度分別取Ex＝1，Ey＝0.8.

在z＝1.5m處的固定平面上，不同相干長度歸一化后的光強分布，如圖2所示.從圖2可知，相干度越高，橫截面上的光強中心強度會減弱，并且隨著相干度的增加，中間會出現暗核.也就是說，相干長度越高，光束的渦旋項越容易保持.

在z＝1.2m處，不同相干度下的光強分布實驗圖，如圖3所示.在實驗操作中，相干度近似用可見度表示，即利用V＝（Imax－Imin）／（Imax＋Imin）來計算，而相干度的大小則是通過改變毛玻璃的位置來調節的.將圖3和圖2進行比較可以知道：實驗所得的光強分布與歸一化的光強剖面曲線圖相似，中心出現暗核，并且當相干度越高時，在同一地點的光強也越強，光強亮暗的對比也越明顯.總體來說，實驗結果和數值模擬的結果大致吻合.

圖2 不同相干長度的歸一化光強剖面曲線Fig.2 Curves of the normalized intensity profiles for different coherence lengths

圖3 不同相干長度的光強分布實驗圖Fig.3 Intensity distribution of experimental results for different coherence lengths

在不同的相干長度下沿著z軸傳輸時軸上點光強分布的變化情況，如圖4所示.從圖4中曲線a可看出，軸上點光強S0的分布是隨著傳輸距離的增加而單調降低直至降為零；從圖4中曲線b可看出，軸上點光強S0的分布先短暫增加，達到最大值后開始降低，直到降為零；從圖4中曲線c可看出，軸上點光強S0的分布也是先增加后降低，但比較而言，要變化得慢一些.

為了證實光強分布隨著傳輸距離的變化情況，實驗測量當相干長度為δx，x＝δy，y＝0.3σ（旋轉毛玻璃處于合適的位置）時，不同距離情況下的光強分布光斑圖，如圖5所示.從圖5中可以看出，隨著傳播距離每40cm的增加，光強的分布變得越來越弱，而且光斑有擴散的趨勢.這與圖4中曲線a的光強分布隨著傳輸距離的增加而減弱的情況類似，說明實驗結果與理論假設基本符合.

取Bx，y＝0.3exp（－i（π／6）），通過數值模擬軸上點在傳輸過程中隨機電磁渦旋光束的相干長度對廣義斯托克斯參量和偏振度的影響，如圖6，7所示.在此為討論方便，定義歸一化的斯托克斯參量為sa（a＝1，2，3）和S0的比值.

圖4 軸上點光強分布隨著傳輸距離的變化Fig.4 Changes in the intensity distribution for different coherence length on axis along the Z－axis

圖5 不同距離處的光強分布光斑圖Fig.5 Changes of experimental measurement in the intensity distribution for different positions

圖6 相干長度對歸一化斯托克斯參量的影響Fig.6 Influence of normalized Stokes parameters for coherence lengths

圖7 相干長度對偏振度的影響Fig.7 Influence of the degree of polarization for coherence lengths

從圖6（a）～（b）可以明顯看出，當x向相干長度和y向相干長度相等但遠遠小于光斑尺寸時，隨著傳播距離的增加，2個歸一化的斯托克斯參量S2／S0和S3／S0都是分別單調增加到一個固定的值并保持不變，只是圖6（b）中的變化比圖6（a）要緩慢一些，而S1／S0則隨著傳播距離的增加都基本上保持不變.從圖6（c）可以看出，當相干長度遠遠大于光斑尺寸時，3個歸一化的斯托克斯參量隨著傳播距離的增加都基本上保持不變.

從圖6（d）中可以看出，與圖6（a）最大的不同是S1／S0由正值下降到零直至負值，并最終保持恒定值不變.這是由于在源平面有 Wx，x＞Wy，y，但是隨后 Wx，x下降得比 Wy，y快，這當中會出現 Wx，x＝Wy，y（例如S1＝0）.在圖6（e）中，2個歸一化的斯托克斯參量S2／S0和S3／S0單調增加到一個最大值然后保持不變，但是S1／S0單調減小直至最小值然后保持不變.在圖6（f）中，3個歸一化的斯托克斯參量基本保持不變.

從圖7（a）可知，偏振度曲線a，b分別單調增加到一個固定的值并保持不變，而偏振度曲線c基本上保持不變.從圖7（b）可知，偏振度P曲線a先減小到一個最小值后開始增加，但是偏振度P曲線b，c基本上保持不變.

3 結論

理論分析并推導了隨機電磁光束公式，研究并實驗驗證隨機電磁渦旋光束在自由空間中傳輸時廣義斯托克斯參量和偏振度的行為特性.由于渦旋光束在x向和y向上的相干性強弱并不十分明確，分別作了討論并最終呈現出不同的變化分布.

通過研究得到無論x向相干長度是否等于y向相干長度，都有以下幾點主要結論：1）相應的歸一化的斯托克斯參量S2／S0和S3／S0的變化基本一致；2）隨著相干長度的增加，歸一化的斯托克斯參量和偏振度的變化越來越不明顯，后來基本保持不變；3）變化最大的是S1／S0，即當x向相干長度等于y向相干長度（圖6（a），（b））時，S1／S0保持不變，而當x向相干長度不等于y 向相干長度（圖6（d），（e））時，S1／S0出現下降的變化；4）正是由于S1／S0的不同變化，使得P曲線a出現了相應的不同變化.

鑒于部分相干光束在遙感、跟蹤和遠距離通訊等應用中具有獨特的優勢，以及光的偏振性在光學檢測、顯示技術、數據存儲、光通信、材料科學等方面的廣泛研究與應用，使得實驗結論對于隨機電磁渦旋光束傳輸的偏振態研究具有一定的借鑒和指導意義.

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Changes in Stokes Parameters and Degree of Polarization of Stochastic Electromagnetic
Vortex Beams on Propagation

YANG Xian－cai，DING Pan－feng，WANG Yan－fei
（College of Information Science and Engineering，Huaqiao University，Xiamen 361021，China）

Based on the theory of cross－spectral density matrix and the propagation laws of cross－spectral density，the general formulae were derived to calculate the generalized Stokes parameters and degree of polarization for a class of stochastic electromagnetic vortex beam while propagating in free space.Meanwhile，the influence on propagation of the generalized Stokes parameters and the degree of polarization by the coherence length was analyzed.It is shown that the higher the correlation length（the higher the degree of coherence）is，the better the vertical component can keep；the Stokes parameters and the degree of polarization increase more slowly with the increment of the correlation length increase；the generalized Stokes parameters and the degree of polarization keep almost invariant while the coherence length is much larger than beam size.

stochastic electromagnetic vortex beam；generalized stokes parameters；polarization′s degree；cross－spectral density；free space；coherence length

錢筠 英文審校：吳逢鐵）

O 436.1

A

1000－5013（2012）01－0017－06

2011－05－19

丁攀峰（1980－），男，副教授，主要從事光束傳輸和偏振光學的研究.E－mail：dingpf＠hqu.edu.cn.

國家自然科學基金培育項目（JB－ZR1126）；福建省廈門市科技計劃項目（3502Z20113017）