某類正則微分系統(tǒng)譜的帶權(quán)估計

黃振明

（蘇州市職業(yè)大學 基礎部，江蘇蘇州 215104）

某類正則微分系統(tǒng)譜的帶權(quán)估計

黃振明

（蘇州市職業(yè)大學 基礎部，江蘇蘇州 215104）

考慮某類正則微分系統(tǒng)譜的帶權(quán)估計，利用矩陣運算、分部積分、Rayleigh定理和不等式估計等方法，獲得了用前n個譜來估計第n+1個譜的上界的不等式，其估計系數(shù)與區(qū)間的幾何度量無關，其結(jié)果是文[1]的進一步推廣.

正則微分系統(tǒng)；譜；不等式；帶權(quán)估計

引言

斯圖姆-劉維爾問題是物理學和力學中最常見的問題之一，有關它及類似問題的譜估計已取得了許多重要的結(jié)果[1-7]，其中文[1]給出了斯圖姆-劉維爾問題譜的一種估計方法，現(xiàn)將文[1]中的方程進行推廣，考慮如下正則微分系統(tǒng)

筆者運用文[2]中的方法，并且對其方法進行適當?shù)母倪M和推廣，考慮(1)的譜估計，為推導方便，記

則問題(1)可化為如下的矩陣形式：

根據(jù)方程理論知，問題(4)的譜是離散的，且都是正實數(shù)，設問題(4)的與之相對應的帶權(quán)正交特征向即結(jié)合（3）可得

由系統(tǒng)(4)，利用多次分部積分法有

利用(2)和(6)得

計算可得

利用(10)有

利用(8)和(11)得

1 主要引理

證明

利用分部積分法，計算可得

又由對稱性得

于是由(14)、(15)、 (16)、（2） 和（5）知

即為引理1.

由分部積分得

利用（5），從（18）、（19）可知

利用Schwarz不等式、（20）和(7)得

即得引理2.

2 主要結(jié)果

利用(20)和Young不等式有

為了使（26）右端的值達到最小，取

將（27）代入（26）有

由引理1、（25）和（28）得

選擇使（29）右端等于零，即

3 結(jié)語

本文推廣了斯圖姆-劉維爾問題譜的估計，考慮正則微分系統(tǒng)（1）的譜估計，獲得了用前n個譜來估計第n+1個譜的上界……