廣義Lorenz系統的Painlevé分析及其精確解

陳南，張金順

（華僑大學 數學科學學院，福建 泉州 362021）

廣義Lorenz系統的Painlevé分析及其精確解

陳南，張金順

（華僑大學 數學科學學院，福建 泉州 362021）

考慮一個Hamilton函數為H＝－σxy＋rxyu＋－βuz的四維廣義Lorenz系統，利用Painlevé分析的方法，將該系統進行奇異流型展開.利用調諧因子項將其進行有限項“截斷”，證明其具有Painlevé可積性，并導出其自B?cklund變換和奇異流型滿足的Schwarz導數方程.通過研究相關的Schwarz導數方程的性質，求出廣義Lorenz系統的精確解.

廣義Lorenz系統；Painlevé分析；調諧因子；B?cklund變換；Schwarz導數

1 預備知識

混沌是非線性系統研究領域非常活躍的前沿課題［1］.Painlevé方法已被廣泛應用于探討非線性微分方程的可積性，并被證明是一種十分有效的途徑［2-10］.將Lorenz系統推廣為四維廣義Lorenz系統，即

系統（1）中：σ，ρ，β，γ是常量；x，y，z，u 是自變量t的函數；˙x，˙y，˙z，˙u 分別表示x，y，z，u 關于t的導函數.這是一個2維Hamilton系統，即

對x，y，z，u進行奇異流型展開，可得

式（2）中：φ為奇異流型.通過主導項分析得α1＝α4＝1，α2＝α3；且有

令α2＝α3＝1，即

將其代入系統（1），有

比較φ的同次冪系數，得

計算調諧因子，對式（11）移項可得

分別記式（12）中各個方程的右式為F1，F2，F3，F4，其中F1，F2，F3，F4為ak－1，bk－1，ck－1，dk－1，…，a0，b0，c0，d0，φ的函數.將式（3）代入式（12），轉換成矩陣形式得

利用行列式計算調諧因子，可得

得到調諧因子k＝0，3.若令a2＝b2＝c2＝d2＝0，經過計算可推出當j≥3時，aj＝bj＝cj＝dj＝0，即Painlevé奇異流型展式（2）被成功“截斷”，從而該四維廣義Lorenz系統（1）具有Painlevé可積性.

命題1 四維廣義的Lorenz系統（1）有B?cklund變換，即

式（15）中，φ滿足Schwarz方程

證明 利用式（8）～（10），經計算可得

由式（18）可知：a1，b1，c1，d1滿足系統（1），同時x，y，z，u 滿足系統（1），故式（15）為系統（1）的自B?cklund變換.

2 廣義Lorenz系統的精確解

通過求解Schwarz導數方程，得到該系統的一個精確解.設＋βσc1－2σβ＝λ，則

1）當λ≥0時，從式（22）可求解得

兩邊積分后，可得

2）當λ＜0時，從式（22）可求解為

式（26）中：φ已由上面解出.

［1］LORENZ E N.Deterministic nonperiodic flow［J］.J Atmos Sci，1963，20（2）：130－141.

［2］CLARKSON P A.The painleve equations－nonlinear special functions［J］.J Comp Appl Math，2003，153（1／2）：127－140.

［3］WEISS J.On classes of integrable system and the Painlevéproperty［J］.J Math Phys，1984，25（1）：13－14.

［4］WEISS J.TABOR M，CARNEVALE G.The Painlevéproperty of partial differential equations［J］.J Math Phys，1983，24（6）：522－526.

［5］樓森岳，唐曉艷.非線性數學物理方法［M］.北京：科學出版社，2006.

［6］陳志雄.Painlevé性質與完全可積性［J］.上海交通大學學報，1990，24（2）：16－22.

［7］王鴻業，張樺.Henon－Heiles系統的Painlevé分析及其顯示解［J］.鄭州大學學報：理學版，2005，37（4）：14－16.

［8］梁小花，張金順.一個N 維 Hamilton系統的Painlevé分析與精確解［J］.華僑大學學報：自然科學版，2007，28（3）：327－329.

［9］李金偉，張金順.高階Boussinesq－Burgers方程的Painlevé測試及其精確解［J］.華僑大學學報：自然科學版，2010，31（2）：227－229.

［10］鄧勇，張金順.高階Levi方程的Painlevé測試和精確解［J］.華僑大學學報：自然科學版，2009，30（4）：476－477.

PainlevéAnalysis and Explicit Solutions for a Generalized Lorenz System

CHEN Nan，ZHANG Jin－shun
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

A four－dimensional generalized Lorenz system with the Hamiltonian function is considerated.The system is studied by Painlevéanalysis method.The singular manifold expandation is finite“truncation”by means of resonances，and it is proved that the system is Painlevéintegrability.The self－B?cklund transformation of the system is goten out.Some explicit solutions are obtained by means of the Schwarz derivative equation.

generalized Lorenz system；Painlevéanalysis；resonances；B?cklund transformation；Schwarz derivative

錢筠 英文審校：黃心中）

O 175.3

A

1000－5013（2012）01－0094－05

2011－06－11

張金順 （1956－），男，教授，主要從事孤立子理論與可積系統的研究.E－mail：jszhang＠hqu.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目（10871165）；華僑大學高層次人才科研啟動項目（07BS106）