梅森素數漫談

張四保 李建安

(1.喀什師范學院數學系，新疆喀什 844008; 2.皇后大學數學系，加拿大金斯頓 K7L 3N6)

梅森素數漫談

張四保1李建安2

(1.喀什師范學院數學系，新疆喀什 844008; 2.皇后大學數學系，加拿大金斯頓 K7L 3N6)

梅森素數是一種特殊的素數，它是數論研究的一項重要內容，也是當今科學研究的熱點與難點之一。自從這一素數提出之后，尤其是在GIMPS項目的幫助下，梅森素數的探究取得了重大進展。文章就有關梅森素數的研究情況做一簡要的介紹。

梅森素數，周氏猜測，網格技術，GIMPS

2008年8月23日，美國加州大學洛杉磯分校的計算機專家埃德森·史密斯通過一個名為“因特網梅森素數大搜索”(GIMPS)的國際合作項目，發現了迄今已知的最大梅森素數243112609－1，該數也是目前已知的最大素數。這個巨數有12978189位;如果用普通字號將它連續寫下來，長度可超過50公里!這一重大成就被著名的《時代》雜志評為“2008年度50項最佳發明”之一，排名在第29位。英國《新科學家》雜志認為這一素數的發現是數學研究和計算技術中最重要的成果之一［1］。

一 什么是梅森素數

梅森素數對于許多人來說，是個陌生的名詞。但近幾年來，梅森素數卻頻頻出現在主流新聞媒體和學術刊物中。眾所周知，素數也叫質數，是在大于1的整數中只能被1和自身整除的數，如2、3、5、7、11等等。千百年來，神秘的素數吸引著許許多多的數學家的濃厚興趣。2300年前，古希臘數學家歐幾里得用反證法巧妙地證明了素數有無窮多個，并提出有些素數可寫成“2P－1”的形式，其中指數P是素數。這種特殊形式的素數具有獨特的性質和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多的數學家(包括數學大師費馬、笛卡兒、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代等)和無數的業余數學愛好者對它進行探究。而17世紀法國數學家、法蘭西科學院奠基人馬林·梅森(Marin Mersenne)是其中成果較為卓著的一位。

梅森在歐幾里得、費馬等人的有關研究基礎上對2P－1型的素數做了大量的計算、驗證工作，并于1644年提出了著名的“梅森猜測”;其工作極大地激發了人們研究這種素數的熱情，成為素數研究的一個轉折點和里程碑。由于梅森學識淵博，才華橫溢，并是法蘭西科學院的奠基人，為了紀念他，1897年在瑞士蘇黎世舉行的首屆國際數學家大會(ICM)就將“2P－1”型的素數稱為“梅森素數”(Mersenne prime)。

2300多年來，人類僅發現47個梅森素數。由于這種素數新奇而迷人，因此有著“數學寶庫中的明珠”的美譽。梅森素數歷來是數論研究的一項重要內容，也是當今科學探索的熱點和難點之一。值得一提的是，在所發現的47個梅森素數序列中，至今只確定了前41個梅森素數的位次。

二 艱辛的探究歷程

梅森素數貌似簡單，但探究難度卻極大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要進行艱巨的計算。1772年，有“數學英雄”美名的瑞士數學大師歐拉在雙目失明的情況下，用試除法巧妙地證明了231－1(即2147483647)是第8個梅森素數。這個具有10位的素數，堪稱當時世界上已知的最大素數。歐拉的頑強毅力與解題技巧令人贊嘆不已。法國大數學家拉普拉斯的話，或許可以代表我們的心聲:“讀讀歐拉，他是我們每一個人的老師。”

在“筆算紙錄”的年代，人們歷盡艱辛，才找到12個梅森素數。而計算機的產生加速了梅森素數探究進程。1952年，美國數學家拉婓爾·魯濱遜等人使用SWAC型計算機在短短的幾個月內，就找到了5個梅森素數。

梅森素數的探究不僅極富挑戰性，而且對探究者來說有一種巨大的自豪感。1963年6月2日晚上8點，當第23個梅森素數211213－1通過大型計算機被找到時，美國廣播公司(ABC)中斷了正常的節目播放，在第一時間發布了這一重要消息;《芝加哥論壇報》還把這一消息頭版頭條來報道。而發現這個素數的美國伊利諾伊大學數學系全體師生感到無比驕傲，為了讓全世界都分享這一重大成果，以至把所有從系里發出的信封都蓋上了“211213－1是個素數”的郵戳，這一做法一直延續到1976年該系數學家證明著名的“四色定理”為止。

