廣義Lorenz系統(tǒng)的Painlevé分析及其精確解

陳南，張金順

（華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021）

廣義Lorenz系統(tǒng)的Painlevé分析及其精確解

陳南，張金順

（華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021）

考慮一個(gè)Hamilton函數(shù)為H＝－σxy＋rxyu＋－βuz的四維廣義Lorenz系統(tǒng)，利用Painlevé分析的方法，將該系統(tǒng)進(jìn)行奇異流型展開.利用調(diào)諧因子項(xiàng)將其進(jìn)行有限項(xiàng)“截?cái)唷保C明其具有Painlevé可積性，并導(dǎo)出其自B?cklund變換和奇異流型滿足的Schwarz導(dǎo)數(shù)方程.通過研究相關(guān)的Schwarz導(dǎo)數(shù)方程的性質(zhì)，求出廣義Lorenz系統(tǒng)的精確解.

廣義Lorenz系統(tǒng)；Painlevé分析；調(diào)諧因子；B?cklund變換；Schwarz導(dǎo)數(shù)

1 預(yù)備知識(shí)

混沌是非線性系統(tǒng)研究領(lǐng)域非常活躍的前沿課題［1］.Painlevé方法已被廣泛應(yīng)用于探討非線性微分方程的可積性，并被證明是一種十分有效的途徑［2-10］.將Lorenz系統(tǒng)推廣為四維廣義Lorenz系統(tǒng)，即

系統(tǒng)（1）中：σ，ρ，β，γ是常量；x，y，z，u 是自變量t的函數(shù)；˙x，˙y，˙z，˙u 分別表示x，y，z，u 關(guān)于t的導(dǎo)函數(shù).這是一個(gè)2維Hamilton系統(tǒng)，即

對(duì)x，y，z，u進(jìn)行奇異流型展開，可得

式（2）中：φ為奇異流型.通過主導(dǎo)項(xiàng)分析得α1＝α4＝1，α2＝α3；且有

令α2＝α3＝1，即

將其代入系統(tǒng)（1），有

比較φ的同次冪系數(shù)，得

計(jì)算調(diào)諧因子，對(duì)式（11）移項(xiàng)可得

分別記式（12）中各個(gè)方程的右式為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4，其中F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4為ak－1，bk－1，ck－1，dk－1，…，a0，b0，c0，d0，φ的函數(shù).將式（3）代入式（12），轉(zhuǎn)換成矩陣形式得

利用行列式計(jì)算調(diào)諧因子，可得

得到調(diào)諧因子k＝0，3.若令a2＝b2＝c2＝d2＝0，經(jīng)過計(jì)算可推出當(dāng)j≥3時(shí)，aj＝bj＝cj＝dj＝0，即Painlevé奇異流型展式（2）被成功“截?cái)唷保瑥亩撍木S廣義Lorenz系統(tǒng)（1）具有Painlevé可積性.

命題1 四維廣義的Lorenz系統(tǒng)（1）有B?cklund變換，即

式（15）中，φ滿足Schwarz方程

證明 利用式（8）～（10），經(jīng)計(jì)算可得

由式（18）可知：a1，b1，c1，d1滿足系統(tǒng)（1），同時(shí)x，y，z，u 滿足系統(tǒng)（1），故式（15）為系統(tǒng)（1）的自B?cklund變換.

2 廣義Lorenz系統(tǒng)的精確解

通過求解Schwarz導(dǎo)數(shù)方程，得到該系統(tǒng)的一個(gè)精確解.設(shè)＋βσc1－2σβ＝λ，則

1）當(dāng)λ≥0時(shí)，從式（22）可求解得

兩邊積分后，可得

2）當(dāng)λ＜0時(shí)，從式（22）可求解為

式（26）中：φ已由上面解出.

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PainlevéAnalysis and Explicit Solutions for a Generalized Lorenz System

CHEN Nan，ZHANG Jin－shun
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

A four－dimensional generalized Lorenz system with the Hamiltonian function is considerated.The system is studied by Painlevéanalysis method.The singular manifold expandation is finite“truncation”by means of resonances，and it is proved that the system is Painlevéintegrability.The self－B?cklund transformation of the system is goten out.Some explicit solutions are obtained by means of the Schwarz derivative equation.

generalized Lorenz system；Painlevéanalysis；resonances；B?cklund transformation；Schwarz derivative

錢筠 英文審校：黃心中）

O 175.3

A

1000－5013（2012）01－0094－05

2011－06－11

張金順 （1956－），男，教授，主要從事孤立子理論與可積系統(tǒng)的研究.E－mail：jszhang＠hqu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10871165）；華僑大學(xué)高層次人才科研啟動(dòng)項(xiàng)目（07BS106）