某類正則微分系統(tǒng)譜的帶權(quán)估計(jì)

黃振明

（蘇州市職業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)部，江蘇蘇州 215104）

某類正則微分系統(tǒng)譜的帶權(quán)估計(jì)

黃振明

（蘇州市職業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)部，江蘇蘇州 215104）

考慮某類正則微分系統(tǒng)譜的帶權(quán)估計(jì)，利用矩陣運(yùn)算、分部積分、Rayleigh定理和不等式估計(jì)等方法，獲得了用前n個(gè)譜來(lái)估計(jì)第n+1個(gè)譜的上界的不等式，其估計(jì)系數(shù)與區(qū)間的幾何度量無(wú)關(guān)，其結(jié)果是文[1]的進(jìn)一步推廣.

正則微分系統(tǒng)；譜；不等式；帶權(quán)估計(jì)

引言

斯圖姆-劉維爾問(wèn)題是物理學(xué)和力學(xué)中最常見(jiàn)的問(wèn)題之一，有關(guān)它及類似問(wèn)題的譜估計(jì)已取得了許多重要的結(jié)果[1-7]，其中文[1]給出了斯圖姆-劉維爾問(wèn)題譜的一種估計(jì)方法，現(xiàn)將文[1]中的方程進(jìn)行推廣，考慮如下正則微分系統(tǒng)

筆者運(yùn)用文[2]中的方法，并且對(duì)其方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)和推廣，考慮(1)的譜估計(jì)，為推導(dǎo)方便，記

則問(wèn)題(1)可化為如下的矩陣形式：

根據(jù)方程理論知，問(wèn)題(4)的譜是離散的，且都是正實(shí)數(shù)，設(shè)問(wèn)題(4)的與之相對(duì)應(yīng)的帶權(quán)正交特征向即結(jié)合（3）可得

由系統(tǒng)(4)，利用多次分部積分法有

利用(2)和(6)得

計(jì)算可得

利用(10)有

利用(8)和(11)得

1 主要引理

證明

利用分部積分法，計(jì)算可得

又由對(duì)稱性得

于是由(14)、(15)、 (16)、（2） 和（5）知

即為引理1.

由分部積分得

利用（5），從（18）、（19）可知

利用Schwarz不等式、（20）和(7)得

即得引理2.

2 主要結(jié)果

利用(20)和Young不等式有

為了使（26）右端的值達(dá)到最小，取

將（27）代入（26）有

由引理1、（25）和（28）得

選擇使（29）右端等于零，即

3 結(jié)語(yǔ)

本文推廣了斯圖姆-劉維爾問(wèn)題譜的估計(jì)，考慮正則微分系統(tǒng)（1）的譜估計(jì)，獲得了用前n個(gè)譜來(lái)估計(jì)第n+1個(gè)譜的上界的不等式，其估計(jì)系數(shù)與區(qū)間的幾何度量無(wú)關(guān)，文[1]討論的問(wèn)題是本文問(wèn)題當(dāng)時(shí)的特例，因此本文的結(jié)果是文[1]的進(jìn)一步推廣，在物理學(xué)和力學(xué)等領(lǐng)域中有一定的參考價(jià)值[8].

[1] Hile G H,Yen R Z.Inequalities for Eigenvalues of the Biharmonic Operator[J].Pacific J.Math.,1984,112(1):115-132.

[2] 曾維國(guó), 錢椿林.斯圖姆-劉維爾問(wèn)題的特征值[J].工科數(shù)學(xué),1992,8(1):28-32.

[3] 金光宇, 錢椿林.四階常微分方程的特征值估計(jì)[J].蘇州絲綢工學(xué)院學(xué)報(bào),1996, 16(4): 115- 119.

[4] 吳平,錢椿林.梁橫向振動(dòng)方程的離散特征值估計(jì)[J].江蘇廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),2001,12(6):40－42.

[5] 胡志堅(jiān),錢椿林.四階微分方程廣義第二特征值的上界估計(jì)[J].江南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2005,4(4):427-430.

[6] 黃振明.一類高階橢圓型方程譜的帶權(quán)估計(jì)[J].蘇州科技學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,25(3):18-22.

[7] 黃振明.一類線性微分算子譜的帶權(quán)估計(jì)[J].廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,9(4):8-10,13.

[8] Protter M H.Can one hear the shape of a drum?[J].SIAM Rev.1987,29(2):185-197.

Weighted Estimation of Spectra for Some Kind Regular Differential System

HUANG Zhen-ming
(Department of Basic Courses, Suzhou Vocational University, Suzhou 215104, China)

This paper considers weighted estimation of spectra for some kind differential regular system.The inequality of the upper bound of the (n+1)th spectrum is estimated from the former n spectra by using matrix operation, integration by parts, Rayleigh theorem and inequality estimation.The estimate coefficients do not depend on the measure of the domain in which the problem is concerned.The result in [1] is the corollary to the theorems in this paper.

regular differential system; spectrum; inequality; weighted estimation

O175.1

A

1008-9128（2012）04-0011-05

2011-06-15

黃振明（1962-），男，江蘇蘇州人，副教授.研究方向：微分算子譜的估計(jì).

[責(zé)任編輯 張燦邦]