素數的分布時疏時密很不規則，而特殊素數——梅森素數的分布更加無序。加上人們尚未知梅森素數是否有無窮多個，因此探究梅森素數的重要性質——分布規律似乎比尋找新的梅森素數更為艱難。英、法、德、美等國的數學家都曾分別給出過有關梅森素數分布的猜測，但他們的猜測都是“近似”的，沒有準確的表達式，都在實踐中顯出了瑕疵，折戟沉沙。

中國數學家和語言學家周海中是這方面研究的領先者——他聯想到“費馬數”的形式，運用聯系觀察法和不完全歸納法，于1992年2月首次給出了梅森素數分布的精確表達式;后來其猜測在1995年被國際數學界命名為“周氏猜測”，并收錄進肯帕博士主編的《數學中的著名難題》一書。美國數論專家巴拉德博士和加拿大數論專家P.里木伯姆教授認為:這一成果是素數研究的一項重大突破。美籍挪威數論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主阿特勒·塞爾伯格認為:周氏猜測具有創新性，開創了富于啟發性的新方法;其創新性還表現在揭示新的規律上［2］。周氏猜測的提出已有近20年，目前人們需要做的是破解這一難題。

網格(grid)這一嶄新技術的出現使梅森素數的探究如虎添翼。1996年初，美國數學家和程序設計師喬治·沃特曼編制了一個梅森素數計算程序，并把它放在網頁上供數學家和業余數學愛好者免費使用;這就是聞名世界的GIMPS項目，也是全世界第一個基于網格計算的項目。現在，只要在GIMPS的主頁下載為一個名為Prime95的免費程序，就可以立即參加GIMPS項目，踏上持續了千年的梅森素數探尋之旅。至今人們通過該項目找到了13個梅森素數，其發現者來自美國、英國、法國、德國、加拿大和挪威。目前，世界上有180多個國家和地區超過23萬人參加了這一項目，并動用了45萬多臺計算機聯網來尋找新的梅森素數。

三 梅森素數的意義

對于梅森素數的尋找之旅已經歷經千年，在數學家們和愛好者的眼里，它們的價值遠勝于鉆石。梅森素數在當代具有十分豐富的科學意義和實用價值。它是發現已知最大素數的最有效途徑;其探究推動了“數學皇后”——數論的研究，促進了計算技術、密碼技術、程序設計技術的發展以及快速傅里葉變換的應用。

梅森素數的最新意義是:它促進了網格技術的發展;而網格技術是一項應用非常廣闊、前景十分誘人的高新技術。另外，梅森素數還可用來測試計算機硬件運算是否正確［3］。

由于梅森素數的探究需要多種學科和技術的支持，所以許多科學家認為:梅森素數的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平，而不僅僅是代表數學的研究水平。英國頂尖科學家馬科斯·索托伊甚至認為:梅森素數探究可以挑戰人類科技與智慧極限，其成果是一個國家科技創新能力的重要標志之一。

梅森素數的發現和研究工作，對于解決哥德巴赫猜想、計算機技術進步等等都具有很大的推動作用，在其發現和研究過程中所衍生出來的數學新方法、新理論，更是具有重大的科學意義。

［1］陳琦，章平.數學珍寶——梅森素數［J］.百科知識，2009，(15)：22.

［2］林強，惠來.周海中：語言學家的數學情懷［N］.科學時報，2011－09－07(5).

［3］張四保.梅森素數研究綜述［J］.科技導報，2008，28 (18)：88－92.

Introduction on Mersenne Primes

ZHANG Sibao LI Jianan

The Mersenne prime is a special kind of prime.It is an important element of number theory，and also one of the hot and difficult points of today＇s scientific research.Since the prime has been presented，the relative studies have been made significant progress under the project of Great Internet Mersenne Prime Search(GIMPS).This paper gives a brief introduction to Mersenne primes.

Mersenne primes，Zhou conjecture，grid technologies，GIMPS

N04;O24

A

1673－8578(2012)01－0055－03

2011－11－28

張四保(1978—)，男，江西人，新疆喀什師范學院數學系講師，碩士，研究方向為數論。李建安(1972—)，男，福建人，加拿大皇后大學數學系教授，博士，研究方向為計算數學。聯系方式:sibao98@126.com。